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8. 如图，AB是$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，连接AC，BC，延长BC至T，连接AT。在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件
$∠TAC=∠B$（答案不唯一）
，使得直线AT是$\odot O$的切线。答案
8. $∠TAC=∠B$（答案不唯一）
解析
【分析】
要证明直线AT是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知点A在⊙O上，只需证明AB⊥AT，即∠BAT=90°即可。结合AB是直径的条件，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，因此Rt△ABC中∠B+∠BAC=90°。要使∠BAC+∠TAC=90°（即∠BAT=90°），只需添加条件∠TAC=∠B，利用等量代换即可推出垂直关系。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B+∠BAC=90°。
若添加条件∠TAC=∠B，
则∠TAC+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，即∠BAT=90°，
∴AB⊥AT，
又
∵点A在⊙O上，AB是⊙O的直径，
∴直线AT是⊙O的切线。
（也可添加如∠BAC=∠T、AB⊥AT等条件，均符合要求）
【答案】
∠TAC=∠B（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理推论，直角三角形性质
【点评】
本题是开放性填空题型，重点考查圆的基本性质和切线的判定方法，解题时可从结论反向推导所需满足的条件，能有效锻炼逻辑推理和逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
要证明直线AT是⊙O的切线，根据切线的判定定理，已知点A在⊙O上，只需证明AB⊥AT，即∠BAT=90°即可。结合AB是直径的条件，由直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，因此Rt△ABC中∠B+∠BAC=90°。要使∠BAC+∠TAC=90°（即∠BAT=90°），只需添加条件∠TAC=∠B，利用等量代换即可推出垂直关系。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠B+∠BAC=90°。
若添加条件∠TAC=∠B，
则∠TAC+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，即∠BAT=90°，
∴AB⊥AT，
又
∵点A在⊙O上，AB是⊙O的直径，
∴直线AT是⊙O的切线。
（也可添加如∠BAC=∠T、AB⊥AT等条件，均符合要求）
【答案】
∠TAC=∠B（答案不唯一）
【知识点】
切线的判定定理，圆周角定理推论，直角三角形性质
【点评】
本题是开放性填空题型，重点考查圆的基本性质和切线的判定方法，解题时可从结论反向推导所需满足的条件，能有效锻炼逻辑推理和逆向思维能力。
【难度系数】
0.7
9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”. 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率π的方法. 刘徽指出“割之弥细，所失弥少. 割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”. 例如，$\odot O$的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计$\odot O$的面积，$S_{正六边形}=6×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=6\sqrt{3}$，所以$\odot O$的面积近似为$6\sqrt{3}$，由此可得π的估计值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，若用圆内接正十二边形估计$\odot O$的面积，可得π的估计值为
3
.答案
9. 3
解析
【分析】
解决本题要遵循“割圆术”的近似计算思路：首先将圆内接正十二边形拆分为12个全等的、以圆心为顶点的等腰三角形，先计算单个等腰三角形的面积，再求和得到正十二边形的总面积，最后将正十二边形面积近似等同于圆面积，结合圆面积公式反推π的估计值即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$：
1. 计算正十二边形的中心角：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正十二边形的每个中心角为$\frac{360°}{12}=30°$。
2. 计算单个等腰三角形的面积：正十二边形拆分出的等腰三角形腰长等于圆的半径2，顶角为$30°$，由含$30°$角的三角形面积公式得：
$S_1=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \sin30°=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \frac{1}{2}=1$
3. 计算正十二边形总面积：$S_{正十二边形}=12 × S_1=12 × 1=12$
4. 推导π的估计值：根据割圆术，正十二边形面积近似等于圆面积，圆面积$S_圆=π r^2=4π$，因此：
$4π \approx 12$，解得$π \approx 3$
【答案】
3
【知识点】
正多边形和圆，特殊角的三角函数值，三角形面积计算
【点评】
本题结合古代数学成就“割圆术”设置问题，考查正多边形与圆的相关计算，核心是掌握将正多边形拆分为等腰三角形求面积的方法，渗透了极限逼近的数学思想。
