12.【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在平面内有∠BAC，点D在平面上，连接BD，CD，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数和.
【数学思考】(1)请你解答老师提出的问题；
【深入探究】(2)老师让同学们移动点D，并提出新的问题.
①“善思小组”提出问题：如图2，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；
②“智慧小组”提出问题：如图3，延长CD，交AB于点E，延长BD，交AC于点F.若∠A=∠FDC，∠B=∠AFB，请直接写出∠BDC与∠B之间的数量关系.

12. 解:(1)∠A+∠B+∠C+∠D 的度数和为 360°.
(2) ① 证明:如图,连接 AD 并延长至点 K,
∴ ∠BDK= ∠B + ∠BAD, ∠CDK= ∠C + ∠CAD.
∴ ∠BDC= ∠BDK+ ∠CDK = ∠B + ∠BAD + ∠C + ∠CAD=∠BAC+∠B+∠C. ② ∠BDC=2∠B.

【分析】
(1) 观察图1可知图形为四边形ABDC，可直接利用四边形内角和公式求解四个角的度数和；
(2) ① 要证∠BDC=∠A+∠B+∠C，可通过构造辅助线拆分∠BDC，利用三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），连接AD并延长，将∠BDC拆为两个三角形的外角，合并角即可推导出结论；
(2) ② 先根据邻补角的性质得到∠FDC与∠BDC的关系，结合已知将∠A用∠BDC表示，再在△ABF中利用三角形内角和定理，结合∠B=∠AFB的条件做等量代换，化简后即可得到∠BDC与∠B的数量关系。
【解析】
(1) 图1是四边形ABDC，四边形内角和为$(4-2)×180°=360°$，因此$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$。
(2) ① 证明：连接AD并延长至点K，
根据三角形外角的性质，$∠ BDK$是$△ ABD$的外角，故$∠ BDK= ∠ B + ∠ BAD$；
同理$∠ CDK$是$△ ACD$的外角，故$∠ CDK= ∠ C + ∠ CAD$。
因此$∠ BDC= ∠ BDK+ ∠ CDK = ∠ B + ∠ BAD + ∠ C + ∠ CAD$，
又$∠ BAD+∠ CAD=∠ BAC$，所以$∠ BDC=∠ BAC+∠ B+∠ C$，即$∠ BDC=∠A+∠B+∠C$，得证。
② 因为$∠ BDC$与$∠ FDC$互为邻补角，所以$∠ FDC=180°-∠ BDC$，已知$∠ A=∠ FDC$，因此$∠ A=180°-∠ BDC$。
在$△ ABF$中，由三角形内角和定理得$∠ A+∠ B+∠ AFB=180°$，又$∠ B=∠ AFB$，代入得：
$180°-∠ BDC+∠ B+∠ B=180°$，
化简得$∠ BDC=2∠ B$。
【答案】
(1)$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D$ 的度数和为 $360°$。
(2) ① 证明:如图,连接 AD 并延长至点 K,
∴ $∠ BDK= ∠ B + ∠ BAD$, $∠ CDK= ∠ C + ∠ CAD$。
∴ $∠ BDC= ∠ BDK+ ∠ CDK = ∠ B + ∠ BAD + ∠ C + ∠ CAD=∠ BAC+∠ B+∠ C$。
② $∠ BDC=2∠ B$。
【知识点】
四边形内角和；三角形外角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题从基础的四边形角度计算入手，逐步深入考查凹多边形角度关系推导、角度数量关系探究，既夯实了内角和、外角性质等基础知识点的应用，也锻炼了辅助线构造、等量代换的逻辑推理能力，是角度计算类的典型习题。
【难度系数】
0.7

13. (1)思考探究:如图,△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P,则∠P与∠A的数量关系是;
(2)类比探究:如图,在四边形ABCD中,设∠A=α,∠D=β,α+β＞180°,四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交于点P,求∠P的度数;(用含α,β的代数式表示)
(3)拓展迁移:如图,将(2)中α+β＞180°改为α+β＜180°,其他条件不变,请写出∠P=.(用含α,β的代数式表示)

13. 解:(1)∠P=$\frac{1}{2}$∠A
(2)延长 BA,CD 相交于点 F,
∴ ∠FAD=180°-∠BAD=180°-α,∠FDA=180°-∠CDA=180°-β. 在△FAD 中,∠F = 180°-(∠FAD+∠FDA) = 180°-(180°-α+180°-β) = α+β-180°.
∵ BP 平分∠ABC,CP 平分∠DCE,
∴ 由(1)的结论,得∠P=$\frac{1}{2}$∠F=$\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°$.
(3)$90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$

【分析】
(1) 第一问可利用角平分线的定义，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，分别将外角∠ACD、∠PCD用∠A、∠P表示，化简后即可推导出∠P与∠A的数量关系。
(2) 第二问为四边形场景，我们可以通过延长BA、CD交于点F，将四边形问题转化为第一问的三角形内外角平分线模型，先根据三角形内角和求出∠F的度数，再直接套用第一问的结论求解∠P。
(3) 第三问条件变为α+β＜180°，仍使用转化思路，先推导∠F的表达式，再代入第一问的结论即可得到∠P的代数式。
【解析】
(1)
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ PCD=\frac{1}{2}∠ ACD$。
根据三角形外角性质：$∠ ACD=∠ A+∠ ABC$，$∠ PCD=∠ P+∠ PBC$，
代入得：$\frac{1}{2}(∠ A+∠ ABC)=∠ P+\frac{1}{2}∠ ABC$，
化简得$∠ P=\frac{1}{2}∠ A$。
(2) 延长BA，CD相交于点F，
∴$∠ FAD=180°-∠ BAD=180°-α$，$∠ FDA=180°-∠ CDA=180°-β$。
在△FAD中，根据三角形内角和定理：
$∠ F=180°-(∠ FAD+∠ FDA)=180°-(180°-α+180°-β)=α+β-180°$。
∵BP平分∠ABC，CP平分∠DCE，结合(1)的结论得$∠ P=\frac{1}{2}∠ F$，
代入得$∠ P=\frac{1}{2}(α+β-180°)=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°$。
(3) 当$α+β＜180°$时，延长BA、CD交于点F，此时$∠ F=180°-(α+β)$，结合(1)的结论$∠ P=\frac{1}{2}∠ F$，
得$∠ P=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ P=\frac{1}{2}∠ A}$
(2) $\boldsymbol{∠ P=\frac{1}{2}α+\frac{1}{2}β-90°}$
(3) $\boldsymbol{90°-\frac{1}{2}α-\frac{1}{2}β}$
【知识点】
角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质
【点评】
本题是几何模型迁移类题目，核心是将四边形角度问题转化为已探究的三角形内外角平分线夹角模型，考查转化思想的应用，计算时需注意角度的大小关系，避免符号错误。
【难度系数】
0.6