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5. 如图，$△ ABC$的三个顶点都在格点上，每个小方格的边长均为1个单位长度，建立如图坐标系.
（1）请你作出$△ ABC$关于点A成中心对称的$△ AB_{1}C_{1}$（其中点B的对称点是点$B_{1}$，点C的对称点是点$C_{1}$），并写出点$B_{1},C_{1}$的坐标；
（2）依次连接$BC_{1},C_{1}B_{1},B_{1}C$. 猜想四边形$BC_{1}B_{1}C$是什么特殊四边形，并说明理由.
（1）请你作出$△ ABC$关于点A成中心对称的$△ AB_{1}C_{1}$（其中点B的对称点是点$B_{1}$，点C的对称点是点$C_{1}$），并写出点$B_{1},C_{1}$的坐标；
（2）依次连接$BC_{1},C_{1}B_{1},B_{1}C$. 猜想四边形$BC_{1}B_{1}C$是什么特殊四边形，并说明理由.
答案
5.（1）图略 点$B_1$的坐标是$(2,0)$,点$C_1$的坐标是$(5,-3)$. （2）四边形$BC_1B_1C$是平行四边形，理由:由中心对称的性质可知，$BA=B_1A,CA=C_1A$,
∴四边形$BC_1B_1C$是平行四边形.
∴四边形$BC_1B_1C$是平行四边形.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。首先确定A、B、C三点的坐标，再利用中点坐标公式推导对称点的坐标规律，求出B、C关于点A的对称点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可得到△AB₁C₁。
（2）解决第二问需结合中心对称的性质得到四边形对角线的数量关系，再根据平行四边形的判定定理判断四边形的形状即可。
【解析】
首先由网格坐标系可得三点坐标：A(0,-1)，B(-2,-2)，C(-5,1)。
（1）若点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点为P'(x',y')，根据中点坐标公式可得$a=\frac{x+x'}{2}$，$b=\frac{y+y'}{2}$，变形得$x'=2a-x$，$y'=2b-y$。
①求B₁坐标：将A(0,-1)、B(-2,-2)代入公式，得$x_1=2×0 - (-2)=2$，$y_1=2×(-1) - (-2)=0$，即B₁(2,0)。
②求C₁坐标：将A(0,-1)、C(-5,1)代入公式，得$x_2=2×0 - (-5)=5$，$y_2=2×(-1) - 1=-3$，即C₁(5,-3)。
描出B₁、C₁两点，顺次连接A、B₁、C₁，即为所求的△AB₁C₁。
（2）四边形$BC_1B_1C$是平行四边形，理由如下：
由中心对称的性质可知，成中心对称的两个图形对应点连线被对称中心平分，因此$BA=B_1A$，$CA=C_1A$，即四边形$BC_1B_1C$的对角线$BB_1$和$CC_1$互相平分。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形$BC_1B_1C$是平行四边形。
【答案】
（1）作图略，点$B_1$的坐标是$(2,0)$，点$C_1$的坐标是$(5,-3)$；
（2）四边形$BC_1B_1C$是平行四边形，理由：由中心对称的性质可知，$BA=B_1A,CA=C_1A$，
∴四边形$BC_1B_1C$是平行四边形。
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；中点坐标公式
【点评】
本题属于基础作图与几何判定结合题，重点考查对中心对称性质的理解和应用，以及平行四边形判定定理的掌握，解题的核心是抓住对称中心是对应点连线的中点这一关键性质。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要明确中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。首先确定A、B、C三点的坐标，再利用中点坐标公式推导对称点的坐标规律，求出B、C关于点A的对称点B₁、C₁的坐标，描点后顺次连接即可得到△AB₁C₁。
（2）解决第二问需结合中心对称的性质得到四边形对角线的数量关系，再根据平行四边形的判定定理判断四边形的形状即可。
【解析】
首先由网格坐标系可得三点坐标：A(0,-1)，B(-2,-2)，C(-5,1)。
（1）若点P(x,y)关于点A(a,b)的对称点为P'(x',y')，根据中点坐标公式可得$a=\frac{x+x'}{2}$，$b=\frac{y+y'}{2}$，变形得$x'=2a-x$，$y'=2b-y$。
①求B₁坐标：将A(0,-1)、B(-2,-2)代入公式，得$x_1=2×0 - (-2)=2$，$y_1=2×(-1) - (-2)=0$，即B₁(2,0)。
②求C₁坐标：将A(0,-1)、C(-5,1)代入公式，得$x_2=2×0 - (-5)=5$，$y_2=2×(-1) - 1=-3$，即C₁(5,-3)。
描出B₁、C₁两点，顺次连接A、B₁、C₁，即为所求的△AB₁C₁。
（2）四边形$BC_1B_1C$是平行四边形，理由如下：
由中心对称的性质可知，成中心对称的两个图形对应点连线被对称中心平分，因此$BA=B_1A$，$CA=C_1A$，即四边形$BC_1B_1C$的对角线$BB_1$和$CC_1$互相平分。根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理，可得四边形$BC_1B_1C$是平行四边形。
【答案】
（1）作图略，点$B_1$的坐标是$(2,0)$，点$C_1$的坐标是$(5,-3)$；
（2）四边形$BC_1B_1C$是平行四边形，理由：由中心对称的性质可知，$BA=B_1A,CA=C_1A$，
∴四边形$BC_1B_1C$是平行四边形。
【知识点】
中心对称的性质；平行四边形的判定；中点坐标公式
【点评】
本题属于基础作图与几何判定结合题，重点考查对中心对称性质的理解和应用，以及平行四边形判定定理的掌握，解题的核心是抓住对称中心是对应点连线的中点这一关键性质。
【难度系数】
0.8
1. 如图，矩形ABCD经平移后成为矩形CEFG，则该图形为
