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4. (1) 如图①，在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，以点B为中心，把$△ ABC$逆时针旋转$90°$，得到$△ A_1BC_1$；再以点C为中心，把$△ ABC$顺时针旋转$90°$，得到$△ A_2B_1C$。连接$C_1B_1$。求证：$C_1B_1// BC$；
(2) 如图②，当$△ ABC$是锐角三角形，$∠ ABC=α(α≠60°)$时，将$△ ABC$按照(1)中的方式旋转$α$。连接$C_1B_1$，探究$C_1B_1$与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3) 如图③，在图②的基础上，连接$B_1B$。若$C_1B_1=\frac{2}{3}BC$，$△ C_1BB_1$的面积为4，则$△ B_1BC$的面积为
(2) 如图②，当$△ ABC$是锐角三角形，$∠ ABC=α(α≠60°)$时，将$△ ABC$按照(1)中的方式旋转$α$。连接$C_1B_1$，探究$C_1B_1$与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
(3) 如图③，在图②的基础上，连接$B_1B$。若$C_1B_1=\frac{2}{3}BC$，$△ C_1BB_1$的面积为4，则$△ B_1BC$的面积为
6
。答案
4.（1）证明:由旋转得$∠A_1BC_1=90°,∠BCB_1=90°$,
∴$∠A_1BC_1+∠BCB_1=180°$,
∴$C_1B// CB_1$;
∵$C_1B=CB=CB_1$,
∴四边形$BCB_1C_1$是平行四边形,
∴$C_1B_1// BC$.
（2）$C_1B_1// BC$,证明:如图
,过点$C_1$作$C_1D⊥ BC$于点D,过点$B_1$作$B_1F⊥ BC$于点F,则$C_1D// B_1F,∠C_1DB=∠B_1FC=90°$.由旋转可知,$BC_1=BC=CB_1,∠C_1BD=∠B_1CF$,∴$△C_1BD≌ △B_1CF(AAS)$,
∴$C_1D=B_1F$. 又$C_1D// B_1F$,
∴四边形$C_1DFB_1$是平行四边形,
∴$C_1B_1// BC$.
（3）6
解析
【分析】
(1) 要证$C_1B_1// BC$，可先利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，证明四边形$BCB_1C_1$是平行四边形，再利用平行四边形对边平行的性质即可得证；
(2) 类比第一问的思路，当旋转角不是$90°$时，通过作$C_1D⊥ BC$、$B_1F⊥ BC$构造直角三角形，证明两个直角三角形全等得到两条高相等，结合两条高互相平行可证四边形$C_1DFB_1$是平行四边形，即可得到$C_1B_1$与$BC$的位置关系；
(3) 由(2)的结论可知$C_1B_1// BC$，因此$△ C_1BB_1$和$△ B_1BC$的高相等，均为两条平行线之间的距离，两个三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知的边长关系和$△ C_1BB_1$的面积即可求解。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质得，$∠ A_1BC_1=∠ ABC=90°$，$∠ BCB_1=90°$，$BC_1=BC$，$CB_1=BC$，
$\therefore ∠ C_1BC + ∠ BCB_1 = 90°+90°=180°$，
$\therefore C_1B // CB_1$，
又$\because C_1B=CB=CB_1$，
$\therefore$四边形$BCB_1C_1$是平行四边形，
$\therefore C_1B_1 // BC$。
(2) 探究结论：$C_1B_1// BC$，证明如下：
如图，过点$C_1$作$C_1D⊥ BC$于点$D$，过点$B_1$作$B_1F⊥ BC$于点$F$，则$∠ C_1DB=∠ B_1FC=90°$，$C_1D// B_1F$。
由旋转的性质可知，$BC_1=BC=CB_1$，$∠ C_1BD=∠ B_1CF=α$，
在$△ C_1BD$和$△ B_1CF$中：
$\begin{cases}∠ C_1DB=∠ B_1FC \\∠ C_1BD=∠ B_1CF \\BC_1=CB_1\end{cases}$
$\therefore △ C_1BD≌ △ B_1CF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore C_1D=B_1F$，
又$\because C_1D// B_1F$，
$\therefore$四边形$C_1DFB_1$是平行四边形，
$\therefore C_1B_1// BC$。