【难度系数】
0.7
解决本题要遵循“割圆术”的近似计算思路：首先将圆内接正十二边形拆分为12个全等的、以圆心为顶点的等腰三角形，先计算单个等腰三角形的面积，再求和得到正十二边形的总面积，最后将正十二边形面积近似等同于圆面积，结合圆面积公式反推π的估计值即可。
【解析】
已知$\odot O$的半径$r=2$：
1. 计算正十二边形的中心角：正$n$边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正十二边形的每个中心角为$\frac{360°}{12}=30°$。
2. 计算单个等腰三角形的面积：正十二边形拆分出的等腰三角形腰长等于圆的半径2，顶角为$30°$，由含$30°$角的三角形面积公式得：
$S_1=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \sin30°=\frac{1}{2} × 2 × 2 × \frac{1}{2}=1$
3. 计算正十二边形总面积：$S_{正十二边形}=12 × S_1=12 × 1=12$
4. 推导π的估计值：根据割圆术，正十二边形面积近似等于圆面积，圆面积$S_圆=π r^2=4π$，因此：
$4π \approx 12$，解得$π \approx 3$
【答案】
3
【知识点】
正多边形和圆，特殊角的三角函数值，三角形面积计算
【点评】
本题结合古代数学成就“割圆术”设置问题，考查正多边形与圆的相关计算，核心是掌握将正多边形拆分为等腰三角形求面积的方法，渗透了极限逼近的数学思想。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot O$的圆心为坐标原点,半径为 2,若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交,则$b$的取值范围为
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
.答案
10. $-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
解析
【分析】
要确定直线与圆相交时b的取值范围，首先回忆直线与圆位置关系的判定规则：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交。本题中⊙O的圆心为原点(0,0)，半径r=2，先将直线解析式整理为一般式，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据相交的条件列不等式，解绝对值不等式即可得到b的范围；也可先求直线与圆相切时b的临界值，相交时b的取值就在两个临界值之间。
【解析】
解：将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
已知$\odot O$的圆心为$(0,0)$，半径$r=2$。
根据点到直线的距离公式，圆心到直线$x+y-b=0$的距离为：
$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
因为直线与$\odot O$相交，所以$d ＜ r$，代入得：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
不等式两边同时乘$\sqrt{2}$得：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$
解得：$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；绝对值不等式求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握几何法判定位置关系的规则，计算圆心到直线的距离是关键，也可通过求相切的临界值推导相交时的参数范围，计算时注意绝对值不等式的求解规则。
【难度系数】
0.7
要确定直线与圆相交时b的取值范围，首先回忆直线与圆位置关系的判定规则：当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交。本题中⊙O的圆心为原点(0,0)，半径r=2，先将直线解析式整理为一般式，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据相交的条件列不等式，解绝对值不等式即可得到b的范围；也可先求直线与圆相切时b的临界值，相交时b的取值就在两个临界值之间。
【解析】
解：将直线$y=-x+b$整理为一般式：$x + y - b = 0$。
已知$\odot O$的圆心为$(0,0)$，半径$r=2$。
根据点到直线的距离公式，圆心到直线$x+y-b=0$的距离为：
$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
因为直线与$\odot O$相交，所以$d ＜ r$，代入得：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
不等式两边同时乘$\sqrt{2}$得：$|b| ＜ 2\sqrt{2}$
解得：$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$
【答案】
$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；绝对值不等式求解
【点评】
本题属于直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是掌握几何法判定位置关系的规则，计算圆心到直线的距离是关键，也可通过求相切的临界值推导相交时的参数范围，计算时注意绝对值不等式的求解规则。
【难度系数】
0.7
11. 已知$\odot O$与直线$l$有2个公共点，若$\odot O$直径为8 cm，则圆心$O$到直线$l$的距离可以是（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
A
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
