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8. 如图为可调节式露营椅的示意图. 当各个角度调节至如图所示的位置时体验感最佳,则此时∠ABC的度数是
128°
.答案
8.128°
解析
【分析】
解题思路如下：首先设AE与CD的交点为O，第一步利用三角形内角和定理计算△DOE中∠DOE的度数，结合对顶角相等得到∠AOC的度数；第二步在△AOF中，利用三角形内角和算出∠AFO的度数，再根据邻补角的性质得到∠BFC的度数；最后利用三角形外角的性质，可知∠ABC是△BFC的外角，等于不相邻两个内角∠C与∠BFC的和，即可求出结果。
【解析】
解：设AE与CD的交点为O。
1. 在$△ DOE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ DOE=180°-∠ D-∠ E=180°-53°-49°=78°$
根据对顶角相等，得$∠ AOC=∠ DOE=78°$。
2. 在$△ AOF$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AFO=180°-∠ A-∠ AOC=180°-35°-78°=67°$
$∠ AFO$与$∠ BFC$为邻补角，因此：
$∠ BFC=180°-∠ AFO=180°-67°=113°$
3. $∠ ABC$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）：
$∠ ABC=∠ C+∠ BFC=15°+113°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，需要结合图形识别对顶角、邻补角以及外角关系，逐步推导即可得出结果，解题时要注意角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先设AE与CD的交点为O，第一步利用三角形内角和定理计算△DOE中∠DOE的度数，结合对顶角相等得到∠AOC的度数；第二步在△AOF中，利用三角形内角和算出∠AFO的度数，再根据邻补角的性质得到∠BFC的度数；最后利用三角形外角的性质，可知∠ABC是△BFC的外角，等于不相邻两个内角∠C与∠BFC的和，即可求出结果。
【解析】
解：设AE与CD的交点为O。
1. 在$△ DOE$中，根据三角形内角和定理：
$∠ DOE=180°-∠ D-∠ E=180°-53°-49°=78°$
根据对顶角相等，得$∠ AOC=∠ DOE=78°$。
2. 在$△ AOF$中，根据三角形内角和定理：
$∠ AFO=180°-∠ A-∠ AOC=180°-35°-78°=67°$
$∠ AFO$与$∠ BFC$为邻补角，因此：
$∠ BFC=180°-∠ AFO=180°-67°=113°$
3. $∠ ABC$是$△ BFC$的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）：
$∠ ABC=∠ C+∠ BFC=15°+113°=128°$
【答案】
$128°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的基础综合题，需要结合图形识别对顶角、邻补角以及外角关系，逐步推导即可得出结果，解题时要注意角的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
9. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=
540°
.答案
9.540°
解析
【分析】
本题是求多个分散角的度数和的问题，核心用到转化思想。首先回忆相关知识点：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，n边形内角和公式为$(n-2)×180°$。解题时先观察图形，发现∠A和∠G在同一个小三角形内，可借助三角形外角的性质，把∠A+∠G转化为该三角形的一个外角，这个外角刚好能和其余的∠B、∠C、∠D、∠E、∠F共同构成五边形的5个内角，再代入五边形内角和公式就能算出总和。
【解析】
设DE与AB的交点为H，在$△ AGH$中，根据三角形外角的性质可得：$∠ GHB = ∠ A + ∠ G$。
此时$∠ GHB$与$∠ D、∠ C、∠ B、∠ E、∠ F$共同构成五边形的5个内角，根据多边形内角和公式，五边形内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G=540°$。
【答案】
$540°$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题考查角度和的计算，解题的关键是利用转化思想，通过三角形外角的性质将分散的角整合到同一个多边形中，结合多边形内角和公式求解，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.7
本题是求多个分散角的度数和的问题，核心用到转化思想。首先回忆相关知识点：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，n边形内角和公式为$(n-2)×180°$。解题时先观察图形，发现∠A和∠G在同一个小三角形内，可借助三角形外角的性质，把∠A+∠G转化为该三角形的一个外角，这个外角刚好能和其余的∠B、∠C、∠D、∠E、∠F共同构成五边形的5个内角，再代入五边形内角和公式就能算出总和。
【解析】
设DE与AB的交点为H，在$△ AGH$中，根据三角形外角的性质可得：$∠ GHB = ∠ A + ∠ G$。
此时$∠ GHB$与$∠ D、∠ C、∠ B、∠ E、∠ F$共同构成五边形的5个内角，根据多边形内角和公式，五边形内角和为：
$(5-2)×180°=540°$
因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F+∠ G=540°$。
【答案】
$540°$
【知识点】
三角形外角的性质；多边形内角和公式
【点评】
本题考查角度和的计算，解题的关键是利用转化思想，通过三角形外角的性质将分散的角整合到同一个多边形中，结合多边形内角和公式求解，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.7
10. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠ACD=136°,∠B=36°,求∠E的度数；
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
(1)若∠ACD=136°,∠B=36°,求∠E的度数；
(2)求证:∠BAC=∠B+2∠E.
