23. 如图，正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，半径为2 cm.
（1）求CD的长度；
（2）若G为CD的中点，连接AG，求AG的长度.

23. (1) 如图①,连接OC,OD,$\because$六边形ABCDEF是正六边形,$\therefore ∠COD=\frac{360°}{6}=60°$,又OC,OD是$\odot O$的半径,且半径为2 cm,$\therefore OC=OD=2$ cm,$\therefore △COD$是等边三角形,$\therefore CD=OC=2$ cm.
(2) 如图②,连接AC,AD,则AD为$\odot O$的直径,$\therefore AD=4$ cm,$∠ACD=90°$,由(1)得$CD=2$ cm.在$Rt△ACD$中,$∠ACD=90°$,$\therefore AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ cm.$\because G$为CD的中点,$\therefore CG=\frac{1}{2}CD=1$ cm.在$Rt△ACG$中,$∠ACG=90°$,$\therefore AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$ cm.

【分析】
（1）求正六边形的边CD的长度，可利用正六边形内接于圆的性质：正六边形各边对应的中心角相等，连接圆心与C、D两点得到△COD，先计算中心角∠COD的度数，结合OC、OD都是圆的半径，判定△COD的形状，即可求出CD的长。
（2）求AG的长度，可通过作辅助线构造直角三角形求解：正六边形中AD为圆的直径，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，连接AC、AD可得Rt△ACD，先用勾股定理求出AC的长度；再结合G是CD中点得到CG的长度，最后在Rt△ACG中用勾股定理即可求出AG的长。
【解析】
(1) 如图①，连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$，
又OC，OD是$\odot O$的半径，且半径为2 cm，
∴$OC=OD=2$ cm，
∴$△ COD$是等边三角形，
∴$CD=OC=2$ cm。
(2) 如图②，连接AC，AD，
∵正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴AD为$\odot O$的直径，
∴$AD=4$ cm，$∠ ACD=90°$，
由(1)得$CD=2$ cm，
在$Rt△ ACD$中，$∠ ACD=90°$，
∴$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ cm，
∵G为CD的中点，
∴$CG=\frac{1}{2}CD=1$ cm，
在$Rt△ ACG$中，$∠ ACG=90°$，
∴$AG=\sqrt{AC^2+CG^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{13}$ cm。
【答案】
(1) $CD=2$ cm；(2) $AG=\sqrt{13}$ cm

【知识点】
正多边形与圆的性质、圆周角定理、勾股定理
【点评】
本题是圆与正多边形结合的基础综合题，解题关键是熟练运用正六边形的特殊性质，合理构造直角三角形，将所求线段转化到直角三角形中利用勾股定理计算，能很好地考查几何基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

24. 如图，BE是$\odot O$的直径，点A和点D是$\odot O$上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使$∠ EAC=∠ EDA$。
（1）求证：AC是$\odot O$的切线；
（2）若$CE=AE=2\sqrt{3}$，求阴影部分的面积.

24. (1) 证明:如图,连接OA,过O作$OF⊥AE$于点F,$\therefore ∠AFO=90°$,$\therefore ∠EAO+∠AOF=90°$.$\because OA=OE$,$\therefore ∠EOF=∠AOF=\frac{1}{2}∠AOE$.$\because ∠EDA=\frac{1}{2}∠AOE$,$\therefore ∠EDA=∠AOF$.$\because ∠EAC=∠EDA$,$\therefore ∠EAC=∠AOF$,$\therefore ∠EAO+∠EAC=90°$.$\because ∠EAC+∠EAO=∠CAO$,$\therefore ∠CAO=90°$,$\therefore OA⊥AC$,$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2) $\because CE=AE=2\sqrt{3}$,$\therefore ∠C=∠EAC$.$\because ∠EAC+∠C=∠AEO$,$\therefore ∠AEO=2∠EAC$.$\because OA=OE$,$∠AEO=∠EAO$,$\therefore ∠EAO=2∠EAC$.$\because ∠EAO+∠EAC=90°$,$\therefore ∠EAC=30°$,$∠EAO=60°$,$\therefore △OAE$是等边三角形,$\therefore ∠EOA=60°$,$\therefore OA=AE=2\sqrt{3}$,$\therefore S_{扇形AOE}=\frac{60· π×(2\sqrt{3})^2}{360}=2π$.在$Rt△OAF$中,$OF=OA· \sin∠EAO=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$,$\therefore S_{△AOE}=\frac{1}{2}AE· OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$,$\therefore$阴影部分的面积$=2π-3\sqrt{3}$.

【分析】
（1）要证明AC是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径OA与AC垂直。首先连接OA，过O作$OF⊥AE$，利用等腰三角形三线合一可得$∠AOF=\frac{1}{2}∠AOE$，再结合圆周角定理“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”得$∠EDA=\frac{1}{2}∠AOE$，结合已知$∠EAC=∠EDA$，可推出$∠EAC+∠EAO=90°$，即$∠CAO=90°$，即可得证。
（2）阴影部分为不规则图形，可采用割补法计算，即阴影面积=扇形AOE的面积-$△ AOE$的面积。先根据$CE=AE$推导角度关系，可得$∠EAC=30°$，进而推出$△ OAE$是等边三角形，得到半径OA的长度和圆心角$∠AOE$的度数，分别计算扇形面积和三角形面积，相减即可得到阴影部分的面积。
【解析】
(1) 证明:如图,连接OA,过O作$OF⊥AE$于点F,$\therefore ∠AFO=90°$,$\therefore ∠EAO+∠AOF=90°$.$\because OA=OE$,$\therefore ∠EOF=∠AOF=\frac{1}{2}∠AOE$.$\because ∠EDA=\frac{1}{2}∠AOE$,$\therefore ∠EDA=∠AOF$.$\because ∠EAC=∠EDA$,$\therefore ∠EAC=∠AOF$,$\therefore ∠EAO+∠EAC=90°$.$\because ∠EAC+∠EAO=∠CAO$,$\therefore ∠CAO=90°$,$\therefore OA⊥AC$,$\therefore AC$是$\odot O$的切线.
(2) $\because CE=AE=2\sqrt{3}$,$\therefore ∠C=∠EAC$.$\because ∠EAC+∠C=∠AEO$,$\therefore ∠AEO=2∠EAC$.$\because OA=OE$,$∠AEO=∠EAO$,$\therefore ∠EAO=2∠EAC$.$\because ∠EAO+∠EAC=90°$,$\therefore ∠EAC=30°$,$∠EAO=60°$,$\therefore △OAE$是等边三角形,$\therefore ∠EOA=60°$,$\therefore OA=AE=2\sqrt{3}$,$\therefore S_{扇形AOE}=\frac{60· π×(2\sqrt{3})^2}{360}=2π$.在$Rt△OAF$中,$OF=OA· \sin∠EAO=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$,$\therefore S_{△AOE}=\frac{1}{2}AE· OF=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}$,$\therefore$阴影部分的面积$=2π-3\sqrt{3}$.
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$2π-3\sqrt{3}$

【知识点】
切线的判定；圆周角定理；扇形面积计算
【点评】
本题是圆的综合类常考题，既考查了切线的判定方法、圆周角与圆心角的关系，也考查了等边三角形的判定、不规则图形面积的计算，解题的关键是合理添加辅助线，通过角的等量代换推导得到所需的角度和边长关系，再用割补法求解阴影面积。
【难度系数】
0.6