11. A
解析
【分析】
解题时首先根据公共点个数判断直线与圆的位置关系：2个公共点说明直线与圆相交；接着回忆直线与圆位置关系对应的数量规律：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，相交时d＜r，相切时d=r，相离时d＞r；再结合已知直径算出半径，最后对比选项选出符合d＜r的数值即可。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为8 cm，因此$\odot O$的半径$r=\frac{8}{2}=4$ cm。
∵ $\odot O$与直线$l$有2个公共点，
∴ 直线$l$与$\odot O$相交，根据直线与圆相交的性质，此时圆心$O$到直线$l$的距离$d ＜ r$，即$d ＜ 4$ cm。
逐一分析选项：
A. 3 cm ＜ 4 cm，符合要求；
B. 4 cm = r，此时直线与圆相切，只有1个公共点，不符合；
C. 5 cm ＞ 4 cm，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合；
D. 6 cm ＞ 4 cm，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线距离与半径的大小对应关系，掌握对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据公共点个数判断直线与圆的位置关系：2个公共点说明直线与圆相交；接着回忆直线与圆位置关系对应的数量规律：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，相交时d＜r，相切时d=r，相离时d＞r；再结合已知直径算出半径，最后对比选项选出符合d＜r的数值即可。
【解析】
解：已知$\odot O$的直径为8 cm，因此$\odot O$的半径$r=\frac{8}{2}=4$ cm。
∵ $\odot O$与直线$l$有2个公共点，
∴ 直线$l$与$\odot O$相交，根据直线与圆相交的性质，此时圆心$O$到直线$l$的距离$d ＜ r$，即$d ＜ 4$ cm。
逐一分析选项：
A. 3 cm ＜ 4 cm，符合要求；
B. 4 cm = r，此时直线与圆相切，只有1个公共点，不符合；
C. 5 cm ＞ 4 cm，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合；
D. 6 cm ＞ 4 cm，此时直线与圆相离，没有公共点，不符合。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，解题核心是牢记直线与圆不同位置关系对应的公共点个数、圆心到直线距离与半径的大小对应关系，掌握对应规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
12. 如图，五边形ABCDE是$\odot O$的内接正五边形，则正五边形中心角$∠ COD$的度数是 （
A.$60°$
B.$36°$
C.$76°$
D.$72°$
（第12题）
D
）A.$60°$
B.$36°$
C.$76°$
D.$72°$
（第12题）答案
12. D
解析
【分析】首先明确正多边形中心角的概念：正多边形每一条边对应的圆心角就是中心角。正n边形的所有中心角大小相等，且所有中心角的和为周角360°，因此求解正五边形的中心角，只需用360°除以正五边形的边数5即可得到∠COD的度数。
【解析】
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴正五边形的5个中心角相等，且所有中心角的和为360°
∴$∠ COD = 360° ÷ 5 = 72°$
【答案】D
【知识点】正多边形与圆；中心角计算
【点评】本题属于基础题，主要考查正多边形中心角的计算，掌握正n边形的中心角计算公式“中心角=$\frac{360°}{n}$”即可快速解题。
【难度系数】0.8
【解析】
∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形
∴正五边形的5个中心角相等，且所有中心角的和为360°
∴$∠ COD = 360° ÷ 5 = 72°$
【答案】D
【知识点】正多边形与圆；中心角计算
【点评】本题属于基础题，主要考查正多边形中心角的计算，掌握正n边形的中心角计算公式“中心角=$\frac{360°}{n}$”即可快速解题。
【难度系数】0.8
13. 如图，$\odot O$是四边形$ABCD$的内切圆.若$∠ AOB=70°$,则$∠ COD$的度数是 （
A.$110°$
B.$125°$
C.$140°$
D.$145°$
A
）A.$110°$
B.$125°$
C.$140°$
D.$145°$
答案
13. A
解析
【分析】
解题时首先回忆四边形内切圆的性质：内切圆的圆心是四边形四个内角的角平分线的交点，即OA、OB、OC、OD分别平分四边形的四个内角。接下来结合内角和相关定理推导角度关系：先由四边形内角和为360°，得出四个内角的一半之和为180°，再结合三角形内角和为180°，可推出∠AOB与∠COD互补，最后代入已知角度即可计算出∠COD的度数。
【解析】
解：
∵$\odot O$是四边形$ABCD$的内切圆，
∴$OA$平分$∠ BAD$，$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ BCD$，$OD$平分$∠ CDA$，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ ODC=\frac{1}{2}∠ CDA$。
∵四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDA=360°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA+∠ OCD+∠ ODC=\frac{1}{2}×360°=180°$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)$，
