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2. 如图,将边长为4 cm的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2 cm和4 cm的Rt△GEF的一边GF重合.正方形ABCD以1 cm/s的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时正方形停止运动.设正方形的运动时间为t s,正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分的面积为S cm²,则S关于t的函数图象为 (
B
)答案
B
解析
【分析】
解题时需分阶段讨论正方形运动过程中重叠部分的形状，分别推导不同阶段S与t的函数关系，再匹配对应函数图像：
1. 先确定运动分段节点：根据正方形和直角三角形的边长，可将运动过程分为三个阶段：$0≤ t≤2$、$2＜t≤4$、$4＜t≤6$；
2. 对每个阶段，结合几何图形的面积公式求出S关于t的解析式，判断函数类型及增减性，即可对应选出正确图像。
【解析】
我们分三个阶段分析重叠面积$S$与运动时间$t$的关系：
1. 当$0≤ t≤2\ \mathrm{s}$时：
正方形向右运动$t\ \mathrm{cm}$，重叠部分为直角梯形，由Rt△GEF斜边斜率为$-\frac{1}{2}$，计算得重叠面积：
$S = -\frac{1}{2}t^2 + 2t$，
该函数是开口向下的二次函数，对应图像为上升的抛物线段，$S$随$t$增大而增大，增长速度逐渐变慢。
2. 当$2＜t≤4\ \mathrm{s}$时：
此时正方形在三角形内的重叠区域面积固定，计算得：
$S = 2\ \mathrm{cm}^2$，
对应图像为水平线段。
3. 当$4＜t≤6\ \mathrm{s}$时：
正方形开始离开三角形，重叠部分为直角三角形，面积为：
$S = \frac{1}{2}(6-t)^2$，
该函数是开口向上的二次函数，对应图像为下降的抛物线段，$S$随$t$增大而减小，减小速度逐渐变快。
结合三个阶段的图像特征，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，二次函数的应用，图形面积计算
【点评】
本题将图形运动与函数图象结合，重点考查分类讨论思想和二次函数的性质，需要准确划分运动阶段，结合几何图形面积公式推导函数解析式，再匹配对应图象，是较为典型的综合题型。
【难度系数】
0.6
解题时需分阶段讨论正方形运动过程中重叠部分的形状，分别推导不同阶段S与t的函数关系，再匹配对应函数图像：
1. 先确定运动分段节点：根据正方形和直角三角形的边长，可将运动过程分为三个阶段：$0≤ t≤2$、$2＜t≤4$、$4＜t≤6$；
2. 对每个阶段，结合几何图形的面积公式求出S关于t的解析式，判断函数类型及增减性，即可对应选出正确图像。
【解析】
我们分三个阶段分析重叠面积$S$与运动时间$t$的关系：
1. 当$0≤ t≤2\ \mathrm{s}$时：
正方形向右运动$t\ \mathrm{cm}$，重叠部分为直角梯形，由Rt△GEF斜边斜率为$-\frac{1}{2}$，计算得重叠面积：
$S = -\frac{1}{2}t^2 + 2t$，
该函数是开口向下的二次函数，对应图像为上升的抛物线段，$S$随$t$增大而增大，增长速度逐渐变慢。
2. 当$2＜t≤4\ \mathrm{s}$时：
此时正方形在三角形内的重叠区域面积固定，计算得：
$S = 2\ \mathrm{cm}^2$，
对应图像为水平线段。
3. 当$4＜t≤6\ \mathrm{s}$时：
正方形开始离开三角形，重叠部分为直角三角形，面积为：
$S = \frac{1}{2}(6-t)^2$，
该函数是开口向上的二次函数，对应图像为下降的抛物线段，$S$随$t$增大而减小，减小速度逐渐变快。
结合三个阶段的图像特征，只有选项B符合要求。
【答案】
B
【知识点】
动点函数图象，二次函数的应用，图形面积计算
【点评】
本题将图形运动与函数图象结合，重点考查分类讨论思想和二次函数的性质，需要准确划分运动阶段，结合几何图形面积公式推导函数解析式，再匹配对应图象，是较为典型的综合题型。
【难度系数】
0.6
1. 矩形的周长为20，一边长为x，面积为y，则y与x的关系式是
$y=x(10-x)(0＜x＜10)$
.答案
$y=x(10-x)(0＜x＜10)$
解析
【分析】
解题时先从已知的矩形周长入手，首先根据矩形周长公式求出另一边长的表达式，再结合矩形面积公式写出面积y与边长x的关系式，最后结合边长为正的实际意义确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
1. 求矩形另一边长：
矩形周长公式为$C=2(a+b)$（$a、b$为矩形邻边长度），已知周长$C=20$，一边长为$x$，代入得：
$2(x + 另一边长)=20$，解得另一边长为$10 - x$。
2. 列面积关系式：
矩形面积公式为$S=ab$，将两边长$x$和$10-x$代入得：
$y = x(10 - x)$。
