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1 二次函数$y=-3(x-2)^2+9$图像的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为(
A.开口向下、对称轴为直线$x=-2$、顶点坐标为$(2, 9)$
B.开口向下、对称轴为直线$x=2$、顶点坐标为$(2, 9)$
C.开口向上、对称轴为直线$x=-2$、顶点坐标为$(-2, 9)$
D.开口向上、对称轴为直线$x=2$、顶点坐标为$(-2, -9)$
B
)。A.开口向下、对称轴为直线$x=-2$、顶点坐标为$(2, 9)$
B.开口向下、对称轴为直线$x=2$、顶点坐标为$(2, 9)$
C.开口向上、对称轴为直线$x=-2$、顶点坐标为$(-2, 9)$
D.开口向上、对称轴为直线$x=2$、顶点坐标为$(-2, -9)$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先明确题目给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步根据a的正负判断开口方向；第二步根据表达式中的h确定对称轴；第三步结合h、k的值确定顶点坐标，最后将得到的结论和选项对比选出正确答案即可，解题时要注意括号内是x减h，不要误把h的符号搞反。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），相关性质如下：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：直线$x=h$；
3. 顶点坐标：$(h,k)$。
对于函数$y=-3(x-2)^2+9$，对应参数为$a=-3$，$h=2$，$k=9$：
因为$a=-3＜0$，所以图像开口向下；
对称轴为直线$x=2$；
顶点坐标为$(2,9)$。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；开口方向判断；对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数顶点式各参数几何意义的掌握，只要牢记参数对应的性质，注意区分h的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的基本性质，解题思路如下：首先明确题目给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，第一步根据a的正负判断开口方向；第二步根据表达式中的h确定对称轴；第三步结合h、k的值确定顶点坐标，最后将得到的结论和选项对比选出正确答案即可，解题时要注意括号内是x减h，不要误把h的符号搞反。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），相关性质如下：
1. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
2. 对称轴：直线$x=h$；
3. 顶点坐标：$(h,k)$。
对于函数$y=-3(x-2)^2+9$，对应参数为$a=-3$，$h=2$，$k=9$：
因为$a=-3＜0$，所以图像开口向下；
对称轴为直线$x=2$；
顶点坐标为$(2,9)$。
综上，符合条件的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；开口方向判断；对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是基础题型，重点考查对二次函数顶点式各参数几何意义的掌握，只要牢记参数对应的性质，注意区分h的符号，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
② 不论m取任何实数，抛物线 $ y = a(x + m)^2 + m(a ≠ 0) $ 的顶点都(
A.在 $ y = x $ 直线上
B.在直线 $ y = -x $ 上
C.在x轴上
D.在y轴上
B
)。A.在 $ y = x $ 直线上
B.在直线 $ y = -x $ 上
C.在x轴上
D.在y轴上
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的顶点坐标为$(h,k)$，第一步先根据给定的抛物线解析式，匹配顶点式的结构，求出顶点的横、纵坐标；第二步分析顶点横、纵坐标的数量关系，判断该坐标满足哪条直线的解析式，即可得到答案。
【解析】
解：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线$y=a(x+m)^2+m$变形为$y=a[x-(-m)]^2+m$，可得该抛物线的顶点坐标为$(-m,m)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则$x=-m$，$y=m$，消去参数$m$可得$y=-x$，即顶点坐标始终满足直线$y=-x$的解析式，因此抛物线的顶点都在直线$y=-x$上。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，一次函数图象性质
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数顶点式的顶点坐标求解，以及判断点是否在直线上的方法，解题时要注意顶点式中横坐标的符号，避免因符号看错出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式的性质：顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$的顶点坐标为$(h,k)$，第一步先根据给定的抛物线解析式，匹配顶点式的结构，求出顶点的横、纵坐标；第二步分析顶点横、纵坐标的数量关系，判断该坐标满足哪条直线的解析式，即可得到答案。
【解析】
