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1. 体育课上的侧压腿动作(如图1)可以抽象为几何图形(如图2),如果∠1=120°,那么∠2等于 (
A.10°
B.20°
C.25°
D.30°
D
)A.10°
B.20°
C.25°
D.30°
答案
1.D
解析
【分析】
观察图2的几何图形，可知其为直角三角形，竖直边与地面垂直，存在一个90°的内角，∠1是该直角三角形的一个外角。解题时可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立∠1、90°内角与∠2的等量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。也可先求出∠1的邻补角，再结合三角形内角和定理计算∠2。
【解析】
解：由图2可得，竖直边与水平地面垂直，因此直角三角形有一个内角为90°。
∠1是该直角三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列关系式：
$∠1 = 90° + ∠2$
将$∠1=120°$代入得：
$120° = 90° + ∠2$
解得：$∠2 = 120° - 90° = 30°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，直角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是准确识别图形中的角的位置关系，结合相关性质计算，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
观察图2的几何图形，可知其为直角三角形，竖直边与地面垂直，存在一个90°的内角，∠1是该直角三角形的一个外角。解题时可利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，建立∠1、90°内角与∠2的等量关系，代入已知角度即可求出∠2的度数。也可先求出∠1的邻补角，再结合三角形内角和定理计算∠2。
【解析】
解：由图2可得，竖直边与水平地面垂直，因此直角三角形有一个内角为90°。
∠1是该直角三角形的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可列关系式：
$∠1 = 90° + ∠2$
将$∠1=120°$代入得：
$120° = 90° + ∠2$
解得：$∠2 = 120° - 90° = 30°$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形外角性质，直角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的应用，解题关键是准确识别图形中的角的位置关系，结合相关性质计算，难度较低，属于基础应用题。
【难度系数】
0.9
2. 如图是某建筑基底层正多边形的部分示意图,其外角为$45°$,则该正多边形是 (
A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
C
)A.正六边形
B.正七边形
C.正八边形
D.正九边形
答案
2.C
解析
【分析】
拿到这道题首先明确已知条件：已知正多边形的一个外角为45°，要求判断是哪种正多边形。首先回忆多边形外角相关的性质：任意多边形的外角和是固定值360°，且正多边形的所有外角大小都相等，因此要求正多边形的边数，只需用外角和除以单个外角的度数即可，算出边数后对应选项就能得到答案。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，正多边形的每个外角大小相等，
已知该正多边形的一个外角为$45°$，
∴该正多边形的边数为：$360° ÷ 45° = 8$，
即该正多边形为正八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形外角和的应用，解题核心是牢记任意多边形外角和恒为360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先明确已知条件：已知正多边形的一个外角为45°，要求判断是哪种正多边形。首先回忆多边形外角相关的性质：任意多边形的外角和是固定值360°，且正多边形的所有外角大小都相等，因此要求正多边形的边数，只需用外角和除以单个外角的度数即可，算出边数后对应选项就能得到答案。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和恒为$360°$，正多边形的每个外角大小相等，
已知该正多边形的一个外角为$45°$，
∴该正多边形的边数为：$360° ÷ 45° = 8$，
即该正多边形为正八边形。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查多边形外角和的应用，解题核心是牢记任意多边形外角和恒为360°，结合正多边形外角相等的性质即可快速计算得到结果。
【难度系数】
0.9
3. 在探究证明“三角形的内角和等于$180°$”时，某班同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于$180°$”的是（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
证明三角形内角和为180°的核心思路是：通过作平行线，利用平行线的性质将三角形的三个内角转移到同一位置，拼成一个平角（和为180°）或构成同旁内角互补（和为180°），同时要避免使用待证明的“三角形内角和为180°”作为论证依据，即避免循环论证，我们逐个分析四个选项的辅助线是否能达成上述目的。
【解析】
A. 过点C作CE//AB，由平行线性质可得：∠A=∠ACE（内错角相等），∠B=∠ECD（同位角相等）。根据平角定义，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，等量代换得∠A+∠B+∠ACB=180°，可以证明。
B. 过点A作DE//BC，由平行线性质可得：∠B=∠DAB，∠C=∠EAC（内错角相等）。根据平角定义，∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，等量代换得∠B+∠BAC+∠C=180°，可以证明。
C. 作DE//BC，由平行线性质可得：∠ADE=∠B，∠AED=∠C（同位角相等）。此时若推导∠A+∠ADE+∠AED=180°，本质是直接使用了三角形内角和为180°的待证结论，属于循环论证，无法证明△ABC的内角和为180°。
D. 通过作多条平行线，可将△ABC的三个内角转移到点P处拼成平角，和为180°，可以证明。
综上，只有C选项的辅助线不能证明。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和证明、平行线的性质、平角定义
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的证明逻辑，核心是理解通过平行线转移角的方法，要注意避免出现循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
