登录
5. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $y=x^2+bx+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(3,0),B(-1,0)$,与 $y$ 轴交于点 $C$.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 $D(0,3)$ 作直线 $MN// x$ 轴,点 $P$ 在直线 $MN$ 上,且 $S_{△ PAC}=S_{△ DBC}$,直接写出点 $P$ 的坐标.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点 $D(0,3)$ 作直线 $MN// x$ 轴,点 $P$ 在直线 $MN$ 上,且 $S_{△ PAC}=S_{△ DBC}$,直接写出点 $P$ 的坐标.
答案
(1) $y=x^2-2x-3$；(2) $(4,3)$或$(8,3)$
解析
【分析】
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，将两点坐标代入抛物线的一般式，利用待定系数法解关于b、c的二元一次方程组，即可求出抛物线解析式；
（2）首先求抛物线与y轴交点C的坐标，计算出△DBC的面积，再设出点P的坐标（因P在平行于x轴的直线MN上，纵坐标固定为3，只需设横坐标为t），根据面积相等列关于t的方程，求解即可得到P点坐标。
【解析】
（1）将$A(3,0)$、$B(-1,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9 + 3b + c = 0 \\1 - b + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去c，得$8+4b=0$，解得$b=-2$；
将$b=-2$代入$1 - b + c =0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）①求点C坐标：令$x=0$，代入$y=x^2-2x-3$，得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
②计算$S_{△ DBC}$：已知$D(0,3)$，则$DC=3-(-3)=6$，点B到y轴的距离为1，因此$S_{△ DBC}=\frac{1}{2}×6×1=3$。
③设点P坐标为$(t,3)$，由$S_{△ PAC}=S_{△ DBC}=3$，结合三点坐标求面积公式得：
$\frac{1}{2}\left| 3×(-3-3) + 0×(3-0) + t×(0+3) \right|=3$
化简得$\left|3t-18\right|=6$，即$3t-18=6$或$3t-18=-6$，解得$t=8$或$t=4$。
因此点P的坐标为$(4,3)$或$(8,3)$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$；(2) $(4,3)$或$(8,3)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，会灵活计算平面直角坐标系中的三角形面积，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.65
（1）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，将两点坐标代入抛物线的一般式，利用待定系数法解关于b、c的二元一次方程组，即可求出抛物线解析式；
（2）首先求抛物线与y轴交点C的坐标，计算出△DBC的面积，再设出点P的坐标（因P在平行于x轴的直线MN上，纵坐标固定为3，只需设横坐标为t），根据面积相等列关于t的方程，求解即可得到P点坐标。
【解析】
（1）将$A(3,0)$、$B(-1,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得方程组：
$\begin{cases}9 + 3b + c = 0 \\1 - b + c = 0\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程消去c，得$8+4b=0$，解得$b=-2$；
将$b=-2$代入$1 - b + c =0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）①求点C坐标：令$x=0$，代入$y=x^2-2x-3$，得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
②计算$S_{△ DBC}$：已知$D(0,3)$，则$DC=3-(-3)=6$，点B到y轴的距离为1，因此$S_{△ DBC}=\frac{1}{2}×6×1=3$。
③设点P坐标为$(t,3)$，由$S_{△ PAC}=S_{△ DBC}=3$，结合三点坐标求面积公式得：
$\frac{1}{2}\left| 3×(-3-3) + 0×(3-0) + t×(0+3) \right|=3$
化简得$\left|3t-18\right|=6$，即$3t-18=6$或$3t-18=-6$，解得$t=8$或$t=4$。
因此点P的坐标为$(4,3)$或$(8,3)$。
【答案】
(1) $y=x^2-2x-3$；(2) $(4,3)$或$(8,3)$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题考查二次函数的基础应用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式的方法，会灵活计算平面直角坐标系中的三角形面积，求解绝对值方程时注意不要漏解。
【难度系数】
0.65