中心
对称图形，对称中心为点C
，点D的对称点为点E
，点G的对称点为点B
。答案
1. 中心 点C 点E 点B
解析
【分析】
解题时先回忆常见的对称类型：轴对称和中心对称，首先判断图形能否沿某条直线对折后两边完全重合，观察可知该图形没有符合要求的对称轴，排除轴对称；再结合平移的性质，矩形ABCD平移得到矩形CEFG，对应边平行且相等，观察公共点C，验证将整个图形绕点C旋转180°后是否与原图形重合，即可确定对称类型和对称中心；最后根据中心对称“对称点连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等”的性质，就能找到对应点的对称点。
【解析】
1. 判断对称类型与对称中心：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，这个点为对称中心。
已知矩形ABCD经平移得到矩形CEFG，由平移的性质可得对应边平行且相等，因此CD=CE、BC=CG，且D、C、E三点共线，B、C、G三点共线，AB//CE、AD//CG。将整个图形绕点C旋转180°后，矩形ABCD与矩形CEFG完全重合，因此该图形是中心对称图形，对称中心为点C。
2. 确定对称点：
根据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，因此点D的对称点为点E，点G的对称点为点B。
【答案】
中心；点C；点E；点B
【知识点】
中心对称图形定义；中心对称的性质；平移的性质
【点评】
本题属于基础题，结合平移后的矩形图形考查中心对称相关知识，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判定方法以及对称点的确定规律，学习时要注意区分轴对称和中心对称的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆常见的对称类型：轴对称和中心对称，首先判断图形能否沿某条直线对折后两边完全重合，观察可知该图形没有符合要求的对称轴，排除轴对称；再结合平移的性质，矩形ABCD平移得到矩形CEFG，对应边平行且相等，观察公共点C，验证将整个图形绕点C旋转180°后是否与原图形重合，即可确定对称类型和对称中心；最后根据中心对称“对称点连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等”的性质，就能找到对应点的对称点。
【解析】
1. 判断对称类型与对称中心：
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若旋转后的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，这个点为对称中心。
已知矩形ABCD经平移得到矩形CEFG，由平移的性质可得对应边平行且相等，因此CD=CE、BC=CG，且D、C、E三点共线，B、C、G三点共线，AB//CE、AD//CG。将整个图形绕点C旋转180°后，矩形ABCD与矩形CEFG完全重合，因此该图形是中心对称图形，对称中心为点C。
2. 确定对称点：
根据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，因此点D的对称点为点E，点G的对称点为点B。
【答案】
中心；点C；点E；点B
【知识点】
中心对称图形定义；中心对称的性质；平移的性质
【点评】
本题属于基础题，结合平移后的矩形图形考查中心对称相关知识，解题关键是熟练掌握中心对称图形的判定方法以及对称点的确定规律，学习时要注意区分轴对称和中心对称的特征，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
2. 分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆，得到的图形如图所示。将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是
90°
。答案
2. $90°$
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确该图形的旋转中心是正方形的中心，再观察图形的结构特征：该图形由4个完全相同的花瓣状图形均匀分布在中心周围，整体被平均分为4个全等的部分。根据旋转对称的性质，最小旋转角等于周角360°除以全等部分的份数，据此即可计算出最小旋转角度。
【解析】
该图形的旋转中心为正方形的中心，观察图形可知，整个图形可被通过中心的射线平均分成4个全等的部分。
根据旋转对称图形的性质，最小旋转角 = $360° ÷$ 全等部分的份数，代入得：
$360° ÷ 4 = 90°$
即旋转90°后该图形可与原图形重合，且为最小旋转角度。
【答案】
$90°$
【知识点】
旋转的性质，正方形的对称性，旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题，主要考查旋转对称图形最小旋转角的求解，解题关键是准确判断出图形被平均分成的全等份数，结合周角计算即可，掌握旋转重合的特征是解题的前提。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需明确该图形的旋转中心是正方形的中心，再观察图形的结构特征：该图形由4个完全相同的花瓣状图形均匀分布在中心周围，整体被平均分为4个全等的部分。根据旋转对称的性质，最小旋转角等于周角360°除以全等部分的份数，据此即可计算出最小旋转角度。
【解析】
该图形的旋转中心为正方形的中心，观察图形可知，整个图形可被通过中心的射线平均分成4个全等的部分。
根据旋转对称图形的性质，最小旋转角 = $360° ÷$ 全等部分的份数，代入得：
$360° ÷ 4 = 90°$
即旋转90°后该图形可与原图形重合，且为最小旋转角度。
【答案】
$90°$
【知识点】
旋转的性质，正方形的对称性，旋转对称图形
【点评】
本题属于基础题，主要考查旋转对称图形最小旋转角的求解，解题关键是准确判断出图形被平均分成的全等份数，结合周角计算即可，掌握旋转重合的特征是解题的前提。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(3,4)$.