解：对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将题中抛物线$y=a(x+m)^2+m$变形为$y=a[x-(-m)]^2+m$，可得该抛物线的顶点坐标为$(-m,m)$。
设顶点横坐标为$x$，纵坐标为$y$，则$x=-m$，$y=m$，消去参数$m$可得$y=-x$，即顶点坐标始终满足直线$y=-x$的解析式，因此抛物线的顶点都在直线$y=-x$上。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，一次函数图象性质
【点评】
本题是基础题，核心考查二次函数顶点式的顶点坐标求解，以及判断点是否在直线上的方法，解题时要注意顶点式中横坐标的符号，避免因符号看错出错。
【难度系数】
0.8
3 已知二次函数$y=3(x-1)^2 +k$的图像上有$A(\sqrt{2}, y_1)$，$B(2, y_2)$，$C(-\sqrt{5}, y_3)$三个点，则$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小关系为（
A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
D
）。A.$y_1 ＞ y_2 ＞ y_3$
B.$y_2 ＞ y_1 ＞ y_3$
C.$y_3 ＞ y_1 ＞ y_2$
D.$y_3 ＞ y_2 ＞ y_1$
答案
3.D
解析
【分析】
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接确定其开口方向与对称轴：二次项系数a=3＞0，因此抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。因此解题步骤为：①确定抛物线对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离；③比较距离大小，即可得到对应函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2 +k$：
1. 由顶点式性质可知，抛物线开口向上（$a=3＞0$），对称轴为直线$x=1$；
2. 计算各点横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$A(\sqrt{2},y_1)$到对称轴的距离：$|\sqrt{2}-1|\approx0.414$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点$C(-\sqrt{5},y_3)$到对称轴的距离：$|-\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1\approx3.236$
3. 距离大小关系为：$\sqrt{5}+1＞1＞\sqrt{2}-1$，因为抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，因此$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，无需代入计算具体函数值，利用“开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，函数值越大”的规律即可快速求解，是二次函数性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察二次函数解析式为顶点式，可直接确定其开口方向与对称轴：二次项系数a=3＞0，因此抛物线开口向上，此时抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大。因此解题步骤为：①确定抛物线对称轴；②分别计算三个点的横坐标到对称轴的距离；③比较距离大小，即可得到对应函数值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-1)^2 +k$：
1. 由顶点式性质可知，抛物线开口向上（$a=3＞0$），对称轴为直线$x=1$；
2. 计算各点横坐标到对称轴$x=1$的距离：
点$A(\sqrt{2},y_1)$到对称轴的距离：$|\sqrt{2}-1|\approx0.414$
点$B(2,y_2)$到对称轴的距离：$|2-1|=1$
点$C(-\sqrt{5},y_3)$到对称轴的距离：$|-\sqrt{5}-1|=\sqrt{5}+1\approx3.236$
3. 距离大小关系为：$\sqrt{5}+1＞1＞\sqrt{2}-1$，因为抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，因此$y_3＞y_2＞y_1$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数的图象性质，无需代入计算具体函数值，利用“开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，函数值越大”的规律即可快速求解，是二次函数性质应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
④ 将抛物线$y=2x^2$先沿$x$轴方向向左平移2个单位，再沿$y$轴方向向下平移3个单位，所得抛物线的表达式是
$y=2(x+2)^2-3$
。答案
4. $y=2(x+2)^2-3$
解析
【分析】
解决本题需用到二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，要注意：左右平移是仅针对自变量x本身进行加减操作，和x的系数无关；上下平移是针对整个函数值进行加减操作。我们先处理x轴方向的平移变换，再处理y轴方向的平移变换，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：已知原抛物线表达式为$y=2x^2$。
1. 先沿x轴方向向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将自变量x替换为$x+2$，得到平移后的表达式为：$y=2(x+2)^2$；