3. 确定自变量取值范围：
矩形边长为正数，因此$x＞0$，且$10 - x＞0$，解得$0 ＜ x ＜ 10$。
综上可得$y$与$x$的关系式。
【答案】
$y=x(10-x)(0＜x＜10)$
【知识点】
1. 矩形周长与面积计算
2. 函数关系式列写
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用矩形的周长、面积公式建立变量关系，解题时容易遗漏自变量的取值范围，需注意结合实际问题中边长的正性判断取值范围。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知的矩形周长入手，首先根据矩形周长公式求出另一边长的表达式，再结合矩形面积公式写出面积y与边长x的关系式，最后结合边长为正的实际意义确定自变量x的取值范围即可。
【解析】
1. 求矩形另一边长：
矩形周长公式为$C=2(a+b)$（$a、b$为矩形邻边长度），已知周长$C=20$，一边长为$x$，代入得：
$2(x + 另一边长)=20$，解得另一边长为$10 - x$。
2. 列面积关系式：
矩形面积公式为$S=ab$，将两边长$x$和$10-x$代入得：
$y = x(10 - x)$。
3. 确定自变量取值范围：
矩形边长为正数，因此$x＞0$，且$10 - x＞0$，解得$0 ＜ x ＜ 10$。
综上可得$y$与$x$的关系式。
【答案】
$y=x(10-x)(0＜x＜10)$
【知识点】
1. 矩形周长与面积计算
2. 函数关系式列写
3. 自变量取值范围确定
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用矩形的周长、面积公式建立变量关系，解题时容易遗漏自变量的取值范围，需注意结合实际问题中边长的正性判断取值范围。
【难度系数】
0.85
2. 把一根长 30 cm 的铁丝分为两部分,每一部分均弯曲成一个正三角形,它们的面积和的最小值是
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
cm².答案
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照“设未知数→表示两个正三角形的边长→用面积公式写出面积和的表达式→转化为二次函数求最值”的思路解题。首先设其中一个正三角形的边长为$x$，根据铁丝总长表示出另一个正三角形的边长，再结合正三角形面积公式得到面积和关于$x$的二次函数，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意边长必须为正数，要确定自变量的取值范围。
【解析】
设其中一个正三角形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则它的周长为$ 3x \, \mathrm{cm} $，
剩余铁丝长度为$ 30 - 3x \, \mathrm{cm} $，因此另一个正三角形的边长为$ \frac{30 - 3x}{3} = (10 - x) \, \mathrm{cm} $。
由正三角形面积公式$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $（$ a $为正三角形边长），可得两个正三角形的面积和：
$\begin{aligned}S&=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(10 - x)^2\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}[x^2 + (100 - 20x + x^2)]\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}(2x^2 - 20x + 100)\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}(x^2 - 10x + 50)\end{aligned}$
对二次项配方得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{2}[(x - 5)^2 + 25]$
其中自变量$ x $的取值范围是$ 0 ＜ x ＜ 10 $，
由于二次项系数$ \frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0 $，因此该二次函数开口向上，当$ x = 5 $时，$ S $取得最小值：
$S_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{2} × 25 = \frac{25\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 正三角形面积计算
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的实际应用
【点评】