答案
10. 解:(1)
∵ CE 平分∠ACD,∠ACD=136°,
∴ ∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×136°= 68°.
∵ ∠ECD = ∠B + ∠E, ∠B = 36°,
∴ ∠E = ∠ECD-∠B=68°-36°=32°.
(2)证明:
∵ CE 平分∠ACD,
∴ ∠ACD=2∠ECD.
∵ ∠ACD=∠B+∠BAC,
∴ 2∠ECD = ∠B+∠BAC. 又
∵ ∠ECD = ∠B+∠E,
∴ 2(∠B+∠E)=∠B+∠BAC,即∠BAC=∠B+2∠E.
∵ CE 平分∠ACD,∠ACD=136°,
∴ ∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×136°= 68°.
∵ ∠ECD = ∠B + ∠E, ∠B = 36°,
∴ ∠E = ∠ECD-∠B=68°-36°=32°.
(2)证明:
∵ CE 平分∠ACD,
∴ ∠ACD=2∠ECD.
∵ ∠ACD=∠B+∠BAC,
∴ 2∠ECD = ∠B+∠BAC. 又
∵ ∠ECD = ∠B+∠E,
∴ 2(∠B+∠E)=∠B+∠BAC,即∠BAC=∠B+2∠E.
解析
【分析】
(1)求解∠E时，首先利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；再观察发现∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角的和，可知∠ECD=∠B+∠E，代入已知角度即可求出∠E的度数。
(2)证明结论时，首先根据角平分线定义得到∠ACD=2∠ECD；再结合△ABC的外角性质，可得∠ACD=∠B+∠BAC，将∠ACD替换为2∠ECD；最后利用△BCE的外角性质把∠ECD替换为∠B+∠E，代入后整理等式即可得到要证的结论。
【解析】
(1)
∵ CE 平分∠ACD，∠ACD=136°，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×136°=68°$，
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ $∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，
又
∵ $∠ B=36°$，
∴ $∠ E = ∠ ECD-∠ B=68°-36°=32°$。
(2)证明：
∵ CE 平分∠ACD，
∴ $∠ ACD=2∠ ECD$，
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ $∠ ACD=∠ B+∠ BAC$，
∴ $2∠ ECD = ∠ B+∠ BAC$，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ $∠ ECD = ∠ B+∠ E$，
将$∠ ECD = ∠ B+∠ E$代入$2∠ ECD = ∠ B+∠ BAC$，得：
$2(∠ B+∠ E)=∠ B+∠ BAC$，
整理得$∠ BAC=∠ B+2∠ E$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32°}$；
(2) 证明成立，即$\boldsymbol{∠ BAC=∠ B+2∠ E}$。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算与证明题，解题核心是准确识别三角形的外角，灵活运用角平分线定义和三角形外角的性质梳理角之间的数量关系，推导过程难度较低，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1)求解∠E时，首先利用角平分线的定义求出∠ECD的度数；再观察发现∠ECD是△BCE的外角，根据三角形外角的性质，外角等于和它不相邻的两个内角的和，可知∠ECD=∠B+∠E，代入已知角度即可求出∠E的度数。
(2)证明结论时，首先根据角平分线定义得到∠ACD=2∠ECD；再结合△ABC的外角性质，可得∠ACD=∠B+∠BAC，将∠ACD替换为2∠ECD；最后利用△BCE的外角性质把∠ECD替换为∠B+∠E，代入后整理等式即可得到要证的结论。
【解析】
(1)
∵ CE 平分∠ACD，∠ACD=136°，
∴ $∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×136°=68°$，
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ $∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，
又
∵ $∠ B=36°$，
∴ $∠ E = ∠ ECD-∠ B=68°-36°=32°$。
(2)证明：
∵ CE 平分∠ACD，
∴ $∠ ACD=2∠ ECD$，
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ $∠ ACD=∠ B+∠ BAC$，
∴ $2∠ ECD = ∠ B+∠ BAC$，
又
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ $∠ ECD = ∠ B+∠ E$，
将$∠ ECD = ∠ B+∠ E$代入$2∠ ECD = ∠ B+∠ BAC$，得：
$2(∠ B+∠ E)=∠ B+∠ BAC$，
整理得$∠ BAC=∠ B+2∠ E$，得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32°}$；
(2) 证明成立，即$\boldsymbol{∠ BAC=∠ B+2∠ E}$。
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础的几何计算与证明题，解题核心是准确识别三角形的外角，灵活运用角平分线定义和三角形外角的性质梳理角之间的数量关系，推导过程难度较低，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.7
11. 阅读小明和小红的对话,解决下列问题.
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1 520°”的理由；
(2)求该多边形的内角和.