2. 再沿y轴方向向下平移3个单位，根据“上加下减”的规律，在整个表达式末尾减3，最终得到抛物线表达式为：$y=2(x+2)^2-3$。
【答案】
$y=2(x+2)^2-3$
【知识点】
二次函数图象平移；平移规律应用
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考点是平移规律的正确应用，易错点为左右平移时误将平移单位与x的系数相乘，只要牢记规律、规范操作即可得分。
【难度系数】
0.85
解决本题需用到二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，要注意：左右平移是仅针对自变量x本身进行加减操作，和x的系数无关；上下平移是针对整个函数值进行加减操作。我们先处理x轴方向的平移变换，再处理y轴方向的平移变换，逐步推导即可得到结果。
【解析】
解：已知原抛物线表达式为$y=2x^2$。
1. 先沿x轴方向向左平移2个单位，根据“左加右减”的规律，将自变量x替换为$x+2$，得到平移后的表达式为：$y=2(x+2)^2$；
2. 再沿y轴方向向下平移3个单位，根据“上加下减”的规律，在整个表达式末尾减3，最终得到抛物线表达式为：$y=2(x+2)^2-3$。
【答案】
$y=2(x+2)^2-3$
【知识点】
二次函数图象平移；平移规律应用
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考点是平移规律的正确应用，易错点为左右平移时误将平移单位与x的系数相乘，只要牢记规律、规范操作即可得分。
【难度系数】
0.85
5 图像的顶点为(-2，-2)，且经过原点的二次函数的表达式是
$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-2$
。答案
5. $y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-2$
解析
【分析】
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解可简化计算。首先根据顶点坐标写出含待定系数a的顶点式，再将已知经过的原点坐标代入解析式，求出待定系数a的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
∵ 二次函数的顶点为(-2,-2)
∴ 设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2-2$（$a≠0$）
∵ 函数图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入顶点式得：
$0=a×(0+2)^2 - 2$
即$4a - 2 = 0$
解得$a=\dfrac{1}{2}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入所设顶点式，得二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2 - 2$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据给出的顶点坐标选择顶点式进行计算，避免使用一般式带来的复杂运算，属于基础题型，熟练掌握顶点式的结构即可快速解答。
【难度系数】
0.8
已知二次函数的顶点坐标，优先选择顶点式求解可简化计算。首先根据顶点坐标写出含待定系数a的顶点式，再将已知经过的原点坐标代入解析式，求出待定系数a的值，即可得到二次函数的表达式。
【解析】
∵ 二次函数的顶点为(-2,-2)
∴ 设该二次函数的顶点式为$y=a(x+2)^2-2$（$a≠0$）
∵ 函数图像经过原点$(0,0)$
∴ 将$x=0$，$y=0$代入顶点式得：
$0=a×(0+2)^2 - 2$
即$4a - 2 = 0$
解得$a=\dfrac{1}{2}$
将$a=\dfrac{1}{2}$代入所设顶点式，得二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2 - 2$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x+2)^2-2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式
2. 待定系数法求解析式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题关键是根据给出的顶点坐标选择顶点式进行计算，避免使用一般式带来的复杂运算，属于基础题型，熟练掌握顶点式的结构即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度$y$(m)与水平距离$x$(m)之间的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{90}(x-30)^2+10$，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为
10
m。答案
6. 10
解析
【分析】
这道题考查二次函数顶点式的最值问题，解题思路如下：首先回忆形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值。本题给出的函数已经是顶点式，我们只需要判断开口方向，提取顶点的纵坐标即可得到最大高度。
【解析】
已知飞行高度$y$与水平距离$x$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{90}(x-30)^2+10$，属于二次函数顶点式：
1. 首先判断开口方向：式中二次项系数$a=-\dfrac{1}{90}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 确定顶点坐标：顶点式对应顶点为$(30,10)$，即当$x=30$时，$y$取最大值$10$。
