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12 二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的图像如图所示，已知 $OA=OC$，点A为二次函数与y轴的交点，点C为二次函数的顶点，试求该抛物线的表达式。
答案
12.由题意可得点C的坐标为$(h,0)$,所以$OC=h$。因为$OA=OC$,所以$OA=OC=h$,所以点$A(0,h)$。将点A代入$y=\dfrac{1}{2}(x-h)^2$得,$h=\dfrac{1}{2}(0-h)^2$,解得$h_1=0$(舍去),$h_2=2$,所以二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2$。
解析
【分析】
解题时首先从二次函数的顶点式入手，先明确顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，本题中常数项为0，即可得到顶点C的坐标，进而求出OC的长度；再结合$OA=OC$的条件，推导出y轴交点A的坐标；最后将点A坐标代入二次函数解析式列方程求解h，结合图像特征舍去不符合题意的解，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：由二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$的顶点式可知，其顶点C的坐标为$(h,0)$，结合图像可得$OC=h$（$h＞0$）。
$\because OA=OC$，$\therefore OA=h$。
$\because$点A是抛物线与y轴的交点，且在y轴正半轴上，$\therefore$点A的坐标为$(0,h)$。
将$A(0,h)$代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$得：
$h=\frac{1}{2}(0-h)^2$
整理得$\frac{1}{2}h^2-h=0$，因式分解得$h(\frac{1}{2}h-1)=0$，
解得$h_1=0$，$h_2=2$。
当$h=0$时，抛物线顶点和点A均在原点，与图示不符，故舍去$h=0$，即$h=2$。
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 函数图像点的坐标特征
3. 坐标与线段长度转化
【点评】
本题结合二次函数图像性质和几何线段关系考查解析式求解，解题核心是利用顶点式确定顶点坐标，再通过线段等量关系得到抛物线上点的坐标代入求参，求解后要结合图像舍去不合题意的解，是二次函数解析式求解的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数的顶点式入手，先明确顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，本题中常数项为0，即可得到顶点C的坐标，进而求出OC的长度；再结合$OA=OC$的条件，推导出y轴交点A的坐标；最后将点A坐标代入二次函数解析式列方程求解h，结合图像特征舍去不符合题意的解，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：由二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$的顶点式可知，其顶点C的坐标为$(h,0)$，结合图像可得$OC=h$（$h＞0$）。
$\because OA=OC$，$\therefore OA=h$。
$\because$点A是抛物线与y轴的交点，且在y轴正半轴上，$\therefore$点A的坐标为$(0,h)$。
将$A(0,h)$代入$y=\frac{1}{2}(x-h)^2$得：
$h=\frac{1}{2}(0-h)^2$
整理得$\frac{1}{2}h^2-h=0$，因式分解得$h(\frac{1}{2}h-1)=0$，
解得$h_1=0$，$h_2=2$。
当$h=0$时，抛物线顶点和点A均在原点，与图示不符，故舍去$h=0$，即$h=2$。
$\therefore$该抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x-2)^2$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 函数图像点的坐标特征
3. 坐标与线段长度转化
【点评】
本题结合二次函数图像性质和几何线段关系考查解析式求解，解题核心是利用顶点式确定顶点坐标，再通过线段等量关系得到抛物线上点的坐标代入求参，求解后要结合图像舍去不合题意的解，是二次函数解析式求解的基础典型题。
【难度系数】
0.7
13 在平面直角坐标系$xOy$中，将直线$l:y=-\dfrac{3}{4}x -3$沿$x$轴翻折，得到一条新直线，与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，将抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$沿$x$轴平移，得到一条新抛物线，与$y$轴交于点$D$，与直线$AB$交于点$E$、$F$。连接$DF$，满足$DF // x$轴。试求直线$AB$和新抛物线的表达式。
答案
13.由题意得$A(-4,0)$,$B(0,3)$。设直线$AB$的表达式为$y=kx+3(k≠0)$。将$A(-4,0)$代入,得$-4k+3=0$,解得$k=\dfrac{3}{4}$,所以直线$AB$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x +3$。
设平移后的抛物线$C_2$的顶点为$P(n,0)$,则抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$,所以$D(0,\dfrac{1}{3}n^2)$。因为$DF// x$轴,所以点F与点D关于抛物线对称轴对称,所以点$F(2n,\dfrac{1}{3}n^2)$。又因为点F在直线AB上,所以$\dfrac{1}{3}n^2=\dfrac{3}{4}·(2n)+3$。解得$n_1=6$,$n_2=-\dfrac{3}{2}$。