证明三角形内角和为180°的核心思路是：通过作平行线，利用平行线的性质将三角形的三个内角转移到同一位置，拼成一个平角（和为180°）或构成同旁内角互补（和为180°），同时要避免使用待证明的“三角形内角和为180°”作为论证依据，即避免循环论证，我们逐个分析四个选项的辅助线是否能达成上述目的。
【解析】
A. 过点C作CE//AB，由平行线性质可得：∠A=∠ACE（内错角相等），∠B=∠ECD（同位角相等）。根据平角定义，∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°，等量代换得∠A+∠B+∠ACB=180°，可以证明。
B. 过点A作DE//BC，由平行线性质可得：∠B=∠DAB，∠C=∠EAC（内错角相等）。根据平角定义，∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°，等量代换得∠B+∠BAC+∠C=180°，可以证明。
C. 作DE//BC，由平行线性质可得：∠ADE=∠B，∠AED=∠C（同位角相等）。此时若推导∠A+∠ADE+∠AED=180°，本质是直接使用了三角形内角和为180°的待证结论，属于循环论证，无法证明△ABC的内角和为180°。
D. 通过作多条平行线，可将△ABC的三个内角转移到点P处拼成平角，和为180°，可以证明。
综上，只有C选项的辅助线不能证明。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和证明、平行线的性质、平角定义
【点评】
本题重点考查三角形内角和定理的证明逻辑，核心是理解通过平行线转移角的方法，要注意避免出现循环论证的逻辑错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知$AE=AC,∠C=∠E$,下列条件中,无法判定$△ ABC≌△ ADE$的是 (
A.$∠B=∠D$
B.$BC=DE$
C.$∠1=∠2$
D.$AB=AD$
D
)A.$∠B=∠D$
B.$BC=DE$
C.$∠1=∠2$
D.$AB=AD$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确全等三角形的判定定理：AAS、ASA、SAS、SSS，注意SSA不能判定三角形全等。题目已经给出△ABC和△ADE的一组边相等AC=AE，一组角相等∠C=∠E，我们只需逐一验证每个选项添加的条件，是否能结合已知条件满足上述判定定理，找出无法判定全等的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，AC=AE，∠C=∠E，逐一分析选项：
1. 若添加选项A的∠B=∠D：满足“AAS”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
2. 若添加选项B的BC=DE：满足“SAS”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
3. 若添加选项C的∠1=∠2：根据等式性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，满足“ASA”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
4. 若添加选项D的AB=AD：此时两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法判定△ABC≌△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是熟记判定定理，特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，遇到这类题时结合已知条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确全等三角形的判定定理：AAS、ASA、SAS、SSS，注意SSA不能判定三角形全等。题目已经给出△ABC和△ADE的一组边相等AC=AE，一组角相等∠C=∠E，我们只需逐一验证每个选项添加的条件，是否能结合已知条件满足上述判定定理，找出无法判定全等的选项即可。
【解析】
已知在△ABC和△ADE中，AC=AE，∠C=∠E，逐一分析选项：
1. 若添加选项A的∠B=∠D：满足“AAS”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
2. 若添加选项B的BC=DE：满足“SAS”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
3. 若添加选项C的∠1=∠2：根据等式性质，∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，满足“ASA”判定定理，可判定△ABC≌△ADE，不符合题意；
4. 若添加选项D的AB=AD：此时两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不属于全等三角形的判定定理，无法判定△ABC≌△ADE，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定、角的和差运算
【点评】
本题重点考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题的关键是熟记判定定理，特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，遇到这类题时结合已知条件逐一验证即可。
【难度系数】
0.7
5. 有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放,连接AC交正六边形于点D,则∠ADE的度数为
（
A.$54°$
B.$74°$
C.$84°$
D.$144°$
（
C
）A.$54°$
B.$74°$
C.$84°$
D.$144°$
答案
5.C
解析
【分析】
解题的核心是先利用正多边形内角和公式分别求出正五边形、正六边形的单个内角度数，再结合等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，最后利用四边形内角和定理计算∠ADE的度数。第一步先回忆正n边形内角和公式：$(n-2)×180°$，单个内角等于内角和除以边数n；第二步正五边形各边相等，可得△ABC是等腰三角形，即可算出底角∠BAC（也就是∠BAD）的度数；第三步正六边形的内角已知，结合四边形ABED内角和为$360°$，代入已知的三个内角就能求出∠ADE。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
因为正五边形各边相等，即$AB=BC$，△ABC为等腰三角形，
所以$∠ BAC=\frac{180° - 108°}{2}=36°$。
2. 计算正六边形的内角度数：
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABE=∠ BED=120°$。
3. 计算$∠ ADE$：
四边形内角和为$360°$，因此在四边形ABED中：
$∠ ADE=360°-∠ BAC-∠ ABE-∠ BED=360°-36°-120°-120°=84°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，等腰三角形性质，四边形内角和