(3) 解：由(2)可知$C_1B_1// BC$，
$\therefore △ C_1BB_1$的边$C_1B_1$上的高与$△ B_1BC$的边$BC$上的高相等，均为平行线$C_1B_1$与$BC$之间的距离，
$\therefore \frac{S_{△ C_1BB_1}}{S_{△ B_1BC}}=\frac{C_1B_1}{BC}$，
$\because C_1B_1=\frac{2}{3}BC$，$S_{△ C_1BB_1}=4$，
$\therefore \frac{4}{S_{△ B_1BC}}=\frac{2}{3}$，
解得$S_{△ B_1BC}=6$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $C_1B_1// BC$，证明见解析，如图；
(3) $\boxed{6}$
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以图形旋转为背景层层递进设置问题，既考查了旋转、全等三角形、平行四边形等基础几何知识点的应用，又锻炼了逻辑推理和迁移类比的能力，第三问利用平行线间距离相等得到两个三角形同高，结合面积与底的比例关系求解，解题时要注意对前两问结论的运用。
【难度系数】
0.6
(1) 要证$C_1B_1// BC$，可先利用旋转的性质得到对应边、对应角的关系，证明四边形$BCB_1C_1$是平行四边形，再利用平行四边形对边平行的性质即可得证；
(2) 类比第一问的思路，当旋转角不是$90°$时，通过作$C_1D⊥ BC$、$B_1F⊥ BC$构造直角三角形，证明两个直角三角形全等得到两条高相等，结合两条高互相平行可证四边形$C_1DFB_1$是平行四边形，即可得到$C_1B_1$与$BC$的位置关系；
(3) 由(2)的结论可知$C_1B_1// BC$，因此$△ C_1BB_1$和$△ B_1BC$的高相等，均为两条平行线之间的距离，两个三角形的面积比等于对应底边长的比，结合已知的边长关系和$△ C_1BB_1$的面积即可求解。
【解析】
(1) 证明：由旋转的性质得，$∠ A_1BC_1=∠ ABC=90°$，$∠ BCB_1=90°$，$BC_1=BC$，$CB_1=BC$，
$\therefore ∠ C_1BC + ∠ BCB_1 = 90°+90°=180°$，
$\therefore C_1B // CB_1$，
又$\because C_1B=CB=CB_1$，
$\therefore$四边形$BCB_1C_1$是平行四边形，
$\therefore C_1B_1 // BC$。
(2) 探究结论：$C_1B_1// BC$，证明如下：
如图
，过点$C_1$作$C_1D⊥ BC$于点$D$，过点$B_1$作$B_1F⊥ BC$于点$F$，则$∠ C_1DB=∠ B_1FC=90°$，$C_1D// B_1F$。由旋转的性质可知，$BC_1=BC=CB_1$，$∠ C_1BD=∠ B_1CF=α$，
在$△ C_1BD$和$△ B_1CF$中：
$\begin{cases}∠ C_1DB=∠ B_1FC \\∠ C_1BD=∠ B_1CF \\BC_1=CB_1\end{cases}$
$\therefore △ C_1BD≌ △ B_1CF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore C_1D=B_1F$，
又$\because C_1D// B_1F$，
$\therefore$四边形$C_1DFB_1$是平行四边形，
$\therefore C_1B_1// BC$。
(3) 解：由(2)可知$C_1B_1// BC$，
$\therefore △ C_1BB_1$的边$C_1B_1$上的高与$△ B_1BC$的边$BC$上的高相等，均为平行线$C_1B_1$与$BC$之间的距离，
$\therefore \frac{S_{△ C_1BB_1}}{S_{△ B_1BC}}=\frac{C_1B_1}{BC}$，
$\because C_1B_1=\frac{2}{3}BC$，$S_{△ C_1BB_1}=4$，
$\therefore \frac{4}{S_{△ B_1BC}}=\frac{2}{3}$，
解得$S_{△ B_1BC}=6$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $C_1B_1// BC$，证明见解析，如图
；(3) $\boxed{6}$
【知识点】
旋转的性质；平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以图形旋转为背景层层递进设置问题，既考查了旋转、全等三角形、平行四边形等基础几何知识点的应用，又锻炼了逻辑推理和迁移类比的能力，第三问利用平行线间距离相等得到两个三角形同高，结合面积与底的比例关系求解，解题时要注意对前两问结论的运用。
【难度系数】
0.6
