登录
12 将二次函数$y=-2(x-2)^2+3$的图像开口反向，并上下平移，得一新抛物线，新抛物线与直线$y=kx+1$有一个交点为$(3,4)$。求：
（1）这条新抛物线的函数表达式。
（2）这条新抛物线和直线$y=kx+1$的另一个交点。
（1）这条新抛物线的函数表达式。
（2）这条新抛物线和直线$y=kx+1$的另一个交点。
答案
12. (1) 由题意可设新抛物线表达式为$y=2(x-2)^2+m$,将点(3,4)代入可得m=2,所以新抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2+2$。
(2) 把点(3,4)代入直线$y=kx+1$得,3k+1=4,解得k=1,得$y=x+1$。联立
$\begin{cases} y=2(x-2)^2+2,\\ y=x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{3}{2},\\ y_1=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$或$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=4, \end{cases}$所以这条新抛物线和直线$y=x+1$的另一个交点为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$。
(2) 把点(3,4)代入直线$y=kx+1$得,3k+1=4,解得k=1,得$y=x+1$。联立
$\begin{cases} y=2(x-2)^2+2,\\ y=x+1, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=\dfrac{3}{2},\\ y_1=\dfrac{5}{2}, \end{cases}$或$\begin{cases} x_1=3,\\ y_1=4, \end{cases}$所以这条新抛物线和直线$y=x+1$的另一个交点为$(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})$。
解析
【分析】
第(1)问解题思路：
首先回忆二次函数的性质：开口方向由二次项系数$a$决定，开口反向时$a$变为原来的相反数；上下平移只会改变顶点纵坐标，顶点横坐标不变。因此先确定新抛物线的二次项系数，再设出含未知参数的顶点式，最后将已知交点代入即可求出参数，得到新抛物线解析式。
第(2)问解题思路：
已知交点$(3,4)$同时在直线上，先代入直线解析式求出$k$，得到完整的直线方程。两个函数的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组后去掉已知的$(3,4)$，剩下的就是另一个交点坐标。
【解析】
(1) 原二次函数为$y=-2(x-2)^2+3$，开口反向后二次项系数变为原数的相反数，即$a=2$；上下平移不改变顶点横坐标，因此设新抛物线表达式为$y=2(x-2)^2+m$。
将点$(3,4)$代入上式：
$4=2×(3-2)^2+m$
解得$m=2$，因此新抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2+2$。
(2) 将点$(3,4)$代入直线$y=kx+1$：
$3k+1=4$
解得$k=1$，因此直线解析式为$y=x+1$。
联立新抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=2(x-2)^2+2\\ y=x+1 \end{cases}$
将$y=x+1$代入抛物线解析式，整理得：
$2x^2-9x+9=0$
因式分解得$(2x-3)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$，因此另一个交点为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2(x-2)^2+2}$（或展开为$y=2x^2-8x+10$）
(2) $\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})}$
【知识点】
二次函数图像变换、待定系数法求解析式、函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的常规题型，核心考查二次函数图像变化对解析式的影响，以及联立方程求交点的基础方法，解题时注意计算准确率即可。
【难度系数】
0.7
第(1)问解题思路：
首先回忆二次函数的性质：开口方向由二次项系数$a$决定，开口反向时$a$变为原来的相反数；上下平移只会改变顶点纵坐标，顶点横坐标不变。因此先确定新抛物线的二次项系数，再设出含未知参数的顶点式，最后将已知交点代入即可求出参数，得到新抛物线解析式。
