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15. 如图，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，分别切$BA,BC,AC$于点$E,F,D$，$P$是$\overset{\frown}{ED}$上一点，若$∠ B=50°$，则$∠ EPF$的度数是（
A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
（第15题）
D
）A.$50°$
B.$55°$
C.$60°$
D.$65°$
（第15题）答案
15. D
解析
【分析】
要求∠EPF的度数，可结合内切圆性质和圆周角定理分步求解：首先∠EPF是圆周角，它所对的弧为劣弧EF，因此只需先求出劣弧EF对应的圆心角∠EOF的度数，再根据圆周角等于所对圆心角的一半就能得到结果。求∠EOF时，利用内切圆切点的性质：圆心与切点的连线垂直于切线，可得OE⊥AB、OF⊥BC，再结合四边形内角和即可算出∠EOF的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵四边形OEBF内角和为360°，且∠B=50°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠EPF是⊙O中对应劣弧EF的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半，
∴∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的常规综合应用题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，再结合圆周角和圆心角的关系推导角度，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求∠EPF的度数，可结合内切圆性质和圆周角定理分步求解：首先∠EPF是圆周角，它所对的弧为劣弧EF，因此只需先求出劣弧EF对应的圆心角∠EOF的度数，再根据圆周角等于所对圆心角的一半就能得到结果。求∠EOF时，利用内切圆切点的性质：圆心与切点的连线垂直于切线，可得OE⊥AB、OF⊥BC，再结合四边形内角和即可算出∠EOF的度数。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，E、F分别是AB、BC边上的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，即∠OEB=∠OFB=90°，
∵四边形OEBF内角和为360°，且∠B=50°，
∴∠EOF=360°-∠OEB-∠OFB-∠B=360°-90°-90°-50°=130°，
∵∠EPF是⊙O中对应劣弧EF的圆周角，根据圆周角定理：圆周角的度数等于所对圆心角度数的一半，
∴∠EPF=$\frac{1}{2}$∠EOF=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
【答案】
D
【知识点】
三角形内切圆性质；圆周角定理；四边形内角和
【点评】
本题是圆的性质的常规综合应用题，解题核心是通过连接圆心与切点构造直角，再结合圆周角和圆心角的关系推导角度，考查对基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若AB=1,CD=3,求半径AD的长是 (
A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.5
C
)A.2
B.$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{5}$
D.5
答案
16. C
解析
【分析】
这是一道结合直角梯形与圆切线性质的几何计算题，解题思路如下：1. 先根据$AB// CD$、$AD⊥ AB$判断四边形$ABCD$是直角梯形，过点$B$作$BF⊥ CD$于$F$，可将梯形转化为矩形$ABFD$和直角三角形$BFC$，把已知边的关系转移到直角三角形中；2. 利用切线的性质和切线长定理，得到$BE=AB=1$，再结合切线长、半径、点到圆心距离的直角三角形关系，表示出$EC$的长度，从而得到$BC$的表达式；3. 在$Rt△ BFC$中用勾股定理列方程求解半径$AD$即可。
【解析】
解：过点$B$作$BF⊥ CD$于点$F$。
$\because AB// CD$，$AD⊥ AB$，
$\therefore$四边形$ABFD$是矩形，$\therefore BF=AD$，$DF=AB=1$，
$\because CD=3$，$\therefore FC=CD-DF=3-1=2$。
设$AD=r$，$EC=x$：
$\because AB⊥ AD$，$A$在以$D$为圆心的圆上，$\therefore AB$是圆的切线，
又$\because BC$切圆于$E$，根据切线长定理得$BE=AB=1$，$\therefore BC=BE+EC=1+x$。
$\because EC$是点$C$到圆的切线长，$DC=3$，$\therefore$由切线长、半径、点到圆心距离构成直角三角形，得$EC^2 + r^2 = DC^2$，即$x^2 + r^2 = 9$，整理得$r^2=9-x^2$ ①。
在$Rt△ BFC$中，由勾股定理得$BC^2=BF^2+FC^2$，即$(1+x)^2=r^2+2^2$ ②。
将①代入②得：$(1+x)^2=9-x^2+4$，
展开整理得：$x^2+x-6=0$，
解得$x=2$（$x=-3$不符合题意舍去）。