【点评】
本题考查正多边形内角相关计算和多边形内角和定理的应用，需要结合图形特征梳理角之间的数量关系，熟练掌握正多边形内角的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先利用正多边形内角和公式分别求出正五边形、正六边形的单个内角度数，再结合等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，最后利用四边形内角和定理计算∠ADE的度数。第一步先回忆正n边形内角和公式：$(n-2)×180°$，单个内角等于内角和除以边数n；第二步正五边形各边相等，可得△ABC是等腰三角形，即可算出底角∠BAC（也就是∠BAD）的度数；第三步正六边形的内角已知，结合四边形ABED内角和为$360°$，代入已知的三个内角就能求出∠ADE。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形每个内角的度数为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，
因为正五边形各边相等，即$AB=BC$，△ABC为等腰三角形，
所以$∠ BAC=\frac{180° - 108°}{2}=36°$。
2. 计算正六边形的内角度数：
正六边形每个内角的度数为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，即$∠ ABE=∠ BED=120°$。
3. 计算$∠ ADE$：
四边形内角和为$360°$，因此在四边形ABED中：
$∠ ADE=360°-∠ BAC-∠ ABE-∠ BED=360°-36°-120°-120°=84°$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，等腰三角形性质，四边形内角和
【点评】
本题考查正多边形内角相关计算和多边形内角和定理的应用，需要结合图形特征梳理角之间的数量关系，熟练掌握正多边形内角的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$△ ABC ≌ △ DEF$，点C，D，B，F在同一条直线上，$AC=3$，$EF=5$，$CF=7$，则BD的长为
1
.答案
6.1
解析
【分析】
要计算BD的长度，首先利用全等三角形的性质得到对应边的长度：全等三角形对应边相等，由△ABC≌△DEF可推出AC=DF，BC=EF，得到DF、BC的长度后，结合点C、D、B、F共线的条件，先求出线段CD的长度，再根据BC是CD和BD的和，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF
∴AC=DF=3，BC=EF=5（全等三角形对应边相等）
∵点C，D，B，F在同一条直线上，CF=7
∴CD = CF - DF = 7 - 3 = 4
又
∵BC = CD + BD
∴BD = BC - CD = 5 - 4 = 1
【答案】
1
【知识点】
1. 全等三角形的性质 2. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边，结合共线线段的和差关系列式计算，只要掌握全等三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要计算BD的长度，首先利用全等三角形的性质得到对应边的长度：全等三角形对应边相等，由△ABC≌△DEF可推出AC=DF，BC=EF，得到DF、BC的长度后，结合点C、D、B、F共线的条件，先求出线段CD的长度，再根据BC是CD和BD的和，即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC ≌ △DEF
∴AC=DF=3，BC=EF=5（全等三角形对应边相等）
∵点C，D，B，F在同一条直线上，CF=7
∴CD = CF - DF = 7 - 3 = 4
又
∵BC = CD + BD
∴BD = BC - CD = 5 - 4 = 1
【答案】
1
【知识点】
1. 全等三角形的性质 2. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边，结合共线线段的和差关系列式计算，只要掌握全等三角形的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
7. 已知一个多边形的内角和比外角和多$540°$,则这个多边形的边数为
7
.答案
7.7
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为$360°$，二是$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为大于等于3的整数）。题目给出内角和比外角和多$540°$的等量关系，我们可以设边数为未知数，将两个公式代入等量关系列方程，解方程即可求出边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
由题意得等量关系：内角和 - 外角和 = $540°$，代入得方程：
$(n-2)×180° - 360° = 540°$
展开计算左边：$180° n - 360° - 360° = 540°$
整理得：$180° n - 720° = 540°$
移项得：$180° n = 540° + 720° = 1260°$
解得：$n = 1260° ÷ 180° = 7$
【答案】
7
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、一元一次方程应用
【点评】
本题是基础类计算题，解题的核心是牢记多边形外角和为固定值$360°$，熟练掌握内角和公式，通过建立方程求解未知边数，只要掌握基础公式就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确两个核心知识点：一是任意多边形的外角和恒为$360°$，二是$n$边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（$n$为大于等于3的整数）。题目给出内角和比外角和多$540°$的等量关系，我们可以设边数为未知数，将两个公式代入等量关系列方程，解方程即可求出边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
根据多边形的性质可知：任意多边形的外角和为$360°$，$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
由题意得等量关系：内角和 - 外角和 = $540°$，代入得方程：
$(n-2)×180° - 360° = 540°$
展开计算左边：$180° n - 360° - 360° = 540°$
整理得：$180° n - 720° = 540°$
移项得：$180° n = 540° + 720° = 1260°$
解得：$n = 1260° ÷ 180° = 7$
【答案】
7
【知识点】
多边形内角和公式、多边形外角和性质、一元一次方程应用
【点评】
本题是基础类计算题，解题的核心是牢记多边形外角和为固定值$360°$，熟练掌握内角和公式，通过建立方程求解未知边数，只要掌握基础公式就能顺利得分。
【难度系数】
0.8
