12 二次函数 $y=\frac{1}{2}(x-h)^2$ 的图像如图所示，已知 $OA=OC$，点A为二次函数与y轴的交点，点C为二次函数的顶点，试求该抛物线的表达式。

12.由题意可得点C的坐标为$(h,0)$,所以$OC=h$。因为$OA=OC$,所以$OA=OC=h$,所以点$A(0,h)$。将点A代入$y=\dfrac{1}{2}(x-h)^2$得,$h=\dfrac{1}{2}(0-h)^2$,解得$h_1=0$(舍去),$h_2=2$,所以二次函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}(x-2)^2$。

13 在平面直角坐标系$xOy$中，将直线$l:y=-\dfrac{3}{4}x -3$沿$x$轴翻折，得到一条新直线，与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$B$，将抛物线$y=\dfrac{1}{3}x^2$沿$x$轴平移，得到一条新抛物线，与$y$轴交于点$D$，与直线$AB$交于点$E$、$F$。连接$DF$，满足$DF // x$轴。试求直线$AB$和新抛物线的表达式。

13.由题意得$A(-4,0)$,$B(0,3)$。设直线$AB$的表达式为$y=kx+3(k≠0)$。将$A(-4,0)$代入,得$-4k+3=0$,解得$k=\dfrac{3}{4}$,所以直线$AB$的表达式为$y=\dfrac{3}{4}x +3$。
设平移后的抛物线$C_2$的顶点为$P(n,0)$,则抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-n)^2$,所以$D(0,\dfrac{1}{3}n^2)$。因为$DF// x$轴,所以点F与点D关于抛物线对称轴对称,所以点$F(2n,\dfrac{1}{3}n^2)$。又因为点F在直线AB上,所以$\dfrac{1}{3}n^2=\dfrac{3}{4}·(2n)+3$。解得$n_1=6$,$n_2=-\dfrac{3}{2}$。
所以抛物线$C_2$的表达式为$y=\dfrac{1}{3}(x-6)^2$或$y=\dfrac{1}{3}(x+\dfrac{3}{2})^2$。

14 已知$y=(x-3)^2$图像上有三点A、B、C，其中AB与x轴平行，且$∠ ACB=90°$，求点C到AB的距离。

14.设点A的坐标为$(m,(m-3)^2)$。因为$AB// x$轴,且抛物线的对称轴是直线$x=3$,所以点B的坐标为$(6-m,(m-3)^2)$。设点C的坐标为$(n,(n-3)^2)$。如图,过点C作x轴的平行线,分别过点A、B作前面平行线的垂线,垂足分别为点H、G,可得$BG=AH=(m-3)^2-(n-3)^2=(m-n)(m+n-6)$,$HC=n-m$,$CG=6-n-m$。
因为$∠ ACB=90°$,易证$△ AHC ∽ △ CGB$,可得$\dfrac{AH}{CG}=\dfrac{HC}{BG}$,所以$\dfrac{(m-n)(m+n-6)}{6-n-m}=\dfrac{n-m}{(m-n)(m+n-6)}$,解得$(m-n)(m+n-6)=1$,即$BG=AH=1$,所以点C到AB的距离为1。