将$x=2$代入①得：$r^2=9-2^2=5$，$\therefore r=\sqrt{5}$（长度为正），即$AD=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将直角梯形和圆的切线知识点结合，需要学生熟练掌握切线相关性质，能合理构造辅助线转化边的关系，同时具备方程思想，用代数方法解决几何问题。
【难度系数】
0.6
这是一道结合直角梯形与圆切线性质的几何计算题，解题思路如下：1. 先根据$AB// CD$、$AD⊥ AB$判断四边形$ABCD$是直角梯形，过点$B$作$BF⊥ CD$于$F$，可将梯形转化为矩形$ABFD$和直角三角形$BFC$，把已知边的关系转移到直角三角形中；2. 利用切线的性质和切线长定理，得到$BE=AB=1$，再结合切线长、半径、点到圆心距离的直角三角形关系，表示出$EC$的长度，从而得到$BC$的表达式；3. 在$Rt△ BFC$中用勾股定理列方程求解半径$AD$即可。
【解析】
解：过点$B$作$BF⊥ CD$于点$F$。
$\because AB// CD$，$AD⊥ AB$，
$\therefore$四边形$ABFD$是矩形，$\therefore BF=AD$，$DF=AB=1$，
$\because CD=3$，$\therefore FC=CD-DF=3-1=2$。
设$AD=r$，$EC=x$：
$\because AB⊥ AD$，$A$在以$D$为圆心的圆上，$\therefore AB$是圆的切线，
又$\because BC$切圆于$E$，根据切线长定理得$BE=AB=1$，$\therefore BC=BE+EC=1+x$。
$\because EC$是点$C$到圆的切线长，$DC=3$，$\therefore$由切线长、半径、点到圆心距离构成直角三角形，得$EC^2 + r^2 = DC^2$，即$x^2 + r^2 = 9$，整理得$r^2=9-x^2$ ①。
在$Rt△ BFC$中，由勾股定理得$BC^2=BF^2+FC^2$，即$(1+x)^2=r^2+2^2$ ②。
将①代入②得：$(1+x)^2=9-x^2+4$，
展开整理得：$x^2+x-6=0$，
解得$x=2$（$x=-3$不符合题意舍去）。
将$x=2$代入①得：$r^2=9-2^2=5$，$\therefore r=\sqrt{5}$（长度为正），即$AD=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是中等难度的几何综合题，将直角梯形和圆的切线知识点结合，需要学生熟练掌握切线相关性质，能合理构造辅助线转化边的关系，同时具备方程思想，用代数方法解决几何问题。
【难度系数】
0.6
17. 如图，AC是$\odot O$的直径，PB，PC是$\odot O$的两条切线，B，C是切点，若$∠ P=60°$，$AC=3$，则AB的长度为（
A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
B
）A.$1$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$
答案
17. B
解析
【分析】
要解这道题，我们可以从切线的性质入手，先连接辅助线OB：首先切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥PB、OC⊥PC，结合已知∠P=60°，可先求出圆心角∠BOC的度数，再得到∠AOB的度数，最后利用半径相等判定△AOB的形状，即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接OB。
∵PB、PC是$\odot O$的切线，B、C为切点，
∴$OB⊥ PB$，$OC⊥ PC$，即$∠ OBP=∠ OCP=90°$。
在四边形OBPC中，内角和为$360°$，已知$∠ P=60°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ OBP-∠ OCP-∠ P=360°-90°-90°-60°=120°$。
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB+∠ BOC=180°$，
∴$∠ AOB=180°-120°=60°$。
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$△ AOB$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴$AB=OA$。
已知$AC=3$，$\odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，
∴$AB=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等边三角形的判定，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是正确作出辅助线，结合切线性质推导角度关系，进而判断三角形形状求解，难度不大，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
要解这道题，我们可以从切线的性质入手，先连接辅助线OB：首先切线垂直于过切点的半径，可得OB⊥PB、OC⊥PC，结合已知∠P=60°，可先求出圆心角∠BOC的度数，再得到∠AOB的度数，最后利用半径相等判定△AOB的形状，即可求出AB的长度。
【解析】
解：连接OB。
∵PB、PC是$\odot O$的切线，B、C为切点，
∴$OB⊥ PB$，$OC⊥ PC$，即$∠ OBP=∠ OCP=90°$。
在四边形OBPC中，内角和为$360°$，已知$∠ P=60°$，
∴$∠ BOC=360°-∠ OBP-∠ OCP-∠ P=360°-90°-90°-60°=120°$。