所以抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$。
设平移后的抛物线$C_2$的顶点为$P(n,0)$,则抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$,所以$D(0,\dfrac{1}{3}n^2)$。因为$DF// x$轴,所以点F与点D关于抛物线对称轴对称,所以点$F(2n,\dfrac{1}{3}n^2)$。又因为点F在直线AB上,所以$\dfrac{1}{3}n^2=\dfrac{3}{4}·(2n)+3$。解得$n_1=6$,$n_2=-\dfrac{3}{2}$。
所以抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$。
解析
【分析】
解题分为两步推进：第一步求翻折后直线AB的表达式：直线沿x轴翻折时，对应点横坐标不变、纵坐标互为相反数，先求出原直线l与x轴、y轴的交点，翻折后得到A、B两点坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的解析式。第二步求平移后新抛物线的表达式：抛物线沿x轴平移时，形状、开口方向、顶点纵坐标均不变，可设平移后抛物线的顶点式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$，先求出抛物线与y轴交点D的坐标，再根据$DF//x$轴结合抛物线的对称性得到点F的坐标，最后利用点F在直线AB上的条件列方程求解参数n，即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
1. 求直线AB的表达式：
原直线$l:y=-\dfrac{3}{4}x -3$，令$y=0$，解得$x=-4$，即原直线与x轴交点为$(-4,0)$，沿x轴翻折后该点不变，故$A(-4,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即原直线与y轴交点为$(0,-3)$，沿x轴翻折后纵坐标变为相反数，得$B(0,3)$。
设直线AB的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，再将$A(-4,0)$代入$y=kx+3$，得：
$-4k+3=0$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，因此直线AB的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x + 3$。
2. 求新抛物线的表达式：
抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$沿x轴平移，设平移后抛物线的顶点为$(n,0)$，则新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{1}{3}n^2$，故新抛物线与y轴交点$D(0,\dfrac{1}{3}n^2)$。
因为$DF//x$轴，所以点F与点D纵坐标相等，且D、F关于抛物线的对称轴$x=n$对称，因此点F的横坐标为$2n$，即$F(2n,\dfrac{1}{3}n^2)$。
又因为点F在直线AB上，将F坐标代入直线AB的表达式得：
$\dfrac{1}{3}n^2=\dfrac{3}{4}×2n + 3$，
整理得$2n^2-9n-18=0$，解得$n_1=6$，$n_2=-\dfrac{3}{2}$。
将n代入顶点式，得新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$。
【答案】
直线AB的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x + 3$；新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$
【知识点】
一次函数翻折变换；二次函数图像平移；二次函数对称性
【点评】
本题综合考查函数图像的变换性质与方程思想的应用，解题核心是抓住翻折、平移的不变性，结合DF平行x轴的条件推导点F的坐标特征，再通过点在函数图像上的性质列方程求解，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题分为两步推进：第一步求翻折后直线AB的表达式：直线沿x轴翻折时，对应点横坐标不变、纵坐标互为相反数，先求出原直线l与x轴、y轴的交点，翻折后得到A、B两点坐标，再用待定系数法即可求出直线AB的解析式。第二步求平移后新抛物线的表达式：抛物线沿x轴平移时，形状、开口方向、顶点纵坐标均不变，可设平移后抛物线的顶点式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$，先求出抛物线与y轴交点D的坐标，再根据$DF//x$轴结合抛物线的对称性得到点F的坐标，最后利用点F在直线AB上的条件列方程求解参数n，即可得到新抛物线的表达式。
【解析】
1. 求直线AB的表达式：
原直线$l:y=-\dfrac{3}{4}x -3$，令$y=0$，解得$x=-4$，即原直线与x轴交点为$(-4,0)$，沿x轴翻折后该点不变，故$A(-4,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，即原直线与y轴交点为$(0,-3)$，沿x轴翻折后纵坐标变为相反数，得$B(0,3)$。
设直线AB的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将$B(0,3)$代入得$b=3$，再将$A(-4,0)$代入$y=kx+3$，得：
$-4k+3=0$，解得$k=\dfrac{3}{4}$，因此直线AB的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x + 3$。
2. 求新抛物线的表达式：
抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$沿x轴平移，设平移后抛物线的顶点为$(n,0)$，则新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$。