因此高尔夫球在飞行过程中的最大高度为$10\mathrm{m}$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，只要熟练掌握顶点式各参数的意义，就能快速求出对应最值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数顶点式的最值问题，解题思路如下：首先回忆形如$y=a(x-h)^2+k$的二次函数性质：当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，顶点的纵坐标$k$就是函数的最大值。本题给出的函数已经是顶点式，我们只需要判断开口方向，提取顶点的纵坐标即可得到最大高度。
【解析】
已知飞行高度$y$与水平距离$x$的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{90}(x-30)^2+10$，属于二次函数顶点式：
1. 首先判断开口方向：式中二次项系数$a=-\dfrac{1}{90}＜0$，因此抛物线开口向下，函数存在最大值；
2. 确定顶点坐标：顶点式对应顶点为$(30,10)$，即当$x=30$时，$y$取最大值$10$。
因此高尔夫球在飞行过程中的最大高度为$10\mathrm{m}$。
【答案】
10
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值求解
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用，只要熟练掌握顶点式各参数的意义，就能快速求出对应最值，属于基础类题型。
【难度系数】
0.9
7 如果抛物线$y=ax^2 + b$经过点$(1,2)$与点$(\sqrt{3},0)$，把此抛物线向右平移3个单位，那么此时抛物线的顶点为
$(3, 3)$
。答案
7. $(3, 3)$
解析
【分析】
解题时先利用待定系数法求原抛物线的解析式：已知抛物线过两个已知点，将点坐标代入解析式可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可确定原抛物线；再根据形如$y=ax^2+b$的二次函数顶点为$(0,b)$得到原顶点坐标，最后结合二次函数平移“左加右减”的规律，计算向右平移3个单位后的顶点坐标即可。
【解析】
将点$(1,2)$、$(\sqrt{3},0)$代入抛物线解析式$y=ax^2 + b$，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 2 \\3a + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得：$2a = -2$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$a + b = 2$，得：$-1 + b = 2$，解得$b=3$。
因此原抛物线解析式为$y=-x^2 + 3$，其顶点坐标为$(0,3)$。
根据二次函数图像平移规律：向右平移3个单位时，顶点横坐标加3，纵坐标不变，所以平移后抛物线的顶点坐标为$(0+3,3)$，即$(3,3)$。
【答案】
$(3, 3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数图像平移
【点评】
本题是二次函数部分的基础常见题型，解题核心是先求出原抛物线的顶点，再结合平移规律计算新顶点，注意平移时“左加右减”的方向不要混淆。
【难度系数】
0.8
解题时先利用待定系数法求原抛物线的解析式：已知抛物线过两个已知点，将点坐标代入解析式可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可确定原抛物线；再根据形如$y=ax^2+b$的二次函数顶点为$(0,b)$得到原顶点坐标，最后结合二次函数平移“左加右减”的规律，计算向右平移3个单位后的顶点坐标即可。
【解析】
将点$(1,2)$、$(\sqrt{3},0)$代入抛物线解析式$y=ax^2 + b$，可得方程组：
$\begin{cases}a + b = 2 \\3a + b = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$，得：$2a = -2$，解得$a=-1$。
将$a=-1$代入$a + b = 2$，得：$-1 + b = 2$，解得$b=3$。
因此原抛物线解析式为$y=-x^2 + 3$，其顶点坐标为$(0,3)$。
根据二次函数图像平移规律：向右平移3个单位时，顶点横坐标加3，纵坐标不变，所以平移后抛物线的顶点坐标为$(0+3,3)$，即$(3,3)$。
【答案】
$(3, 3)$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点坐标；二次函数图像平移
【点评】
本题是二次函数部分的基础常见题型，解题核心是先求出原抛物线的顶点，再结合平移规律计算新顶点，注意平移时“左加右减”的方向不要混淆。
【难度系数】
0.8
⑧ 将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 先向下平移2个单位，那么应将此抛物线向右平移
2
个单位后，才能使所得的抛物线经过原点。答案
8. 2
解析
【分析】
解题时先利用二次函数平移的“上加下减，左加右减”规则，先写出原抛物线向下平移2个单位后的解析式，再设向右平移的单位长度为h，写出两次平移后的最终抛物线解析式，最后根据抛物线过原点的条件，将原点坐标(0,0)代入解析式，解方程即可求出平移的单位长度，注意平移单位为正数，需舍去负解。
【解析】
1. 先求原抛物线向下平移2个单位后的解析式：
根据“上加下减常数项”的平移规则，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2$。