∵AC是$\odot O$的直径，
∴$∠ AOB+∠ BOC=180°$，
∴$∠ AOB=180°-120°=60°$。
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，
∴$OA=OB$，
∴$△ AOB$是有一个角为$60°$的等腰三角形，即等边三角形，
∴$AB=OA$。
已知$AC=3$，$\odot O$的半径$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{3}{2}$，
∴$AB=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质，等边三角形的判定，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，解题关键是正确作出辅助线，结合切线性质推导角度关系，进而判断三角形形状求解，难度不大，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.7
18. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$与$x$轴分别交于$A,B$两点,点$P$的坐标为$(3,-1)$,$AB =2\sqrt{3}$. 将$\odot P$沿着与$y$轴平行的方向平移,使得$\odot P$与$x$轴相切,则平移的距离为
(
A.1
B.1或2
C.3
D.1或3
(
D
)A.1
B.1或2
C.3
D.1或3
答案
18. D
解析
【分析】
解题第一步需要先求出$\odot P$的半径，可通过垂径定理结合勾股定理计算：过圆心$P$作$x$轴的垂线，由垂径定理可得$AB$的一半长度，再结合$P$点坐标得到弦心距，用勾股定理即可算出半径。第二步根据圆与$x$轴相切的条件：圆心到$x$轴的距离等于半径，分向上平移、向下平移两种情况讨论，分别计算平移距离即可。
【解析】
过点$P$作$PC⊥ AB$于点$C$，连接$PA$。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∵点$P$坐标为$(3,-1)$，
∴$PC$的长度为$P$到$x$轴的距离，即$PC=1$。
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，即$\odot P$的半径为$2$。
∵$\odot P$平移后与$x$轴相切，
∴平移后圆心$P$到$x$轴的距离等于半径$2$，即平移后圆心的纵坐标为$2$或$-2$。
分两种情况计算平移距离：
1. 向下平移：平移后圆心纵坐标为$-2$，平移距离为$|-2 - (-1)|=1$；
2. 向上平移：平移后圆心纵坐标为$2$，平移距离为$|2 - (-1)|=3$。
综上，平移的距离为1或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆相切的判定
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题关键是先求出圆的半径，再结合平移的性质分类讨论相切的两种情况，避免因漏看平移方向导致漏解。
【难度系数】
0.7
解题第一步需要先求出$\odot P$的半径，可通过垂径定理结合勾股定理计算：过圆心$P$作$x$轴的垂线，由垂径定理可得$AB$的一半长度，再结合$P$点坐标得到弦心距，用勾股定理即可算出半径。第二步根据圆与$x$轴相切的条件：圆心到$x$轴的距离等于半径，分向上平移、向下平移两种情况讨论，分别计算平移距离即可。
【解析】
过点$P$作$PC⊥ AB$于点$C$，连接$PA$。
由垂径定理得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
∵点$P$坐标为$(3,-1)$，
∴$PC$的长度为$P$到$x$轴的距离，即$PC=1$。
在$Rt△ PAC$中，由勾股定理得：
$PA=\sqrt{AC^2+PC^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}=2$，即$\odot P$的半径为$2$。
∵$\odot P$平移后与$x$轴相切，
∴平移后圆心$P$到$x$轴的距离等于半径$2$，即平移后圆心的纵坐标为$2$或$-2$。
分两种情况计算平移距离：
1. 向下平移：平移后圆心纵坐标为$-2$，平移距离为$|-2 - (-1)|=1$；
2. 向上平移：平移后圆心纵坐标为$2$，平移距离为$|2 - (-1)|=3$。
综上，平移的距离为1或3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆相切的判定
【点评】
本题属于中等难度的综合题，解题关键是先求出圆的半径，再结合平移的性质分类讨论相切的两种情况，避免因漏看平移方向导致漏解。
【难度系数】
0.7
19. 如图,点O是$△ ABC$外接圆的圆心,点I是$△ ABC$的内心,连接OB,IA.若$∠ OBC=25°$,则$∠ BAI$的度数为（
A.$35°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$32.5°$
D
）A.$35°$
B.$17.5°$
C.$20°$
D.$32.5°$
答案
19. D
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外心、内心的性质以及圆周角定理：首先外心到三角形各顶点距离相等，可得△OBC为等腰三角形，先求出∠BOC的度数；再利用圆周角定理得到∠BAC的度数；最后结合内心是三角形三条角平分线的交点，可知AI平分∠BAC，即可求出∠BAI的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC外接圆的圆心，