第(2)问解题思路：
已知交点$(3,4)$同时在直线上，先代入直线解析式求出$k$，得到完整的直线方程。两个函数的交点坐标就是两个函数解析式联立组成的方程组的解，解方程组后去掉已知的$(3,4)$，剩下的就是另一个交点坐标。
【解析】
(1) 原二次函数为$y=-2(x-2)^2+3$，开口反向后二次项系数变为原数的相反数，即$a=2$；上下平移不改变顶点横坐标，因此设新抛物线表达式为$y=2(x-2)^2+m$。
将点$(3,4)$代入上式：
$4=2×(3-2)^2+m$
解得$m=2$，因此新抛物线的表达式为$y=2(x-2)^2+2$。
(2) 将点$(3,4)$代入直线$y=kx+1$：
$3k+1=4$
解得$k=1$，因此直线解析式为$y=x+1$。
联立新抛物线与直线的解析式：
$\begin{cases} y=2(x-2)^2+2\\ y=x+1 \end{cases}$
将$y=x+1$代入抛物线解析式，整理得：
$2x^2-9x+9=0$
因式分解得$(2x-3)(x-3)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$y=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}$，因此另一个交点为$(\frac{3}{2},\frac{5}{2})$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=2(x-2)^2+2}$（或展开为$y=2x^2-8x+10$）
(2) $\boldsymbol{(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2})}$
【知识点】
二次函数图像变换、待定系数法求解析式、函数交点求解
【点评】
本题是二次函数的常规题型，核心考查二次函数图像变化对解析式的影响，以及联立方程求交点的基础方法，解题时注意计算准确率即可。
【难度系数】
0.7
13 如图，抛物线 $ y_1 = -x^2 + 2 $ 向右平移1个单位得到抛物线 $ y_2 $。
（1）求抛物线 $ y_2 $ 的顶点坐标。
（2）求阴影部分的面积 $ S $。
（3）若再将抛物线 $ y_2 $ 绕原点 $ O $ 旋转 $ 180° $ 得到抛物线 $ y_3 $，求抛物线 $ y_3 $ 的表达式。
（1）求抛物线 $ y_2 $ 的顶点坐标。
（2）求阴影部分的面积 $ S $。
（3）若再将抛物线 $ y_2 $ 绕原点 $ O $ 旋转 $ 180° $ 得到抛物线 $ y_3 $，求抛物线 $ y_3 $ 的表达式。
答案
13. (1) 由题意得$y_2=-(x-1)^2+2$,顶点坐标为(1,2)。
(2) $S=1 × 2=2$。
(3) $y_2$的顶点关于原点成中心对称的点为(-1,-2),旋转$180°$后的抛物线开口方向相反,大小相同。所以$y_3=(x+1)^2-2$。
解析
【分析】
（1）解决抛物线平移问题，需牢记“左加右减，上加下减”的平移规律，先写出平移后$y_2$的顶点式解析式，再根据顶点式的结构直接提取顶点坐标即可。
（2）阴影部分是不规则图形，由于平移前后抛物线形状、大小完全相同，可通过割补法将阴影部分转化为规则的长方形，长方形的长为平移的水平距离，宽为抛物线顶点的纵坐标，计算长方形面积即可得到阴影面积。
（3）抛物线绕原点旋转180°的本质是两个抛物线关于原点中心对称，此时顶点关于原点对称，且开口方向相反（二次项系数互为相反数），先求出$y_2$顶点的对称点，再结合开口方向变化即可写出$y_3$的解析式。
【解析】
（1）根据抛物线平移“左加右减”的规律，$y_1=-x^2+2$向右平移1个单位，将解析式中的$x$替换为$x-1$，得$y_2=-(x-1)^2+2$。
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
（2）平移不改变抛物线的形状和大小，将阴影部分进行割补后可得到长为1、宽为2的长方形，因此阴影部分面积$S=1×2=2$。
（3）$y_2$的顶点为$(1,2)$，绕原点旋转180°后，顶点关于原点对称，对应坐标为$(-1,-2)$，同时抛物线开口方向相反，二次项系数变为1，因此$y_3$的解析式为$y=(x+1)^2-2$。
【答案】
13. (1) 由题意得$y_2=-(x-1)^2+2$,顶点坐标为(1,2)。
(2) $S=1 × 2=2$。
(3) $y_2$的顶点关于原点成中心对称的点为(-1,-2),旋转$180°$后的抛物线开口方向相反,大小相同。所以$y_3=(x+1)^2-2$。
【知识点】
二次函数平移规律，割补法求面积，二次函数旋转性质
【点评】
