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2. 如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是菱形,点B的坐标是(0,4),点D的坐标是$(8\sqrt{3},4)$,P和Q是两个动点,其中点P从点B出发,沿BA以每秒2个单位长度的速度做匀速运动,到点A后停止,同时点Q从点B出发,沿折线BC→CD以每秒4个单位长度的速度做匀速运动,如果其中一点停止运动,则另一点也停止运动.设P,Q的运动时间为$x$,$△ BPQ$的面积为$y$,下列图象中能表示$y$与$x$的函数关系的图象大致是 (
A
)答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据B、D的坐标求出菱形的边长，确定动点的总运动时间；再按Q的运动路径分两段讨论：①Q在BC段运动时，利用两边及夹角的三角形面积公式推导面积与时间的函数关系，可得是开口向上的二次函数；②Q在CD段运动时，因CD与BA平行，Q到BA的距离为定值，可推得面积与时间是一次函数关系，最后结合两类函数的图象特征判断选项即可。
【解析】
1. 求菱形边长：
已知点B(0,4)、D(8√3,4)纵坐标相同，因此BD长度为8√3，且BD为水平线段。
由菱形对角线互相垂直平分，可知BD的垂直平分线为x=4√3，即A、C在直线x=4√3上，可求得A(4√3,0)，C(4√3,8)，因此菱形边长AB=√[(4√3)²+(4)²]=8，且∠ABC=60°。
2. 确定运动时间范围：
点P运动到A的时间为8÷2=4秒，点Q运动到D的时间为(8+8)÷4=4秒，因此运动时间x的范围是0≤x≤4。
3. 分段求函数关系：
①当0≤x≤2时，Q在BC上运动，此时BP=2x，BQ=4x，
△BPQ的面积$y=\frac{1}{2}·BP·BQ·\sin60°=\frac{1}{2}·2x·4x·\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}x^2$，为开口向上的抛物线，随x增大快速上升；
②当2＜x≤4时，Q在CD上运动，因为CD//BA，Q到BA的距离为定值（AB、CD间的距离），此时BP=2x，因此$y=\frac{1}{2}·BP·h$（h为定值），是斜率为正的一次函数，图象为上升的直线。
综上只有选项A的图象符合特征。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，动点函数图象，二次函数与一次函数的图象
【点评】
本题属于动点分段函数的典型题，解题核心是正确对运动过程分段，结合几何性质推导各段的函数解析式，再匹配对应图象，需要学生对几何图形性质和函数图象特征都有较好的掌握。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据B、D的坐标求出菱形的边长，确定动点的总运动时间；再按Q的运动路径分两段讨论：①Q在BC段运动时，利用两边及夹角的三角形面积公式推导面积与时间的函数关系，可得是开口向上的二次函数；②Q在CD段运动时，因CD与BA平行，Q到BA的距离为定值，可推得面积与时间是一次函数关系，最后结合两类函数的图象特征判断选项即可。
【解析】
1. 求菱形边长：
已知点B(0,4)、D(8√3,4)纵坐标相同，因此BD长度为8√3，且BD为水平线段。
由菱形对角线互相垂直平分，可知BD的垂直平分线为x=4√3，即A、C在直线x=4√3上，可求得A(4√3,0)，C(4√3,8)，因此菱形边长AB=√[(4√3)²+(4)²]=8，且∠ABC=60°。
2. 确定运动时间范围：
点P运动到A的时间为8÷2=4秒，点Q运动到D的时间为(8+8)÷4=4秒，因此运动时间x的范围是0≤x≤4。
3. 分段求函数关系：
①当0≤x≤2时，Q在BC上运动，此时BP=2x，BQ=4x，
△BPQ的面积$y=\frac{1}{2}·BP·BQ·\sin60°=\frac{1}{2}·2x·4x·\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}x^2$，为开口向上的抛物线，随x增大快速上升；
②当2＜x≤4时，Q在CD上运动，因为CD//BA，Q到BA的距离为定值（AB、CD间的距离），此时BP=2x，因此$y=\frac{1}{2}·BP·h$（h为定值），是斜率为正的一次函数，图象为上升的直线。
综上只有选项A的图象符合特征。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，动点函数图象，二次函数与一次函数的图象
【点评】
本题属于动点分段函数的典型题，解题核心是正确对运动过程分段，结合几何性质推导各段的函数解析式，再匹配对应图象，需要学生对几何图形性质和函数图象特征都有较好的掌握。
【难度系数】
0.6
3. 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在边CD上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB，OE，OC，FD，如图④.
【探究】
（1）求证：$△ OBC ≌ △ OED$；
（2）若$AB＝8$，设$BC$为$x$，$OB^2$为$y$，求$y$关于$x$的关系式.
