12 将二次函数$y=-2(x-2)^2+3$的图像开口反向，并上下平移，得一新抛物线，新抛物线与直线$y=kx+1$有一个交点为$(3,4)$。求：
（1）这条新抛物线的函数表达式。
（2）这条新抛物线和直线$y=kx+1$的另一个交点。

12. (1) 由题意可设新抛物线表达式为$y=2(x-2)^2+m$,将点(3,4)代入可得m=2,所以新抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2+2$。
(2) 把点(3,4)代入直线$y=kx+1$得,3k+1=4,解得k=1,得$y=x+1$。联立
$\begin{cases} y=2(x-2)^2+2,\\ y=x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{3}{2},\\ y_1=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$或$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=4, \end{cases}$所以这条新抛物线和直线$y=x+1$的另一个交点为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$。

13 如图，抛物线 $ y_1 = -x^2 + 2 $ 向右平移1个单位得到抛物线 $ y_2 $。
（1）求抛物线 $ y_2 $ 的顶点坐标。
（2）求阴影部分的面积 $ S $。
（3）若再将抛物线 $ y_2 $ 绕原点 $ O $ 旋转 $ 180° $ 得到抛物线 $ y_3 $，求抛物线 $ y_3 $ 的表达式。

13. (1) 由题意得$y_2=-(x-1)^2+2$,顶点坐标为(1,2)。
(2) $S=1 × 2=2$。
(3) $y_2$的顶点关于原点成中心对称的点为(-1,-2),旋转$180°$后的抛物线开口方向相反,大小相同。所以$y_3=(x+1)^2-2$。

14 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 5 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $、$ B $。抛物线 $ y = ax^2 $ 经过线段 $ AB $ 的中点 $ C $。
（1）求点 $ C $ 的坐标以及抛物线的表达式。
（2）平移（1）中的抛物线，使其恒过原点，且顶点 $ D $ 在第三象限。如果 $ S_{△ OBD} = 5 $，并且此时在直线 $ x = k $ 的左侧，新旧抛物线的图像都是下降的，求 $ k $ 的取值范围。
（3）我们把一条抛物线上横坐标和纵坐标相等的点叫作这条抛物线的“不动点”，将（1）中的抛物线沿 $ x $ 轴翻折后再平移，使所得的新抛物线的顶点 $ P $ 就是其“不动点”，且点 $ P $ 位于 $ △ AOB $ 内（不包括边界），求此时新抛物线与 $ y $ 轴交点纵坐标 $ m $ 的取值范围。

14. (1) 由题意得A(10,0),B(0,5)。因为C为线段AB的中点,可得$C(5,\dfrac{5}{2})$,将C代入抛物线$y=ax^2$,得$a=\dfrac{1}{10}$,所以抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{10}x^2$。
(2) 由(1)知,OB=5,所以$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}OB·|x_D|=5$,得$|x_D|=2$。因为顶点D在第三象限,所以$x_D=-2$。因为在直线$x=k$的左侧,新旧抛物线的图像都是下降的,所以$k ≤ -2$。
(3) 抛物线沿x轴翻折后的表达式为$y=-\dfrac{1}{10}x^2$,因为平移后的顶点P就是"不动点",所以设点P的坐标为(n,n),所以平移后表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$。联立$\begin{cases} y=x,\\ y=-\dfrac{1}{2}x+5, \end{cases}$解得$x=\dfrac{10}{3}$,所以$0＜n＜\dfrac{10}{3}$。将x=0代入$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$,得$m=-\dfrac{1}{10}n^2+n$, $m=-\dfrac{1}{10}(n-5)^2+\dfrac{5}{2}$。因为$0＜n＜\dfrac{10}{3}$,所以m值随n的增大而增大,所以$0＜m＜\dfrac{20}{9}$。