本题综合考查二次函数图像的平移、旋转变换以及不规则图形面积的求解，核心是掌握函数图像变换时“形状不变仅位置和方向改变”的特点，灵活运用割补法简化面积计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
（1）解决抛物线平移问题，需牢记“左加右减，上加下减”的平移规律，先写出平移后$y_2$的顶点式解析式，再根据顶点式的结构直接提取顶点坐标即可。
（2）阴影部分是不规则图形，由于平移前后抛物线形状、大小完全相同，可通过割补法将阴影部分转化为规则的长方形，长方形的长为平移的水平距离，宽为抛物线顶点的纵坐标，计算长方形面积即可得到阴影面积。
（3）抛物线绕原点旋转180°的本质是两个抛物线关于原点中心对称，此时顶点关于原点对称，且开口方向相反（二次项系数互为相反数），先求出$y_2$顶点的对称点，再结合开口方向变化即可写出$y_3$的解析式。
【解析】
（1）根据抛物线平移“左加右减”的规律，$y_1=-x^2+2$向右平移1个单位，将解析式中的$x$替换为$x-1$，得$y_2=-(x-1)^2+2$。
对于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$，因此$y_2$的顶点坐标为$(1,2)$。
（2）平移不改变抛物线的形状和大小，将阴影部分进行割补后可得到长为1、宽为2的长方形，因此阴影部分面积$S=1×2=2$。
（3）$y_2$的顶点为$(1,2)$，绕原点旋转180°后，顶点关于原点对称，对应坐标为$(-1,-2)$，同时抛物线开口方向相反，二次项系数变为1，因此$y_3$的解析式为$y=(x+1)^2-2$。
【答案】
13. (1) 由题意得$y_2=-(x-1)^2+2$,顶点坐标为(1,2)。
(2) $S=1 × 2=2$。
(3) $y_2$的顶点关于原点成中心对称的点为(-1,-2),旋转$180°$后的抛物线开口方向相反,大小相同。所以$y_3=(x+1)^2-2$。
【知识点】
二次函数平移规律，割补法求面积，二次函数旋转性质
【点评】
本题综合考查二次函数图像的平移、旋转变换以及不规则图形面积的求解，核心是掌握函数图像变换时“形状不变仅位置和方向改变”的特点，灵活运用割补法简化面积计算，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
14 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 5 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $、$ B $。抛物线 $ y = ax^2 $ 经过线段 $ AB $ 的中点 $ C $。
（1）求点 $ C $ 的坐标以及抛物线的表达式。
（2）平移（1）中的抛物线，使其恒过原点，且顶点 $ D $ 在第三象限。如果 $ S_{△ OBD} = 5 $，并且此时在直线 $ x = k $ 的左侧，新旧抛物线的图像都是下降的，求 $ k $ 的取值范围。
（3）我们把一条抛物线上横坐标和纵坐标相等的点叫作这条抛物线的“不动点”，将（1）中的抛物线沿 $ x $ 轴翻折后再平移，使所得的新抛物线的顶点 $ P $ 就是其“不动点”，且点 $ P $ 位于 $ △ AOB $ 内（不包括边界），求此时新抛物线与 $ y $ 轴交点纵坐标 $ m $ 的取值范围。
（1）求点 $ C $ 的坐标以及抛物线的表达式。
（2）平移（1）中的抛物线，使其恒过原点，且顶点 $ D $ 在第三象限。如果 $ S_{△ OBD} = 5 $，并且此时在直线 $ x = k $ 的左侧，新旧抛物线的图像都是下降的，求 $ k $ 的取值范围。
（3）我们把一条抛物线上横坐标和纵坐标相等的点叫作这条抛物线的“不动点”，将（1）中的抛物线沿 $ x $ 轴翻折后再平移，使所得的新抛物线的顶点 $ P $ 就是其“不动点”，且点 $ P $ 位于 $ △ AOB $ 内（不包括边界），求此时新抛物线与 $ y $ 轴交点纵坐标 $ m $ 的取值范围。
答案
14. (1) 由题意得A(10,0),B(0,5)。因为C为线段AB的中点,可得$C(5,\dfrac{5}{2})$,将C代入抛物线$y=ax^2$,得$a=\dfrac{1}{10}$,所以抛物线的表达式为$y=\dfrac{1}{10}x^2$。
(2) 由(1)知,OB=5,所以$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}OB·|x_D|=5$,得$|x_D|=2$。因为顶点D在第三象限,所以$x_D=-2$。因为在直线$x=k$的左侧,新旧抛物线的图像都是下降的,所以$k ≤ -2$。