（Ⅰ）将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在边CD上点E处，如图②；
（Ⅱ）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B'处，如图③，两次折痕交于点O；
（Ⅲ）展开纸片，分别连接OB，OE，OC，FD，如图④.
【探究】
（1）求证：$△ OBC ≌ △ OED$；
（2）若$AB＝8$，设$BC$为$x$，$OB^2$为$y$，求$y$关于$x$的关系式.
答案
(1) 略,用边角边可证明. (2) $y=x^2-8x+32$
解析
【分析】
（1）要证明△OBC≌△OED，先结合折叠性质推导等量关系：第一次折叠可得AD=DE，∠EDO=45°；第二次折叠可得∠BCO=45°，且△OCD为等腰直角三角形，即OC=OD，结合矩形对边相等得BC=DE，最后用SAS判定即可证明全等。
（2）求y关于x的关系式，可通过建立平面直角坐标系，利用两次折痕的解析式求交点O的坐标，再结合B点坐标，用勾股定理计算OB²，整理即可得到函数关系式，方法直观且符合学段知识要求。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°。
由步骤（Ⅰ）折叠可知：AD=DE，∠ADF=∠EDF=45°，
∴BC=DE，∠EDO=45°。
由步骤（Ⅱ）折叠可知：∠BCO=∠DCO=45°，
∴∠BCO=∠EDO，且△OCD中∠OCD=∠ODC=45°，
∴OC=OD。
在△OBC和△OED中：
$\{\begin{array}{l} BC=DE\\ ∠ BCO=∠ EDO\\ OC=OD\end{array} $
∴△OBC≌△OED（SAS）。
（2）解：以D为原点，CD所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵AB=8，矩形对边相等，
∴CD=AB=8，即C点坐标为(8,0)，B点坐标为(8,x)。
由折叠性质：折痕DF是∠ADC的角平分线，解析式为$y=x$；
折痕CO是∠BCD的角平分线，过点C(8,0)，斜率为-1，解析式为$y=-x+8$。
联立两解析式$\{\begin{array}{l} y=x\\ y=-x+8\end{array} $，解得$\{\begin{array}{l} x=4\\ y=4\end{array} $，即O点坐标为(4,4)。
根据勾股定理：
$OB^2=(8-4)^2+(x-4)^2=16+x^2-8x+16=x^2-8x+32$，
∵$y=OB^2$，
∴$y=x^2-8x+32$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{y=x^2-8x+32}$
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题结合折叠操作考查几何综合应用，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，灵活运用全等判定和勾股定理求解，同时考查了几何直观与代数运算的结合能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明△OBC≌△OED，先结合折叠性质推导等量关系：第一次折叠可得AD=DE，∠EDO=45°；第二次折叠可得∠BCO=45°，且△OCD为等腰直角三角形，即OC=OD，结合矩形对边相等得BC=DE，最后用SAS判定即可证明全等。
（2）求y关于x的关系式，可通过建立平面直角坐标系，利用两次折痕的解析式求交点O的坐标，再结合B点坐标，用勾股定理计算OB²，整理即可得到函数关系式，方法直观且符合学段知识要求。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BCD=∠ADC=90°。
由步骤（Ⅰ）折叠可知：AD=DE，∠ADF=∠EDF=45°，
∴BC=DE，∠EDO=45°。
由步骤（Ⅱ）折叠可知：∠BCO=∠DCO=45°，
∴∠BCO=∠EDO，且△OCD中∠OCD=∠ODC=45°，
∴OC=OD。
在△OBC和△OED中：
$\{\begin{array}{l} BC=DE\\ ∠ BCO=∠ EDO\\ OC=OD\end{array} $
∴△OBC≌△OED（SAS）。
（2）解：以D为原点，CD所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
∵AB=8，矩形对边相等，
∴CD=AB=8，即C点坐标为(8,0)，B点坐标为(8,x)。
由折叠性质：折痕DF是∠ADC的角平分线，解析式为$y=x$；
折痕CO是∠BCD的角平分线，过点C(8,0)，斜率为-1，解析式为$y=-x+8$。
联立两解析式$\{\begin{array}{l} y=x\\ y=-x+8\end{array} $，解得$\{\begin{array}{l} x=4\\ y=4\end{array} $，即O点坐标为(4,4)。
根据勾股定理：
$OB^2=(8-4)^2+(x-4)^2=16+x^2-8x+16=x^2-8x+32$，
∵$y=OB^2$，
∴$y=x^2-8x+32$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{y=x^2-8x+32}$
【知识点】
折叠的性质；全等三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题结合折叠操作考查几何综合应用，解题核心是抓住折叠前后对应边、对应角相等的性质，灵活运用全等判定和勾股定理求解，同时考查了几何直观与代数运算的结合能力。
【难度系数】
0.65