(1) 请画出将$△ ABC$向左平移4个单位长度后得到的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2) 请画出$△ ABC$关于原点$O$成中心对称的图形$△ A_2B_2C_2$；
(3) 在$x$轴上找一点$P$，使$PA+PB$的值最小，请直接写出点$P$的坐标.
(1) 请画出将$△ ABC$向左平移4个单位长度后得到的图形$△ A_1B_1C_1$；
(2) 请画出$△ ABC$关于原点$O$成中心对称的图形$△ A_2B_2C_2$；
(3) 在$x$轴上找一点$P$，使$PA+PB$的值最小，请直接写出点$P$的坐标.
答案
3.（1）如图
（2）如图 （3）点$P$的坐标为$(2,0)$.解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，需先明确平移的坐标变化规律：向左平移4个单位长度时，各点横坐标减4，纵坐标不变。先求出△ABC三个顶点平移后的对应点坐标，再顺次连接各对应点即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(2) 作关于原点中心对称的图形，依据中心对称的坐标特征：关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。先求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(3) 求x轴上使PA+PB最小的点P，是“将军饮马”类最短路径问题：先作点A关于x轴的对称点A'，根据对称性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时和最小，即直线A'B与x轴的交点就是P，再通过求直线解析式计算交点坐标即可。
【解析】
(1) 平移后各点坐标：
A₁的横坐标为$1-4=-3$，纵坐标为1，即$A₁(-3,1)$；
B₁的横坐标为$4-4=0$，纵坐标为2，即$B₁(0,2)$；
C₁的横坐标为$3-4=-1$，纵坐标为4，即$C₁(-1,4)$；
顺次连接$A₁、B₁、C₁$，得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点中心对称的点坐标为原坐标的横、纵坐标取相反数：
$A_2(-1,-1)$，$B_2(-4,-2)$，$C_2(-3,-4)$；
顺次连接$A_2、B_2、C_2$，得到△A₂B₂C₂。
(3) 作点A关于x轴的对称点$A'(1,-1)$，设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入解析式：
$\begin{cases}k+b=-1\\4k+b=2\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$3k=3$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=-1$，得$1+b=-1$，解得$b=-2$，
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$，
令$y=0$，得$x=2$，即点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
（1）如图
（2）如图
（3）点$P$的坐标为$(2,0)$
【知识点】
平移的坐标变换，中心对称的坐标特征，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换和最短路径的求解，属于基础典型题，熟练掌握坐标变换的规律和“将军饮马”最值模型的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 解决平移作图问题，需先明确平移的坐标变化规律：向左平移4个单位长度时，各点横坐标减4，纵坐标不变。先求出△ABC三个顶点平移后的对应点坐标，再顺次连接各对应点即可得到平移后的△A₁B₁C₁。
(2) 作关于原点中心对称的图形，依据中心对称的坐标特征：关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数。先求出A、B、C三点的对称点坐标，再顺次连接得到△A₂B₂C₂。
(3) 求x轴上使PA+PB最小的点P，是“将军饮马”类最短路径问题：先作点A关于x轴的对称点A'，根据对称性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时和最小，即直线A'B与x轴的交点就是P，再通过求直线解析式计算交点坐标即可。
【解析】
(1) 平移后各点坐标：
A₁的横坐标为$1-4=-3$，纵坐标为1，即$A₁(-3,1)$；
B₁的横坐标为$4-4=0$，纵坐标为2，即$B₁(0,2)$；
C₁的横坐标为$3-4=-1$，纵坐标为4，即$C₁(-1,4)$；
顺次连接$A₁、B₁、C₁$，得到△A₁B₁C₁。
(2) 关于原点中心对称的点坐标为原坐标的横、纵坐标取相反数：
$A_2(-1,-1)$，$B_2(-4,-2)$，$C_2(-3,-4)$；
顺次连接$A_2、B_2、C_2$，得到△A₂B₂C₂。
(3) 作点A关于x轴的对称点$A'(1,-1)$，设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(1,-1)$、$B(4,2)$代入解析式：
$\begin{cases}k+b=-1\\4k+b=2\end{cases}$
用第二个式子减第一个式子得：$3k=3$，解得$k=1$，
将$k=1$代入$k+b=-1$，得$1+b=-1$，解得$b=-2$，
因此直线$A'B$的解析式为$y=x-2$，
令$y=0$，得$x=2$，即点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
（1）如图
（2）如图
（3）点$P$的坐标为$(2,0)$
【知识点】
平移的坐标变换，中心对称的坐标特征，最短路径问题
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中的图形变换和最短路径的求解，属于基础典型题，熟练掌握坐标变换的规律和“将军饮马”最值模型的应用是解题的关键。
【难度系数】
0.7
