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4. 如图,在矩形ABCD中,AD=4 cm,AB=3 cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE.动点P,Q从点A同时出发,点P以$\sqrt{2}$ cm/s的速度沿AE向终点E运动;点Q以2 cm/s的速度沿折线AD→DC向终点C运动,设点Q运动时间为x(单位:s),在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形的面积为y(单位:cm²).
(1) AE=
(2) 求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3) 当PQ=$\frac{5}{4}$ cm时,直接写出x的值.
(1) AE=
$3\sqrt{2}$
cm,∠EAD=$45°$
;(2) 求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3) 当PQ=$\frac{5}{4}$ cm时,直接写出x的值.
答案
(1) $3\sqrt{2}$，$45°$
(2) $y=\begin{cases} x^2(0＜x≤ 2),\\ -x^2+8x-8(2＜x≤ 3),\\ x+4(3＜x≤ \frac{7}{2}). \end{cases}$
(3) $\frac{5}{8}\sqrt{2}$或$\frac{25}{8}$
(2) $y=\begin{cases} x^2(0＜x≤ 2),\\ -x^2+8x-8(2＜x≤ 3),\\ x+4(3＜x≤ \frac{7}{2}). \end{cases}$
(3) $\frac{5}{8}\sqrt{2}$或$\frac{25}{8}$
解析
【分析】
(1) 先由矩形性质得∠B=90°，结合AB=BE可判断△ABE为等腰直角三角形，用勾股定理即可求AE长，再根据角的和差关系求∠EAD的度数。
(2) 结合动点P、Q的运动路径和速度，分三个阶段讨论：①Q在AD上运动、P在AE上运动；②Q在DC上运动、P仍在AE上运动；③P到达E点停止，Q继续在DC上运动，分别计算每个阶段围成图形的面积，即可得到分段函数解析式。
(3) 同样分三个阶段，利用两点间距离公式列方程求解，舍去不符合自变量取值范围的解即可得到x的值。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠B=90°，已知AB=3cm，BE=AB=3cm，
∴△ABE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
且$∠ BAE=45°$，又$∠ BAD=90°$，
∴$∠ EAD=90°-45°=45°$。
(2) 点P走完全程AE的时间为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3\ \mathrm{s}$，点Q走完全程AD+DC的时间为$(4+3)÷2=\frac{7}{2}\ \mathrm{s}$，分三种情况讨论：
①当$0＜x≤2$时，Q在AD上运动，$AQ=2x\ \mathrm{cm}$，过P作PH⊥AD于H，
∵$∠ EAD=45°$，$AP=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，
∴$PH=AP·\sin45°=x\ \mathrm{cm}$，
此时围成的图形是△APQ，面积$y=\frac{1}{2}× AQ× PH=\frac{1}{2}×2x× x=x^2$；
②当$2＜x≤3$时，Q在DC上运动，$DQ=2(x-2)=(2x-4)\ \mathrm{cm}$，
此时围成的图形是四边形ADQP，用割补法计算面积：
$y=S_{\mathrm{梯形}ADQP}=\frac{1}{2}×(DQ+PH)× AD - \frac{1}{2}×(4-x)×(x-(2x-4))$，代入化简得$y=-x^2+8x-8$；
③当$3＜x≤\frac{7}{2}$时，P已到达E点停止运动，P坐标为(3,3)，Q仍在DC上，
此时围成的图形面积$y=S_{\mathrm{四边形}ADQE}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ECQ}$，代入化简得$y=x+4$。
(3) 分情况求$PQ=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$时的x：
①当$0＜x≤2$时，$PQ=\sqrt{(2x-x)^2+(0-x)^2}=\sqrt{2}x=\frac{5}{4}$，解得$x=\frac{5\sqrt{2}}{8}$，符合取值范围；
②当$2＜x≤3$时，$PQ=\sqrt{(4-x)^2+(2x-4-x)^2}=\sqrt{2}(4-x)=\frac{5}{4}$，解得$x=4-\frac{5\sqrt{2}}{8}\approx3.12＞3$，不符合范围，舍去；
③当$3＜x≤\frac{7}{2}$时，$PQ=\sqrt{(4-3)^2+(2x-4-3)^2}=\sqrt{1+(2x-7)^2}=\frac{5}{4}$，
平方得$1+(2x-7)^2=\frac{25}{16}$，即$(2x-7)^2=\frac{9}{16}$，
∵$3＜x≤\frac{7}{2}$，
∴$2x-7＜0$，