2. 设再向右平移$h$个单位（$h＞0$），根据“左加右减自变量”的平移规则，平移后的解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x - h)^2 - 2$
3. 因为所得抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入上述解析式：
$0=\frac{1}{2}(0 - h)^2 - 2$
化简得：$\frac{1}{2}h^2=2$，即$h^2=4$
解得$h=2$或$h=-2$，因平移单位为正数，舍去$h=-2$，故$h=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数的平移规则和函数图象过点的性质，解题的关键是准确掌握“左加右减，上加下减”的平移规律，代入点坐标求解时注意平移单位的非负性，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时先利用二次函数平移的“上加下减，左加右减”规则，先写出原抛物线向下平移2个单位后的解析式，再设向右平移的单位长度为h，写出两次平移后的最终抛物线解析式，最后根据抛物线过原点的条件，将原点坐标(0,0)代入解析式，解方程即可求出平移的单位长度，注意平移单位为正数，需舍去负解。
【解析】
1. 先求原抛物线向下平移2个单位后的解析式：
根据“上加下减常数项”的平移规则，抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$向下平移2个单位后，解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - 2$。
2. 设再向右平移$h$个单位（$h＞0$），根据“左加右减自变量”的平移规则，平移后的解析式为：
$y=\frac{1}{2}(x - h)^2 - 2$
3. 因为所得抛物线经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入上述解析式：
$0=\frac{1}{2}(0 - h)^2 - 2$
化简得：$\frac{1}{2}h^2=2$，即$h^2=4$
解得$h=2$或$h=-2$，因平移单位为正数，舍去$h=-2$，故$h=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 二次函数图象平移规律
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查二次函数的平移规则和函数图象过点的性质，解题的关键是准确掌握“左加右减，上加下减”的平移规律，代入点坐标求解时注意平移单位的非负性，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8
9 抛物线 $y=2(x-2)^2 -6$ 的顶点为C，已知 $y=-kx +3$ 的图像经过点C，则这个一次函数图像与两坐标轴所围成的三角形面积为
1
。答案
9. 1 [提示:顶点C的坐标为(2,-6),代入y=-kx+3,得$k=\dfrac{9}{2}$,则$y=-\dfrac{9}{2}x+3$与y轴交于点(0,3),与x轴的交点为$(\dfrac{2}{3},0)$,所以该直线与坐标轴围成的三角形的面积为$\dfrac{1}{2} × \dfrac{2}{3} × 3=1$。]
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先求出抛物线的顶点C的坐标；第二步，将点C的坐标代入一次函数解析式，求出参数$k$的值，得到完整的一次函数解析式；第三步，分别求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再利用直角三角形面积公式计算一次函数与两坐标轴围成的三角形面积。
【解析】
1. 求抛物线顶点C的坐标：
已知抛物线解析式为$y=2(x-2)^2 -6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2$，$k=-6$，因此顶点C的坐标为$(2,-6)$。
2. 求一次函数解析式：
将$C(2,-6)$代入$y=-kx+3$，得：
$-6 = -2k + 3$
移项解得：$2k = 9$，即$k=\frac{9}{2}$
因此一次函数解析式为$y=-\frac{9}{2}x + 3$
3. 求一次函数与坐标轴的交点：
与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=3$，即交点为$(0,3)$
与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=-\frac{9}{2}x + 3$，解得$x=\frac{2}{3}$，即交点为$(\frac{2}{3},0)$
4. 计算三角形面积：
一次函数与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边长度分别为两交点与原点的距离$\frac{2}{3}$和$3$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 3 = 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数顶点式性质，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础综合题，考查了二次函数、一次函数的基础性质及图形面积计算，解题核心是先利用二次函数顶点式求出交点坐标，再逐步推导计算，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先求出抛物线的顶点C的坐标；第二步，将点C的坐标代入一次函数解析式，求出参数$k$的值，得到完整的一次函数解析式；第三步，分别求出一次函数与x轴、y轴的交点坐标，再利用直角三角形面积公式计算一次函数与两坐标轴围成的三角形面积。
【解析】
1. 求抛物线顶点C的坐标：