(1)通过列方程说明“多边形的内角和不可能是1 520°”的理由；
(2)求该多边形的内角和.
答案
11. 解:(1)理由:设多边形的边数为 n,由题意,得 180°(n-2)=1 520°,解得 $n=10\frac{4}{9}$.
∵ n 为正整数,
∴ 多边形内角和不可能为1 520°.
(2)设多加的这个外角为 x°,根据题意,得$(n-2)· 180°+x°=$1 520°,
∴ $x°=1\ 520°-(n-2)· 180°$.
∵ $0＜x°＜180°$,
∴ 0＜$1\ 520°-(n-2)· 180°＜180°$,解得 $9\frac{4}{9}＜n＜10\frac{4}{9}$.
∴ n = 10.
∴ 该多边形的内角和为$(10-2)×180°=1\ 440°$.
∵ n 为正整数,
∴ 多边形内角和不可能为1 520°.
(2)设多加的这个外角为 x°,根据题意,得$(n-2)· 180°+x°=$1 520°,
∴ $x°=1\ 520°-(n-2)· 180°$.
∵ $0＜x°＜180°$,
∴ 0＜$1\ 520°-(n-2)· 180°＜180°$,解得 $9\frac{4}{9}＜n＜10\frac{4}{9}$.
∴ n = 10.
∴ 该多边形的内角和为$(10-2)×180°=1\ 440°$.
解析
【分析】
(1) 要验证多边形内角和不可能是1520°，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$180°(n-2)$，其中n是≥3的正整数，因此内角和一定是180°的整数倍。我们可以设多边形边数为n，列方程求解n，若n不是正整数，即可证明内角和不可能为1520°。
(2) 已知总和1520°是内角和多加了一个外角得到的，首先明确多边形任意外角的取值范围是$0°＜x＜180°$，据此可列出关于边数n的不等式，求出n的正整数解后，代入内角和公式即可算出正确的内角和。
【解析】
(1) 设多边形的边数为n，若内角和为1520°，根据多边形内角和公式列方程：
$180°(n-2)=1520°$
解得 $n=10\frac{4}{9}$
∵ 多边形的边数n必须为正整数，$10\frac{4}{9}$不是正整数
∴ 多边形的内角和不可能是1520°。
(2) 设多加的这个外角度数为$x°$，根据题意可得：
$(n-2)·180° +x°=1520°$
整理得 $x°=1520°-(n-2)·180°$
∵ 多边形外角的取值范围为$0＜x°＜180°$
∴ 代入得不等式：$0＜1520°-(n-2)·180°＜180°$
解得 $9\frac{4}{9}＜n＜10\frac{4}{9}$
∵ n为正整数，
∴ n=10
∴ 该多边形的内角和为$(10-2)×180°=1440°$
【答案】
(1) 多边形边数需为正整数，解方程得边数为$10\frac{4}{9}$不符合要求，故内角和不可能是1520°；
(2) $1440°$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合情境考察多边形相关知识，解题核心是抓住多边形边数为正整数、外角取值在0到180°的特点，结合方程与不等式思想求解，能有效检验学生对基础知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要验证多边形内角和不可能是1520°，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$180°(n-2)$，其中n是≥3的正整数，因此内角和一定是180°的整数倍。我们可以设多边形边数为n，列方程求解n，若n不是正整数，即可证明内角和不可能为1520°。
(2) 已知总和1520°是内角和多加了一个外角得到的，首先明确多边形任意外角的取值范围是$0°＜x＜180°$，据此可列出关于边数n的不等式，求出n的正整数解后，代入内角和公式即可算出正确的内角和。
【解析】
(1) 设多边形的边数为n，若内角和为1520°，根据多边形内角和公式列方程：
$180°(n-2)=1520°$
解得 $n=10\frac{4}{9}$
∵ 多边形的边数n必须为正整数，$10\frac{4}{9}$不是正整数
∴ 多边形的内角和不可能是1520°。
(2) 设多加的这个外角度数为$x°$，根据题意可得：
$(n-2)·180° +x°=1520°$
整理得 $x°=1520°-(n-2)·180°$
∵ 多边形外角的取值范围为$0＜x°＜180°$
∴ 代入得不等式：$0＜1520°-(n-2)·180°＜180°$
解得 $9\frac{4}{9}＜n＜10\frac{4}{9}$
∵ n为正整数，
∴ n=10
∴ 该多边形的内角和为$(10-2)×180°=1440°$
【答案】
(1) 多边形边数需为正整数，解方程得边数为$10\frac{4}{9}$不符合要求，故内角和不可能是1520°；
(2) $1440°$
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角的性质；一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合情境考察多边形相关知识，解题核心是抓住多边形边数为正整数、外角取值在0到180°的特点，结合方程与不等式思想求解，能有效检验学生对基础知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