(3) 抛物线沿x轴翻折后的表达式为$y=-\dfrac{1}{10}x^2$,因为平移后的顶点P就是"不动点",所以设点P的坐标为(n,n),所以平移后表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$。联立$\begin{cases} y=x,\\ y=-\dfrac{1}{2}x+5, \end{cases}$解得$x=\dfrac{10}{3}$,所以$0＜n＜\dfrac{10}{3}$。将x=0代入$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$,得$m=-\dfrac{1}{10}n^2+n$, $m=-\dfrac{1}{10}(n-5)^2+\dfrac{5}{2}$。因为$0＜n＜\dfrac{10}{3}$,所以m值随n的增大而增大,所以$0＜m＜\dfrac{20}{9}$。
(2) 由(1)知,OB=5,所以$S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}OB·|x_D|=5$,得$|x_D|=2$。因为顶点D在第三象限,所以$x_D=-2$。因为在直线$x=k$的左侧,新旧抛物线的图像都是下降的,所以$k ≤ -2$。
(3) 抛物线沿x轴翻折后的表达式为$y=-\dfrac{1}{10}x^2$,因为平移后的顶点P就是"不动点",所以设点P的坐标为(n,n),所以平移后表达式为$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$。联立$\begin{cases} y=x,\\ y=-\dfrac{1}{2}x+5, \end{cases}$解得$x=\dfrac{10}{3}$,所以$0＜n＜\dfrac{10}{3}$。将x=0代入$y=-\dfrac{1}{10}(x-n)^2+n$,得$m=-\dfrac{1}{10}n^2+n$, $m=-\dfrac{1}{10}(n-5)^2+\dfrac{5}{2}$。因为$0＜n＜\dfrac{10}{3}$,所以m值随n的增大而增大,所以$0＜m＜\dfrac{20}{9}$。
解析
【分析】
（1）首先根据直线解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用中点坐标公式求出线段AB中点C的坐标，最后将C点坐标代入抛物线$y=ax^2$求解系数a，即可得到抛物线表达式。
（2）先由B点坐标得到OB的长度，结合三角形面积公式求出顶点D的横坐标，根据D在第三象限确定横坐标的取值；再分别判断新旧抛物线的下降区间，要使$x=k$左侧两个抛物线均下降，k需小于等于两个下降区间的最小左边界。
（3）先求出原抛物线沿x轴翻折后的解析式，根据“不动点”的定义设平移后的顶点坐标为$(n,n)$，写出平移后抛物线的顶点式；再结合顶点在$△ AOB$内（不含边界）的条件列不等式求出n的取值范围；最后令$x=0$得到新抛物线与y轴交点纵坐标m关于n的函数，结合函数增减性求出m的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y = -\frac{1}{2}x + 5$：
令$y=0$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；令$x=0$，解得$y=5$，故$B(0,5)$。
因为C为AB中点，由中点坐标公式得$C(\frac{10+0}{2},\frac{0+5}{2})$，即$C(5,\frac{5}{2})$。
将$C(5,\frac{5}{2})$代入$y=ax^2$，得$\frac{5}{2}=25a$，解得$a=\frac{1}{10}$，因此抛物线表达式为$y=\frac{1}{10}x^2$。
(2) 由(1)可知$OB=5$，设顶点D的横坐标为$x_D$，$△ OBD$中OB边上的高为$|x_D|$：
由$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}· OB· |x_D|=5$，代入$OB=5$得$\frac{1}{2}×5×|x_D|=5$，解得$|x_D|=2$。
因为D在第三象限，故$x_D=-2$。
旧抛物线$y=\frac{1}{10}x^2$开口向上，下降区间为$x≤0$；平移后抛物线开口方向不变，顶点横坐标为-2，下降区间为$x≤-2$。
要使$x=k$左侧两个抛物线均下降，因此$k≤-2$。
(3) 原抛物线沿x轴翻折后，解析式变为$y=-\frac{1}{10}x^2$。
因为平移后顶点P为“不动点”，即横纵坐标相等，设$P(n,n)$，则平移后抛物线解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-n)^2+n$。
P在$△ AOB$内（不含边界），需满足$n＞0$且$n＜-\frac{1}{2}n+5$，联立$\begin{cases}y=x\\y=-\frac{1}{2}x+5\end{cases}$解得$x=\frac{10}{3}$，因此$0＜n＜\frac{10}{3}$。
