21. 如图，AB是$\odot O$的弦，$OD⊥ OB$，交AB于E，且$AD=ED$. 求证：AD是$\odot O$的切线.

21. 证明:如图,连接OA,$\because OA=OB,\therefore ∠B=∠OAB.\because AD=ED,\therefore ∠EAD=∠AED.\because OD⊥OB,\therefore ∠B+∠OEB=90°.\because ∠OEB=∠AED,\therefore ∠OAB+∠EAD=90°$,即$∠OAD=90°$,$\therefore AD$是$\odot O$的切线.

【分析】
要证明AD是$\odot O$的切线，根据切线的判定定理，需证明AD垂直于过切点A的半径OA，即证$∠ OAD=90°$。首先作辅助线连接OA，结合已知条件：OA、OB是$\odot O$的半径可得等腰$△ OAB$，$AD=ED$可得等腰$△ EAD$，再利用$OD⊥ OB$得到的直角、对顶角相等的性质，通过角的等量代换即可推出$∠ OAD=90°$，完成证明。
【解析】
证明：如图，连接OA，
$\because OA=OB$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ B=∠ OAB$（等腰三角形等边对等角）。
$\because AD=ED$，
$\therefore ∠ EAD=∠ AED$（等腰三角形等边对等角）。
$\because OD⊥ OB$，
$\therefore ∠ B+∠ OEB=90°$（直角三角形两锐角互余）。
$\because ∠ OEB=∠ AED$（对顶角相等），
$\therefore ∠ OAB+∠ EAD=90°$，即$∠ OAD=90°$，
$\therefore OA⊥ AD$，
又$\because OA$是$\odot O$的半径，
$\therefore AD$是$\odot O$的切线。
【答案】
证明:如图,连接OA,$\because OA=OB,\therefore ∠B=∠OAB.\because AD=ED,\therefore ∠EAD=∠AED.\because OD⊥OB,\therefore ∠B+∠OEB=90°.\because ∠OEB=∠AED,\therefore ∠OAB+∠EAD=90°$,即$∠OAD=90°$,$\therefore AD$是$\odot O$的切线.

【知识点】
切线的判定定理；等腰三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是圆切线证明的典型基础题，解题的关键是掌握切线判定的常用思路：判定切线时，若已知直线与圆有公共点，就连接公共点和圆心，证明这条半径与直线垂直即可。解题过程中需要熟练运用等腰三角形、对顶角的性质进行角的等量代换。
【难度系数】
0.7

22. 如图,已知AB是$\odot O$的直径,点D在$\odot O$上,C是$\odot O$外一点.若$AD// OC$,直线BC与$\odot O$相交,判断直线CD与$\odot O$的位置关系,并说明理由.

22. 相交,理由:如图,连接OD,$\because AD// OC,\therefore ∠ADO=∠DOC,∠A=∠BOC,\because OA=OD,\therefore ∠A=∠ADO,\therefore ∠DOC=∠BOC.\because OB=OD,OC=OC$,$\therefore △DOC≌△BOC$(SAS),$\therefore ∠OBC=∠ODC$.$\because$直线BC与$\odot O$相交,$\therefore ∠ABC≠90°$,$\therefore ∠ODC≠90°$,$\therefore$直线CD与$\odot O$相交.$\therefore$直线CD与$\odot O$的位置关系是相交.

【分析】
要判断直线CD与$\odot O$的位置关系，已知点D在$\odot O$上，因此只需判断半径OD与CD是否垂直：若垂直则CD与圆相切，若不垂直则CD与圆相交（D在圆上，必然存在至少一个交点，不垂直就说明还有另一个交点）。解题时首先连接辅助线OD，先利用$AD// OC$的平行线性质得到两组角相等，再结合同圆半径相等$OA=OD$，推导得出$∠ DOC=∠ BOC$，进而证明$△ DOC$与$△ BOC$全等，将$∠ ODC$转化为$∠ OBC$，最后结合已知BC与$\odot O$相交的条件，得出$∠ OBC$不是直角，因此$∠ ODC$也不是直角，即可判断CD与$\odot O$的位置关系。
【解析】
直线CD与$\odot O$的位置关系是相交，理由如下：
如图，连接$OD$，
$\because AD// OC$，
$\therefore ∠ ADO=∠ DOC$，$∠ A=∠ BOC$，
$\because OA=OD$（同圆半径相等），
$\therefore ∠ A=∠ ADO$，
$\therefore ∠ DOC=∠ BOC$。
在$△ DOC$和$△ BOC$中：
$\{\begin{array}{l}OB=OD(\mathrm{同圆半径相等})\\ ∠ DOC=∠ BOC\\ OC=OC(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore △ DOC≌△ BOC(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ OBC=∠ ODC$。
$\because$直线BC与$\odot O$相交，
$\therefore ∠ ABC≠ 90°$，即$∠ OBC≠90°$，
$\therefore ∠ ODC≠ 90°$，即OD不垂直于CD，
又$\because$点D在$\odot O$上，
$\therefore$直线CD与$\odot O$相交。
【答案】
直线CD与$\odot O$的位置关系是相交，理由:如图,连接$OD$,$\because AD// OC$,$\therefore ∠ ADO=∠ DOC$,$∠ A=∠ BOC$,$\because OA=OD$,$\therefore ∠ A=∠ ADO$,$\therefore ∠ DOC=∠ BOC$.$\because OB=OD$,$OC=OC$,$\therefore △ DOC≌△ BOC$(SAS),$\therefore ∠ OBC=∠ ODC$.$\because$直线BC与$\odot O$相交,$\therefore ∠ ABC≠90°$,$\therefore ∠ ODC≠90°$,$\therefore$直线CD与$\odot O$相交.

【知识点】
直线与圆的位置关系判定；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题属于几何综合类基础题，解题关键是正确连接半径构造全等三角形，通过角的转化将未知的$∠ ODC$和已知的$∠ OBC$建立关联，结合直线与圆相交的性质推导结论，很好地考查了几何逻辑推理能力和辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6