在$△ COD$中，$∠ COD=180°-(∠ OCD+∠ ODC)$，
∴$∠ AOB+∠ COD=360°-(∠ OAB+∠ OBA+∠ OCD+∠ ODC)=360°-180°=180°$。
已知$∠ AOB=70°$，
∴$∠ COD=180°-70°=110°$。
【答案】
A
【知识点】
四边形内切圆的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类几何题，解题核心是理解内切圆圆心的性质，结合内角和定理推导角的互补关系即可快速求解，需要熟练掌握内切圆相关的基础性质。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆四边形内切圆的性质：内切圆的圆心是四边形四个内角的角平分线的交点，即OA、OB、OC、OD分别平分四边形的四个内角。接下来结合内角和相关定理推导角度关系：先由四边形内角和为360°，得出四个内角的一半之和为180°，再结合三角形内角和为180°，可推出∠AOB与∠COD互补，最后代入已知角度即可计算出∠COD的度数。
【解析】
解：
∵$\odot O$是四边形$ABCD$的内切圆，
∴$OA$平分$∠ BAD$，$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ BCD$，$OD$平分$∠ CDA$，
∴$∠ OAB=\frac{1}{2}∠ BAD$，$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ BCD$，$∠ ODC=\frac{1}{2}∠ CDA$。
∵四边形内角和为$360°$，即$∠ BAD+∠ ABC+∠ BCD+∠ CDA=360°$，
∴$∠ OAB+∠ OBA+∠ OCD+∠ ODC=\frac{1}{2}×360°=180°$。
在$△ AOB$中，$∠ AOB=180°-(∠ OAB+∠ OBA)$，
在$△ COD$中，$∠ COD=180°-(∠ OCD+∠ ODC)$，
∴$∠ AOB+∠ COD=360°-(∠ OAB+∠ OBA+∠ OCD+∠ ODC)=360°-180°=180°$。
已知$∠ AOB=70°$，
∴$∠ COD=180°-70°=110°$。
【答案】
A
【知识点】
四边形内切圆的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础类几何题，解题核心是理解内切圆圆心的性质，结合内角和定理推导角的互补关系即可快速求解，需要熟练掌握内切圆相关的基础性质。
【难度系数】
0.7
14. 如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$分别与$AB$，$BC$，$AC$相切于点$D$，$E$，$F$，且$AB=7$，$CE=6$，则$△ ABC$的周长为（
A.32
B.28
C.26
D.30
C
）A.32
B.28
C.26
D.30
答案
14. C
解析
【分析】
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先根据定理找出相等的线段：$CE=CF$，$BD=BE$，$AD=AF$。已知$CE=6$可得$CF=6$，已知$AB=7$可得$AD+BD=7$，进而推出$AF+BE=7$。最后将三角形周长拆分为已知线段的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF=6$
∵ $AB=AD+BD=7$
∴ $AF+BE=AD+BD=7$
$△ ABC$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ ABC}&=AB+BC+AC\\&=AB+(BE+CE)+(AF+CF)\\&=7+(BE+6)+(AF+6)\\&=7+6+6+(BE+AF)\\&=19+7=26\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.切线长定理 2.三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础题，重点考查切线长定理在三角形内切圆中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长拆分转化为已知线段的和，计算难度较低，是三角形与圆结合部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
遇到三角形内切圆与三边相切的问题，首先联想到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。我们可以先根据定理找出相等的线段：$CE=CF$，$BD=BE$，$AD=AF$。已知$CE=6$可得$CF=6$，已知$AB=7$可得$AD+BD=7$，进而推出$AF+BE=7$。最后将三角形周长拆分为已知线段的和，代入计算即可得到结果。
【解析】
根据切线长定理可得：
$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF=6$
∵ $AB=AD+BD=7$
∴ $AF+BE=AD+BD=7$
$△ ABC$的周长为：
$\begin{aligned}C_{△ ABC}&=AB+BC+AC\\&=AB+(BE+CE)+(AF+CF)\\&=7+(BE+6)+(AF+6)\\&=7+6+6+(BE+AF)\\&=19+7=26\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
1.切线长定理 2.三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础题，重点考查切线长定理在三角形内切圆中的应用，解题核心是利用切线长相等的性质，将三角形周长拆分转化为已知线段的和，计算难度较低，是三角形与圆结合部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