1. 某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示. 由四个边长均为3 m小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，阴影部分不种植. 其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，$DG=1\ \mathrm{m}$，$AE=AF=x\ \mathrm{m}$，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积$y$（单位：$\mathrm{m}^2$）与$x$（单位：$\mathrm{m}$）的函数图象大致是 （
A
）答案
A
解析
【分析】
要确定y与x的函数图象，首先需推导二者的函数解析式，再明确自变量取值范围，最后结合二次函数性质判断图象。解题思路如下：1. 单个小正方形内五边形EFBCG的种植面积，可通过“小正方形总面积减去两个空白直角三角形的面积”计算；2. 四个小正方形种植方案完全相同，将单个种植面积乘4即可得到总种植面积y，整理为二次函数的一般形式；3. 结合边长的实际意义确定x的取值范围；4. 根据二次函数的开口方向、对称轴判断对应图象即可。
【解析】
已知小正方形边长为3m，单个小正方形的面积为$3×3=9\ \mathrm{m}^2$。
空白部分两个直角三角形的面积分别为：
① 在$△ AEF$中，$AE=AF=x\ \mathrm{m}$，$∠ A=90°$，则$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}AE· AF=\frac{1}{2}x^2$；
② 在$△ DEG$中，$DG=1\ \mathrm{m}$，$DE=AD-AE=(3-x)\ \mathrm{m}$，$∠ D=90°$，则$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}DE· DG=\frac{1}{2}(3-x)×1=\frac{3-x}{2}$。
因此单个小正方形内种植花卉的面积为：$9 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3-x}{2}$。
大正方形由4个相同的小正方形组成，因此总种植面积：
$\begin{aligned}y&=4×(9 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3-x}{2})\\&=36 - 2x^2 - 6 + 2x\\&=-2x^2 + 2x + 30\end{aligned}$
结合实际意义，$x$为线段长度，需满足$0＜x＜3$。
该函数是二次函数，二次项系数$-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{4}=0.5$，即图象是开口向下、对称轴为$x=0.5$的抛物线在$0＜x＜3$范围内的一段，与选项A特征一致。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心是通过面积和差关系建立函数模型，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质判断图象，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
要确定y与x的函数图象，首先需推导二者的函数解析式，再明确自变量取值范围，最后结合二次函数性质判断图象。解题思路如下：1. 单个小正方形内五边形EFBCG的种植面积，可通过“小正方形总面积减去两个空白直角三角形的面积”计算；2. 四个小正方形种植方案完全相同，将单个种植面积乘4即可得到总种植面积y，整理为二次函数的一般形式；3. 结合边长的实际意义确定x的取值范围；4. 根据二次函数的开口方向、对称轴判断对应图象即可。
【解析】
已知小正方形边长为3m，单个小正方形的面积为$3×3=9\ \mathrm{m}^2$。
空白部分两个直角三角形的面积分别为：
① 在$△ AEF$中，$AE=AF=x\ \mathrm{m}$，$∠ A=90°$，则$S_{△ AEF}=\frac{1}{2}AE· AF=\frac{1}{2}x^2$；
② 在$△ DEG$中，$DG=1\ \mathrm{m}$，$DE=AD-AE=(3-x)\ \mathrm{m}$，$∠ D=90°$，则$S_{△ DEG}=\frac{1}{2}DE· DG=\frac{1}{2}(3-x)×1=\frac{3-x}{2}$。
因此单个小正方形内种植花卉的面积为：$9 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3-x}{2}$。
大正方形由4个相同的小正方形组成，因此总种植面积：
$\begin{aligned}y&=4×(9 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3-x}{2})\\&=36 - 2x^2 - 6 + 2x\\&=-2x^2 + 2x + 30\end{aligned}$
结合实际意义，$x$为线段长度，需满足$0＜x＜3$。
该函数是二次函数，二次项系数$-2＜0$，图象开口向下，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{4}=0.5$，即图象是开口向下、对称轴为$x=0.5$的抛物线在$0＜x＜3$范围内的一段，与选项A特征一致。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质
【点评】
本题核心是通过面积和差关系建立函数模型，解题时需注意结合实际场景确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质判断图象，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.7