令$x=0$，得$y=\dfrac{1}{3}n^2$，故新抛物线与y轴交点$D(0,\dfrac{1}{3}n^2)$。
因为$DF//x$轴，所以点F与点D纵坐标相等，且D、F关于抛物线的对称轴$x=n$对称，因此点F的横坐标为$2n$，即$F(2n,\dfrac{1}{3}n^2)$。
又因为点F在直线AB上，将F坐标代入直线AB的表达式得：
$\dfrac{1}{3}n^2=\dfrac{3}{4}×2n + 3$，
整理得$2n^2-9n-18=0$，解得$n_1=6$，$n_2=-\dfrac{3}{2}$。
将n代入顶点式，得新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$。
【答案】
直线AB的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x + 3$；新抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$
【知识点】
一次函数翻折变换；二次函数图像平移；二次函数对称性
【点评】
本题综合考查函数图像的变换性质与方程思想的应用，解题核心是抓住翻折、平移的不变性，结合DF平行x轴的条件推导点F的坐标特征，再通过点在函数图像上的性质列方程求解，对数形结合能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14 已知$y=(x-3)^2$图像上有三点A、B、C，其中AB与x轴平行，且$∠ ACB=90°$，求点C到AB的距离。
答案
14.设点A的坐标为$(m,(m-3)^2)$。因为$AB// x$轴,且抛物线的对称轴是直线$x=3$,所以点B的坐标为$(6-m,(m-3)^2)$。设点C的坐标为$(n,(n-3)^2)$。如图,过点C作x轴的平行线,分别过点A、B作前面平行线的垂线,垂足分别为点H、G,可得$BG=AH=(m-3)^2-(n-3)^2=(m-n)(m+n-6)$,$HC=n-m$,$CG=6-n-m$。
因为$∠ ACB=90°$,易证$△ AHC ∽ △ CGB$,可得$\dfrac{AH}{CG}=\dfrac{HC}{BG}$,所以$\dfrac{(m-n)(m+n-6)}{6-n-m}=\dfrac{n-m}{(m-n)(m+n-6)}$,解得$(m-n)(m+n-6)=1$,即$BG=AH=1$,所以点C到AB的距离为1。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先利用二次函数的对称性，由AB平行于x轴的条件得到A、B两点的坐标关系；其次遇到直角顶点在坐标系中的情况，采用“三垂直”模型构造相似三角形，将角度条件转化为线段比例关系；最后设出三点坐标，用坐标表示各线段长度，代入相似的比例式化简，即可求出点C到AB的距离。
【解析】
设点A的坐标为$(m,(m-3)^2)$。
因为$AB// x$轴，抛物线$y=(x-3)^2$的对称轴是直线$x=3$，所以A、B关于直线$x=3$对称，可得点B的坐标为$(6-m,(m-3)^2)$。
设点C的坐标为$(n,(n-3)^2)$。
如图，过点C作x轴的平行线，分别过点A、B作该平行线的垂线，垂足分别为点H、G，可得：
$BG=AH=(m-3)^2-(n-3)^2=(m-n)(m+n-6)$，
$HC=n-m$，
$CG=(6-m)-n=6-n-m$。
因为$∠ ACB=90°$，所以$∠ ACH+∠ BCG=90°$，又$∠ ACH+∠ CAH=90°$，故$∠ CAH=∠ BCG$，且$∠ AHC=∠ CGB=90°$，可证$△ AHC ∽ △ CGB$。
由相似三角形对应边成比例可得$\dfrac{AH}{CG}=\dfrac{HC}{BG}$，代入线段长度得：
$\dfrac{(m-n)(m+n-6)}{6-n-m}=\dfrac{n-m}{(m-n)(m+n-6)}$
交叉相乘化简后解得$(m-n)(m+n-6)=1$，即$BG=AH=1$，而AH的长度就是点C到AB的距离。
【答案】
点C到AB的距离为1。
【知识点】
二次函数的性质；相似三角形的应用；坐标与图形性质
【点评】
本题将二次函数的对称性与相似三角形结合考查，核心是通过构造三垂直相似模型将直角条件转化为线段比例关系，同时要求学生掌握坐标与线段长度的转换、因式分解等代数运算技能，是二次函数与几何综合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：首先利用二次函数的对称性，由AB平行于x轴的条件得到A、B两点的坐标关系；其次遇到直角顶点在坐标系中的情况，采用“三垂直”模型构造相似三角形，将角度条件转化为线段比例关系；最后设出三点坐标，用坐标表示各线段长度，代入相似的比例式化简，即可求出点C到AB的距离。
【解析】
设点A的坐标为$(m,(m-3)^2)$。
因为$AB// x$轴，抛物线$y=(x-3)^2$的对称轴是直线$x=3$，所以A、B关于直线$x=3$对称，可得点B的坐标为$(6-m,(m-3)^2)$。
设点C的坐标为$(n,(n-3)^2)$。
如图，过点C作x轴的平行线，分别过点A、B作该平行线的垂线，垂足分别为点H、G，可得：
$BG=AH=(m-3)^2-(n-3)^2=(m-n)(m+n-6)$，
$HC=n-m$，
$CG=(6-m)-n=6-n-m$。
因为$∠ ACB=90°$，所以$∠ ACH+∠ BCG=90°$，又$∠ ACH+∠ CAH=90°$，故$∠ CAH=∠ BCG$，且$∠ AHC=∠ CGB=90°$，可证$△ AHC ∽ △ CGB$。
由相似三角形对应边成比例可得$\dfrac{AH}{CG}=\dfrac{HC}{BG}$，代入线段长度得：
$\dfrac{(m-n)(m+n-6)}{6-n-m}=\dfrac{n-m}{(m-n)(m+n-6)}$
交叉相乘化简后解得$(m-n)(m+n-6)=1$，即$BG=AH=1$，而AH的长度就是点C到AB的距离。
【答案】
点C到AB的距离为1。
【知识点】
二次函数的性质；相似三角形的应用；坐标与图形性质
【点评】
本题将二次函数的对称性与相似三角形结合考查，核心是通过构造三垂直相似模型将直角条件转化为线段比例关系，同时要求学生掌握坐标与线段长度的转换、因式分解等代数运算技能，是二次函数与几何综合的典型基础题。
【难度系数】
0.6