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠OBC=25°，
∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC，
∴ ∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
又
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ AI是∠BAC的角平分线，
∴ ∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×65°=32.5°。
【答案】
D
【知识点】
外心的性质，圆周角定理，内心的性质
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础题型，核心是掌握外心、内心的基本性质，结合圆周角定理逐步推导角度即可，考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形外心、内心的性质以及圆周角定理：首先外心到三角形各顶点距离相等，可得△OBC为等腰三角形，先求出∠BOC的度数；再利用圆周角定理得到∠BAC的度数；最后结合内心是三角形三条角平分线的交点，可知AI平分∠BAC，即可求出∠BAI的度数。
【解析】
∵ 点O是△ABC外接圆的圆心，
∴ OB=OC，即△OBC是等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠OBC=25°，
∴ ∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-25°-25°=130°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠BAC，
∴ ∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
又
∵ 点I是△ABC的内心，
∴ AI是∠BAC的角平分线，
∴ ∠BAI=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×65°=32.5°。
【答案】
D
【知识点】
外心的性质，圆周角定理，内心的性质
【点评】
本题属于三角形与圆结合的基础题型，核心是掌握外心、内心的基本性质，结合圆周角定理逐步推导角度即可，考查基础概念的应用能力。
【难度系数】
0.7
20. 如图，已知$\odot O$的半径为6，点O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （
A.AD
B.AB
C.BC
D.CD
C
）A.AD
B.AB
C.BC
D.CD
答案
20. C
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件中圆的半径和圆心到边的距离，联想到直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离d和半径r的大小关系对应不同的位置关系。首先比较d=8和r=6的大小，可知d＞r，说明所求边与圆相离、无公共点，接下来逐一观察四条边与圆的公共点情况，排除有公共点的边，即可得到正确答案。
【解析】
设圆心O到直线的距离为d，已知⊙O的半径r=6。
由题可知所求边对应的d=8＞6=r，根据直线与圆的位置关系判定：当d＞r时，直线与圆相离，无公共点。
观察图形逐一判断：
1. 边AB与⊙O有2个公共点，为相交关系，对应d＜r，不符合要求，排除B选项；
2. 边CD与⊙O有1个公共点，为相切关系，对应d=r，不符合要求，排除D选项；
3. 边AD与⊙O有2个公共点，为相交关系，对应d＜r，不符合要求，排除A选项；
4. 边BC与⊙O无公共点，为相离关系，对应d＞r，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题结合矩形和圆的组合图形，考查直线与圆位置关系的判定，解题核心是掌握不同位置关系下圆心到直线距离和半径的大小对应规则，结合图形特征即可快速得出结论，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件中圆的半径和圆心到边的距离，联想到直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离d和半径r的大小关系对应不同的位置关系。首先比较d=8和r=6的大小，可知d＞r，说明所求边与圆相离、无公共点，接下来逐一观察四条边与圆的公共点情况，排除有公共点的边，即可得到正确答案。
【解析】
设圆心O到直线的距离为d，已知⊙O的半径r=6。
由题可知所求边对应的d=8＞6=r，根据直线与圆的位置关系判定：当d＞r时，直线与圆相离，无公共点。
观察图形逐一判断：
1. 边AB与⊙O有2个公共点，为相交关系，对应d＜r，不符合要求，排除B选项；
2. 边CD与⊙O有1个公共点，为相切关系，对应d=r，不符合要求，排除D选项；
3. 边AD与⊙O有2个公共点，为相交关系，对应d＜r，不符合要求，排除A选项；
4. 边BC与⊙O无公共点，为相离关系，对应d＞r，符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系，点到直线的距离
【点评】
本题结合矩形和圆的组合图形，考查直线与圆位置关系的判定，解题核心是掌握不同位置关系下圆心到直线距离和半径的大小对应规则，结合图形特征即可快速得出结论，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
