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10. 若关于x的不等式组$\begin{cases}2x+1＜2a, \\2x-1≥6\end{cases}$无解，且关于x的一次函数$y=(a-2)x+a-7$的图象经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数a的和是________。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
解：
解不等式$2x+1＜2a$，得$x ＜ a-\frac{1}{2}$，
解不等式$2x-1\ge6$，得$x\ge3.5$。
因为该不等式组无解，所以$a-\frac{1}{2}\le3.5$，
解得$a\le4$。
由一次函数$y=(a-2)x+a-7$的图象经过第一、三、四象限，可得：
$\begin{cases}a-2＞0 \\a-7＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a＞2 \\a＜7\end{cases}$。
综合两个条件得$2 ＜ a \le 4$，
符合条件的整数a为3、4，
所有符合条件的整数a的和为$3+4=7$。
解不等式$2x+1＜2a$，得$x ＜ a-\frac{1}{2}$，
解不等式$2x-1\ge6$，得$x\ge3.5$。
因为该不等式组无解，所以$a-\frac{1}{2}\le3.5$，
解得$a\le4$。
由一次函数$y=(a-2)x+a-7$的图象经过第一、三、四象限，可得：
$\begin{cases}a-2＞0 \\a-7＜0\end{cases}$
解得$\begin{cases}a＞2 \\a＜7\end{cases}$。
综合两个条件得$2 ＜ a \le 4$，
符合条件的整数a为3、4，
所有符合条件的整数a的和为$3+4=7$。
11. 已知 $ y-3 $ 与 $ x $ 成正比例，且 $ x=2 $ 时，$ y=7 $。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2) 当 $ x=-\dfrac{1}{2} $ 时，求 $ y $ 的值；
(3) 将所得函数图象平移，使它过点 $ (2,-1) $。求平移后直线的解析式。
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式；
(2) 当 $ x=-\dfrac{1}{2} $ 时，求 $ y $ 的值；
(3) 将所得函数图象平移，使它过点 $ (2,-1) $。求平移后直线的解析式。
答案
解：
(1) 设$y-3 = kx$（$k ≠ 0$），
将$x=2$，$y=7$代入得：$7-3 = 2k$，
解得$k=2$，
$\therefore y-3 = 2x$，
整理得$y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=2x+3}$。
(2) 将$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=2x+3$，
得$y=2×(-\dfrac{1}{2})+3 = -1+3 = 2$，
即$y$的值为$\boldsymbol{2}$。
(3) 平移后直线斜率不变，设平移后直线的解析式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1 = 2×2 + b$，
解得$b=-5$，
$\therefore$ 平移后直线的解析式为$\boldsymbol{y=2x-5}$。
(1) 设$y-3 = kx$（$k ≠ 0$），
将$x=2$，$y=7$代入得：$7-3 = 2k$，
解得$k=2$，
$\therefore y-3 = 2x$，
整理得$y$与$x$的函数关系式为$\boldsymbol{y=2x+3}$。
(2) 将$x=-\dfrac{1}{2}$代入$y=2x+3$，
得$y=2×(-\dfrac{1}{2})+3 = -1+3 = 2$，
即$y$的值为$\boldsymbol{2}$。
(3) 平移后直线斜率不变，设平移后直线的解析式为$y=2x+b$，
将点$(2,-1)$代入得：$-1 = 2×2 + b$，
解得$b=-5$，
$\therefore$ 平移后直线的解析式为$\boldsymbol{y=2x-5}$。
12. 数学教育家波利亚曾说：对一个数学问题,改变它的形式,变换它的结构,直到发现有价值的东西,这是数学解题的一个重要原则.
如何将双重二次根式$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简?如果你能找到两个数$m,n$,使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$,则$a\pm2\sqrt{b}$可变形为$m^2+n^2\pm2mn$,即$(m\pm n)^2$,从而使$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$得以化简.例如,$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$,所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
请用上述方法探索并解决下列问题:
(1)化简:$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$;
(2)化简:$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$;
(3)若$a+10\sqrt{3}=(x+\sqrt{3}y)^2$,且$a,x,y$为正整数,求$a$的值.
如何将双重二次根式$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$化简?如果你能找到两个数$m,n$,使$m^2+n^2=a$且$mn=\sqrt{b}$,则$a\pm2\sqrt{b}$可变形为$m^2+n^2\pm2mn$,即$(m\pm n)^2$,从而使$\sqrt{a\pm2\sqrt{b}}$得以化简.例如,$5+2\sqrt{6}=3+2+2\sqrt{6}=(\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{2}×\sqrt{3}=(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2$,所以$\sqrt{5+2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}=|\sqrt{3}+\sqrt{2}|=\sqrt{3}+\sqrt{2}$.
请用上述方法探索并解决下列问题:
(1)化简:$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$;
(2)化简:$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$;
(3)若$a+10\sqrt{3}=(x+\sqrt{3}y)^2$,且$a,x,y$为正整数,求$a$的值.
答案
解：
(1) 因为$4+2\sqrt{3}=3+1+2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}+1)^2$
所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=|\sqrt{3}+1|=\sqrt{3}+1$
(2) 先变形得$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{9-2\sqrt{20}}$
因为$9-2\sqrt{20}=5+4-2\sqrt{5×4}=(\sqrt{5})^2 + 2^2 - 2×\sqrt{5}×2=(\sqrt{5}-2)^2$
所以$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$
(3) 将等式右边展开：
$(x+\sqrt{3}y)^2=x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2$
因为$a+10\sqrt{3}=(x+\sqrt{3}y)^2$，且$a,x,y$为正整数，
可得：
$\begin{cases}a=x^2+3y^2\\2xy=10\end{cases}$
由$2xy=10$得$xy=5$，
正整数解为$\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
当$x=1,y=5$时，$a=1^2 + 3×5^2=76$
当$x=5,y=1$时，$a=5^2 + 3×1^2=28$
所以$a$的值为28或76。
(1) 因为$4+2\sqrt{3}=3+1+2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 + 1^2 + 2×\sqrt{3}×1=(\sqrt{3}+1)^2$
所以$\sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2}=|\sqrt{3}+1|=\sqrt{3}+1$
(2) 先变形得$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{9-2\sqrt{20}}$
因为$9-2\sqrt{20}=5+4-2\sqrt{5×4}=(\sqrt{5})^2 + 2^2 - 2×\sqrt{5}×2=(\sqrt{5}-2)^2$
所以$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(\sqrt{5}-2)^2}=|\sqrt{5}-2|=\sqrt{5}-2$
(3) 将等式右边展开：
$(x+\sqrt{3}y)^2=x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2$
因为$a+10\sqrt{3}=(x+\sqrt{3}y)^2$，且$a,x,y$为正整数，
可得：
$\begin{cases}a=x^2+3y^2\\2xy=10\end{cases}$
由$2xy=10$得$xy=5$，
正整数解为$\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}$或$\begin{cases}x=5\\y=1\end{cases}$
当$x=1,y=5$时，$a=1^2 + 3×5^2=76$
当$x=5,y=1$时，$a=5^2 + 3×1^2=28$
所以$a$的值为28或76。