已知抛物线解析式为$y=2(x-2)^2 -6$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$h=2$，$k=-6$，因此顶点C的坐标为$(2,-6)$。
2. 求一次函数解析式：
将$C(2,-6)$代入$y=-kx+3$，得：
$-6 = -2k + 3$
移项解得：$2k = 9$，即$k=\frac{9}{2}$
因此一次函数解析式为$y=-\frac{9}{2}x + 3$
3. 求一次函数与坐标轴的交点：
与y轴交点：令$x=0$，代入得$y=3$，即交点为$(0,3)$
与x轴交点：令$y=0$，代入得$0=-\frac{9}{2}x + 3$，解得$x=\frac{2}{3}$，即交点为$(\frac{2}{3},0)$
4. 计算三角形面积：
一次函数与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，两条直角边长度分别为两交点与原点的距离$\frac{2}{3}$和$3$，因此面积为：
$S=\frac{1}{2} × \frac{2}{3} × 3 = 1$
【答案】
1
【知识点】
二次函数顶点式性质，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题属于基础综合题，考查了二次函数、一次函数的基础性质及图形面积计算，解题核心是先利用二次函数顶点式求出交点坐标，再逐步推导计算，掌握相关基础知识点即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
⑩ 将抛物线$y=-2x^2$向
右
平移2
个单位，再向上
平移8
个单位，就可以经过点(0，0)和(1，6)。答案
10. 右,2,上,8 [提示:设平移后的抛物线为$y=-2x^2+bx+c$,代入点(0,0)和(1,6)可得c=0,b=8,所以平移后抛物线为$y=-2x^2+8x$,化为顶点式为$y=-2(x-2)^2+8$,所以$y=-2x^2$向右平移2个单位,再向上平移8个单位可得$y=-2(x-2)^2+8$。]
解析
【分析】
解决这道题的核心思路是利用二次函数平移的性质：平移不改变二次函数的开口方向和大小，即二次项系数a不变。首先我们设出平移后抛物线的一般式，将已知的两个点代入求解系数，再将所得解析式化为顶点式，对比原抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移规律即可得到抛物线的平移方向和距离。
【解析】
1. 设平移后的抛物线解析式为：$y=-2x^2+bx+c$（平移后$a$不变，仍为$-2$）
2. 将点$(0,0)$代入解析式：
当$x=0,y=0$时，$0=-2×0^2 + b×0 + c$，解得$c=0$
3. 将点$(1,6)$和$c=0$代入解析式：
当$x=1,y=6$时，$6=-2×1^2 + b×1 + 0$，即$6=-2+b$，解得$b=8$
4. 因此平移后的抛物线解析式为$y=-2x^2+8x$，将其化为顶点式：
$y=-2x^2+8x=-2(x^2-4x)=-2(x^2-4x+4-4)=-2(x-2)^2+8$
5. 原抛物线$y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后抛物线的顶点为$(2,8)$，可知顶点向右平移2个单位，再向上平移8个单位，对应抛物线也做相同平移。
【答案】
右，2，上，8
【知识点】
二次函数平移规律，待定系数法求解析式，一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础常考题，解题关键是抓住平移前后二次项系数不变的特点，结合待定系数法和平移规律即可求解，需熟练掌握二次函数解析式不同形式的转化。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心思路是利用二次函数平移的性质：平移不改变二次函数的开口方向和大小，即二次项系数a不变。首先我们设出平移后抛物线的一般式，将已知的两个点代入求解系数，再将所得解析式化为顶点式，对比原抛物线的顶点坐标，根据顶点的平移规律即可得到抛物线的平移方向和距离。
【解析】
1. 设平移后的抛物线解析式为：$y=-2x^2+bx+c$（平移后$a$不变，仍为$-2$）
2. 将点$(0,0)$代入解析式：
当$x=0,y=0$时，$0=-2×0^2 + b×0 + c$，解得$c=0$
3. 将点$(1,6)$和$c=0$代入解析式：
当$x=1,y=6$时，$6=-2×1^2 + b×1 + 0$，即$6=-2+b$，解得$b=8$
4. 因此平移后的抛物线解析式为$y=-2x^2+8x$，将其化为顶点式：
$y=-2x^2+8x=-2(x^2-4x)=-2(x^2-4x+4-4)=-2(x-2)^2+8$
5. 原抛物线$y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后抛物线的顶点为$(2,8)$，可知顶点向右平移2个单位，再向上平移8个单位，对应抛物线也做相同平移。
【答案】
右，2，上，8
【知识点】
二次函数平移规律，待定系数法求解析式，一般式化顶点式
【点评】
本题是二次函数图像性质的基础常考题，解题关键是抓住平移前后二次项系数不变的特点，结合待定系数法和平移规律即可求解，需熟练掌握二次函数解析式不同形式的转化。
【难度系数】
0.7
11 指出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1) $y=2(x-\dfrac{1}{2})^2+1$；
(2) $y=-2(x+\dfrac{1}{2})^2-1$；
(3) $y=(x+3)^2-4$；
(4) $y=-(x-3)^2+4$。
(1) $y=2(x-\dfrac{1}{2})^2+1$；
(2) $y=-2(x+\dfrac{1}{2})^2-1$；
(3) $y=(x+3)^2-4$；
(4) $y=-(x-3)^2+4$。
答案