令$x=0$，代入平移后解析式得$m=-\frac{1}{10}n^2+n$，整理为$m=-\frac{1}{10}(n-5)^2+\frac{5}{2}$。
该函数开口向下，对称轴为$n=5$，在$0＜n＜\frac{10}{3}＜5$范围内，m随n的增大而增大。
当$n=0$时$m=0$，当$n=\frac{10}{3}$时$m=\frac{20}{9}$，因此$0＜m＜\frac{20}{9}$。
【答案】
(1) $C(5,\dfrac{5}{2})$，抛物线表达式为$y=\dfrac{1}{10}x^2$；
(2) $k ≤ -2$；
(3) $0＜m＜\dfrac{20}{9}$
【知识点】
二次函数的性质，函数图像的变换，新定义应用
【点评】
本题综合考查二次函数的基础运算、图像平移翻折规律、结合几何条件求参数范围的能力，解题时需逐层拆解条件，结合数形结合思想分析区间范围，兼顾新定义的理解运用，对综合分析能力有较好的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
（1）首先根据直线解析式求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再利用中点坐标公式求出线段AB中点C的坐标，最后将C点坐标代入抛物线$y=ax^2$求解系数a，即可得到抛物线表达式。
（2）先由B点坐标得到OB的长度，结合三角形面积公式求出顶点D的横坐标，根据D在第三象限确定横坐标的取值；再分别判断新旧抛物线的下降区间，要使$x=k$左侧两个抛物线均下降，k需小于等于两个下降区间的最小左边界。
（3）先求出原抛物线沿x轴翻折后的解析式，根据“不动点”的定义设平移后的顶点坐标为$(n,n)$，写出平移后抛物线的顶点式；再结合顶点在$△ AOB$内（不含边界）的条件列不等式求出n的取值范围；最后令$x=0$得到新抛物线与y轴交点纵坐标m关于n的函数，结合函数增减性求出m的取值范围。
【解析】
(1) 对于直线$y = -\frac{1}{2}x + 5$：
令$y=0$，解得$x=10$，故$A(10,0)$；令$x=0$，解得$y=5$，故$B(0,5)$。
因为C为AB中点，由中点坐标公式得$C(\frac{10+0}{2},\frac{0+5}{2})$，即$C(5,\frac{5}{2})$。
将$C(5,\frac{5}{2})$代入$y=ax^2$，得$\frac{5}{2}=25a$，解得$a=\frac{1}{10}$，因此抛物线表达式为$y=\frac{1}{10}x^2$。
(2) 由(1)可知$OB=5$，设顶点D的横坐标为$x_D$，$△ OBD$中OB边上的高为$|x_D|$：
由$S_{△ OBD}=\frac{1}{2}· OB· |x_D|=5$，代入$OB=5$得$\frac{1}{2}×5×|x_D|=5$，解得$|x_D|=2$。
因为D在第三象限，故$x_D=-2$。
旧抛物线$y=\frac{1}{10}x^2$开口向上，下降区间为$x≤0$；平移后抛物线开口方向不变，顶点横坐标为-2，下降区间为$x≤-2$。
要使$x=k$左侧两个抛物线均下降，因此$k≤-2$。
(3) 原抛物线沿x轴翻折后，解析式变为$y=-\frac{1}{10}x^2$。
因为平移后顶点P为“不动点”，即横纵坐标相等，设$P(n,n)$，则平移后抛物线解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-n)^2+n$。
P在$△ AOB$内（不含边界），需满足$n＞0$且$n＜-\frac{1}{2}n+5$，联立$\begin{cases}y=x\\y=-\frac{1}{2}x+5\end{cases}$解得$x=\frac{10}{3}$，因此$0＜n＜\frac{10}{3}$。
令$x=0$，代入平移后解析式得$m=-\frac{1}{10}n^2+n$，整理为$m=-\frac{1}{10}(n-5)^2+\frac{5}{2}$。
该函数开口向下，对称轴为$n=5$，在$0＜n＜\frac{10}{3}＜5$范围内，m随n的增大而增大。
当$n=0$时$m=0$，当$n=\frac{10}{3}$时$m=\frac{20}{9}$，因此$0＜m＜\frac{20}{9}$。
【答案】
(1) $C(5,\dfrac{5}{2})$，抛物线表达式为$y=\dfrac{1}{10}x^2$；
(2) $k ≤ -2$；
(3) $0＜m＜\dfrac{20}{9}$
【知识点】
二次函数的性质，函数图像的变换，新定义应用
【点评】
本题综合考查二次函数的基础运算、图像平移翻折规律、结合几何条件求参数范围的能力，解题时需逐层拆解条件，结合数形结合思想分析区间范围，兼顾新定义的理解运用，对综合分析能力有较好的锻炼价值。
【难度系数】
0.6
