1. 已知$△ ABC$的三边分别是$a,b,c$,下列条件中不能判断$△ ABC$为直角三角形的是 ()

A.$∠ A=∠ B+∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$
C.$a^2=(b+c)(b-c)$
D.$a^2=3,b^2=4,c^2=5$

D

我们逐个分析选项：
1. 选项A：根据三角形内角和为180°，已知∠A=∠B+∠C，代入得∠A+∠A=180°，解得∠A=90°，可判断△ABC是直角三角形。
2. 选项B：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由内角和得x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角∠C=90°，可判断△ABC是直角三角形。
3. 选项C：展开等式右边得$a^2=b^2-c^2$，移项得$a^2+c^2=b^2$，符合勾股定理逆定理，可判断△ABC是直角三角形。
4. 选项D：验证平方和：$a^2+b^2=3+4=7≠5$，$a^2+c^2=3+5=8≠4$，$b^2+c^2=4+5=9≠3$，任意两边平方和都不等于第三边平方，不能判断△ABC是直角三角形。

2. 如图，$□ ABCD$中，对角线AC，BD相交于点O，下列说法一定正确的是（）

A.$AO=BO$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB=BC$
D.$AB=CD$

D

根据平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分。逐一判断选项：
A. $AO=BO$仅当平行四边形是矩形时成立，普通平行四边形不满足；
B. $AC⊥ BD$仅当平行四边形是菱形时成立，普通平行四边形不满足；
C. $AB=BC$仅当平行四边形邻边相等（菱形）时成立，普通平行四边形不满足；
D. 平行四边形的对边必然相等，因此$AB=CD$一定成立。

3. 如图,面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为2.以点A为圆心,AD长为半径画弧,交数轴于点E(点E在点A的左侧),则点E表示的数为()

A.$-\dfrac{1}{2}$
B.$-\sqrt{6}$
C.$2+\sqrt{6}$
D.$2-\sqrt{6}$

D

已知正方形ABCD的面积为6，因此正方形的边长$AD=\sqrt{6}$。由作图可知，以A为圆心、AD长为半径画弧，故$AE=AD=\sqrt{6}$。点A在数轴上表示的数为2，且点E在点A的左侧，因此点E表示的数为$2-\sqrt{6}$。

4. 如图，$△ ABC$中，$E,F$分别是$AB,AC$的中点，点$D$在$EF$上，延长$AD$交$BC$于点$N$，$BD⊥ AN$，$AB=6$，$BC=8$，则$DF$等于()

A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{2}$

C

1. 已知E、F分别是AB、AC的中点，因此EF是△ABC的中位线，由三角形中位线性质可得：$EF// BC$，且$EF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
2. 由$BD⊥ AN$，可知$△ ADB$是直角三角形，E是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因此$DF=EF-DE=4-3=1$。

5. 如图,矩形ABCD中,O为AC的中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC.则下列结论:①$DE=EF$;②四边形DFBE是菱形;③$BM=3FM$;④$S_{△ AOE}:S_{△ BCF}=2:3$.其中正确结论的序号是()

A.③④
B.①②④
C.①②③
D.①②③④

C

1. 证明②：矩形ABCD中AB//CD，O为AC中点，OA=OC，可证△AOE≌△COF，得OE=OF，结合OD=OB，可知四边形DFBE是平行四边形。由∠COB=60°，OB=OC，得△COB为等边三角形，BO=BC；又FO=FC，BF为公共边，可证△BOF≌△BCF，得∠BOF=∠BCF=90°，即EF⊥BD，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故四边形DFBE是菱形，②正确。
2. 证明①：菱形DFBE中DE=BE，由∠OBC=60°，得∠ABD=30°，故∠EBF=60°，△BEF为等边三角形，EF=BE，因此DE=EF，①正确。
3. 证明③：BF垂直平分OC，M为OC中点，设FM=a，在Rt△CFM中∠FCM=30°，得FC=2a，FO=FC=2a，在Rt△BOF中BF=4a，故BM=BF-FM=3a，即BM=3FM，③正确。
4. 验证④：通过坐标法计算可得$S_{△ AOE}:S_{△ BCF}=1:2≠2:3$，④错误。
综上正确结论为①②③。

6. 已知一个多边形的每个内角都是$135°$，则这个多边形的边数为。

$\boldsymbol{8}$

解：
∵ 多边形的每个内角都是$135°$，
∴ 该多边形的每个外角的度数为 $180° - 135° = 45°$。
又∵ 任意多边形的外角和都为$360°$，
∴ 这个多边形的边数为 $360° ÷ 45° = 8$。

7. 如图,一个透明圆柱形玻璃杯,从内部测得底面直径 12 cm, 高 16 cm, 现有一根长22 cm 的吸管任意放入杯中,若不计吸管粗细,则吸管露在杯口外的长度最少为cm.

$\boldsymbol{2}$

解：当吸管在杯内部分最长时，露在杯口外的长度最短，此时杯内吸管的长度为底面直径和玻璃杯高构成的直角三角形的斜边长。
由勾股定理得，杯内吸管最长长度为：
$\sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20\ \mathrm{cm}$
则吸管露在杯口外的长度最少为：
$22 - 20 = 2\ \mathrm{cm}$