11. (1) 开口向上,对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},1)$。
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 开口向上,对称轴为直线$x=-3$,顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,4)$。
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 开口向上,对称轴为直线$x=-3$,顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,4)$。
解析
【分析】
题目给出的四个二次函数均为顶点式$y=a(x+m)^2+k$（$a≠0$）的形式，可直接结合顶点式的性质求解：第一步先识别每个解析式中$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步把括号内的表达式整理为$x-h$的形式，对称轴就是直线$x=h$，$h$也是顶点的横坐标；第三步解析式末尾的常数项就是顶点的纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标为$(h,k)$。
(1) 对于$y=2(x-\dfrac{1}{2})^2+1$：
$a=2＞0$，$h=\dfrac{1}{2}$，$k=1$，因此开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},1)$。
(2) 对于$y=-2(x+\dfrac{1}{2})^2-1$，可改写为$y=-2[x-(-\dfrac{1}{2})]^2+(-1)$：
$a=-2＜0$，$h=-\dfrac{1}{2}$，$k=-1$，因此开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 对于$y=(x+3)^2-4$，可改写为$y=1×[x-(-3)]^2+(-4)$：
$a=1＞0$，$h=-3$，$k=-4$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 对于$y=-(x-3)^2+4$：
$a=-1＜0$，$h=3$，$k=4$，因此开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,4)$。
【答案】
(1) 开口向上,对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},1)$。
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 开口向上,对称轴为直线$x=-3$,顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,4)$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 抛物线开口方向判断
3. 抛物线对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，核心是掌握顶点式中参数$a$、$h$、$k$对应的几何意义，解题时需注意括号内的符号，避免求对称轴和顶点横坐标时符号出错。
【难度系数】
0.9
题目给出的四个二次函数均为顶点式$y=a(x+m)^2+k$（$a≠0$）的形式，可直接结合顶点式的性质求解：第一步先识别每个解析式中$a$的符号，$a＞0$时抛物线开口向上，$a＜0$时开口向下；第二步把括号内的表达式整理为$x-h$的形式，对称轴就是直线$x=h$，$h$也是顶点的横坐标；第三步解析式末尾的常数项就是顶点的纵坐标，即可得到顶点坐标。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
对称轴为直线$x=h$；
顶点坐标为$(h,k)$。
(1) 对于$y=2(x-\dfrac{1}{2})^2+1$：
$a=2＞0$，$h=\dfrac{1}{2}$，$k=1$，因此开口向上，对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},1)$。
(2) 对于$y=-2(x+\dfrac{1}{2})^2-1$，可改写为$y=-2[x-(-\dfrac{1}{2})]^2+(-1)$：
$a=-2＜0$，$h=-\dfrac{1}{2}$，$k=-1$，因此开口向下，对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 对于$y=(x+3)^2-4$，可改写为$y=1×[x-(-3)]^2+(-4)$：
$a=1＞0$，$h=-3$，$k=-4$，因此开口向上，对称轴为直线$x=-3$，顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 对于$y=-(x-3)^2+4$：
$a=-1＜0$，$h=3$，$k=4$，因此开口向下，对称轴为直线$x=3$，顶点坐标为$(3,4)$。
【答案】
(1) 开口向上,对称轴为直线$x=\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(\dfrac{1}{2},1)$。
(2) 开口向下,对称轴为直线$x=-\dfrac{1}{2}$,顶点坐标为$(-\dfrac{1}{2},-1)$。
(3) 开口向上,对称轴为直线$x=-3$,顶点坐标为$(-3,-4)$。
(4) 开口向下,对称轴为直线$x=3$,顶点坐标为$(3,4)$。
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 抛物线开口方向判断
3. 抛物线对称轴与顶点坐标求解
【点评】
本题是二次函数顶点式的基础应用题型，核心是掌握顶点式中参数$a$、$h$、$k$对应的几何意义，解题时需注意括号内的符号，避免求对称轴和顶点横坐标时符号出错。
【难度系数】
0.9
