8. 如图,在$□ ABCD$中,已知$AB=8,AD=10,DE$平分$∠ ADC$交$BC$于点$E$,则$BE$的长为.

$\boldsymbol{2}$

解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AB=CD=8$，$AD=BC=10$，
∴ $∠ ADE = ∠ DEC$。
∵ $DE$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADE = ∠ CDE$，
∴ $∠ DEC = ∠ CDE$，
∴ $CE = CD = 8$，
∴ $BE = BC - CE = 10 - 8 = 2$。

9. 如图,在$□ ABCD$中,E是CD的中点,F是AE的中点,CF交BE于点G,若BE=4,则GE=.

$\boldsymbol{1}$

解：
取BE的中点H，连接FH。
∵ F是AE的中点，H是BE的中点，
∴ FH是△ABE的中位线，
∴ FH//AB，且$FH=\frac{1}{2}AB$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，且AB=CD。
又∵ E是CD的中点，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$，
∴ CE=FH，且CE//FH，
∴ 四边形CEHF是平行四边形，
∴ 平行四边形CEHF的对角线CF、EH互相平分，即G是EH的中点，
∴ $GE=GH=\frac{1}{2}EH$。
∵ H是BE的中点，BE=4，
∴ $EH=\frac{1}{2}BE=2$，
∴ $GE=\frac{1}{2}×2=1$。

10. 如图，在 $Rt△ AOB$ 和 $Rt△ COD$ 中，$AB=CD=25$，$OB=7$，$AC=4$.求 $BD$ 的长.

解：
在$Rt△ AOB$中，$∠ O=90°$，由勾股定理得：
$AO = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$
$\because AC=4$
$\therefore OC = AO - AC = 24 - 4 = 20$
在$Rt△ COD$中，$∠ O=90°$，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{CD^2 - OC^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{225} = 15$
$\therefore BD = OD - OB = 15 - 7 = 8$
答：$BD$的长为8。

11. 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别过点C,D作BD,AC的平行线交于点E,连接AE.
(1)求证:四边形OCED为矩形;
(2)若菱形ABCD的对角线AC的长为$4\sqrt{3}$,$∠ BCD=60°$,求AE的长.

(1) 证明：
∵ $CE// BD$，$DE// AC$，
∴ 四边形$OCED$是平行四边形。
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ COD=90°$，
∴ 平行四边形$OCED$为矩形。
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(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是菱形，
∴ $AC⊥ BD$，$OC=OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，$AC$平分$∠ BCD$。
∵ $∠ BCD=60°$，
∴ $∠ OCD=\frac{1}{2}∠ BCD=30°$。
设$OD=x$，在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$CD=2OD=2x$，
由勾股定理得：
$OC^2 + OD^2 = CD^2$
代入数值：
$(2\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$
解得$x=2$（负值舍去），即$OD=2$。
∵ 四边形$OCED$是矩形，
∴ $CE=OD=2$，$∠ ACE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2 + CE^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 2^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
答：$AE$的长为$2\sqrt{13}$。