∴$2x-7=-\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{25}{8}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$，$45°$
(2) $y=\begin{cases} x^2(0＜x≤ 2),\\ -x^2+8x-8(2＜x≤ 3),\\ x+4(3＜x≤ \frac{7}{2}). \end{cases}$
(3) $\frac{5}{8}\sqrt{2}$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，动点分段函数，两点间距离公式
【点评】
本题是矩形背景下的动点综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需根据动点的不同运动阶段拆分问题，结合几何图形性质简化计算，同时要注意验证解是否符合自变量的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.3
(1) 先由矩形性质得∠B=90°，结合AB=BE可判断△ABE为等腰直角三角形，用勾股定理即可求AE长，再根据角的和差关系求∠EAD的度数。
(2) 结合动点P、Q的运动路径和速度，分三个阶段讨论：①Q在AD上运动、P在AE上运动；②Q在DC上运动、P仍在AE上运动；③P到达E点停止，Q继续在DC上运动，分别计算每个阶段围成图形的面积，即可得到分段函数解析式。
(3) 同样分三个阶段，利用两点间距离公式列方程求解，舍去不符合自变量取值范围的解即可得到x的值。
【解析】
(1) 在矩形ABCD中，∠B=90°，已知AB=3cm，BE=AB=3cm，
∴△ABE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：$AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，
且$∠ BAE=45°$，又$∠ BAD=90°$，
∴$∠ EAD=90°-45°=45°$。
(2) 点P走完全程AE的时间为$3\sqrt{2}÷\sqrt{2}=3\ \mathrm{s}$，点Q走完全程AD+DC的时间为$(4+3)÷2=\frac{7}{2}\ \mathrm{s}$，分三种情况讨论：
①当$0＜x≤2$时，Q在AD上运动，$AQ=2x\ \mathrm{cm}$，过P作PH⊥AD于H，
∵$∠ EAD=45°$，$AP=\sqrt{2}x\ \mathrm{cm}$，
∴$PH=AP·\sin45°=x\ \mathrm{cm}$，
此时围成的图形是△APQ，面积$y=\frac{1}{2}× AQ× PH=\frac{1}{2}×2x× x=x^2$；
②当$2＜x≤3$时，Q在DC上运动，$DQ=2(x-2)=(2x-4)\ \mathrm{cm}$，
此时围成的图形是四边形ADQP，用割补法计算面积：
$y=S_{\mathrm{梯形}ADQP}=\frac{1}{2}×(DQ+PH)× AD - \frac{1}{2}×(4-x)×(x-(2x-4))$，代入化简得$y=-x^2+8x-8$；
③当$3＜x≤\frac{7}{2}$时，P已到达E点停止运动，P坐标为(3,3)，Q仍在DC上，
此时围成的图形面积$y=S_{\mathrm{四边形}ADQE}=S_{\mathrm{矩形}ABCD}-S_{△ ABE}-S_{△ ECQ}$，代入化简得$y=x+4$。
(3) 分情况求$PQ=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$时的x：
①当$0＜x≤2$时，$PQ=\sqrt{(2x-x)^2+(0-x)^2}=\sqrt{2}x=\frac{5}{4}$，解得$x=\frac{5\sqrt{2}}{8}$，符合取值范围；
②当$2＜x≤3$时，$PQ=\sqrt{(4-x)^2+(2x-4-x)^2}=\sqrt{2}(4-x)=\frac{5}{4}$，解得$x=4-\frac{5\sqrt{2}}{8}\approx3.12＞3$，不符合范围，舍去；
③当$3＜x≤\frac{7}{2}$时，$PQ=\sqrt{(4-3)^2+(2x-4-3)^2}=\sqrt{1+(2x-7)^2}=\frac{5}{4}$，
平方得$1+(2x-7)^2=\frac{25}{16}$，即$(2x-7)^2=\frac{9}{16}$，
∵$3＜x≤\frac{7}{2}$，
∴$2x-7＜0$，
∴$2x-7=-\frac{3}{4}$，解得$x=\frac{25}{8}$，符合取值范围。
【答案】
(1) $3\sqrt{2}$，$45°$
(2) $y=\begin{cases} x^2(0＜x≤ 2),\\ -x^2+8x-8(2＜x≤ 3),\\ x+4(3＜x≤ \frac{7}{2}). \end{cases}$
(3) $\frac{5}{8}\sqrt{2}$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
等腰直角三角形性质，动点分段函数，两点间距离公式
【点评】
本题是矩形背景下的动点综合题，核心考查分类讨论思想，解题时需根据动点的不同运动阶段拆分问题，结合几何图形性质简化计算，同时要注意验证解是否符合自变量的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.3