这道题是二次函数解决几何最值问题的典型习题，解题的核心是将实际几何问题转化为二次函数模型，通过配方或顶点公式求最值，解题过程中要注意验证自变量的取值范围符合实际意义。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按照“设未知数→表示两个正三角形的边长→用面积公式写出面积和的表达式→转化为二次函数求最值”的思路解题。首先设其中一个正三角形的边长为$x$，根据铁丝总长表示出另一个正三角形的边长，再结合正三角形面积公式得到面积和关于$x$的二次函数，最后利用二次函数的性质求最小值即可，注意边长必须为正数，要确定自变量的取值范围。
【解析】
设其中一个正三角形的边长为$ x \, \mathrm{cm} $，则它的周长为$ 3x \, \mathrm{cm} $，
剩余铁丝长度为$ 30 - 3x \, \mathrm{cm} $，因此另一个正三角形的边长为$ \frac{30 - 3x}{3} = (10 - x) \, \mathrm{cm} $。
由正三角形面积公式$ S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $（$ a $为正三角形边长），可得两个正三角形的面积和：
$\begin{aligned}S&=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}(10 - x)^2\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}[x^2 + (100 - 20x + x^2)]\\&=\frac{\sqrt{3}}{4}(2x^2 - 20x + 100)\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}(x^2 - 10x + 50)\end{aligned}$
对二次项配方得：
$S=\frac{\sqrt{3}}{2}[(x - 5)^2 + 25]$
其中自变量$ x $的取值范围是$ 0 ＜ x ＜ 10 $，
由于二次项系数$ \frac{\sqrt{3}}{2} ＞ 0 $，因此该二次函数开口向上，当$ x = 5 $时，$ S $取得最小值：
$S_{\mathrm{min}} = \frac{\sqrt{3}}{2} × 25 = \frac{25\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\frac{25\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 正三角形面积计算
2. 二次函数的最值
3. 二次函数的实际应用
【点评】
这道题是二次函数解决几何最值问题的典型习题，解题的核心是将实际几何问题转化为二次函数模型，通过配方或顶点公式求最值，解题过程中要注意验证自变量的取值范围符合实际意义。
【难度系数】
0.6
3. 某养鸡场要用长 100 m 的篱笆搭 4 间鸡舍，如图，其中一面靠墙(足够长).若设另一面篱笆的长为 x m，则整个鸡舍的面积 S(单位:$\mathrm{m}^2$)与 x(单位:m)之间的函数关系式是
$S=-5x^2+100x\ (0＜x＜20)$
，鸡舍的最大面积为500
$\mathrm{m}^2$.答案
$S=-5x^2+100x\ (0＜x＜20)$，500
解析
【分析】
解题时首先观察图形确定篱笆的组成：垂直于墙的篱笆共有5段，每段长为x m，先根据篱笆总长求出平行于墙的篱笆长度，再结合矩形面积公式即可得到S与x的函数关系式，同时要根据边长为正的实际要求确定x的取值范围；再利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入顶点坐标公式即可求出最大面积。
【解析】
1. 求函数关系式：
由图可知，垂直于墙的篱笆共5段，每段长度为x m，因此垂直方向篱笆总长度为5x m。
已知篱笆总长为100 m，因此平行于墙的篱笆长度为$(100 - 5x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，总面积$S = x · (100 - 5x)$，整理得$S = -5x^2 + 100x$。
结合实际意义，边长需为正，因此$\begin{cases}x＞0 \\ 100-5x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜20$。
2. 求最大面积：
二次函数$S = -5x^2 + 100x$中，$a=-5＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2×(-5)} = 10$，符合$0＜x＜20$的取值范围。
将$x=10$代入函数得：$S = -5×10^2 + 100×10 = 500\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
$S=-5x^2+100x\ (0＜x＜20)$，500
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确分析篱笆的构成，正确列出函数解析式，同时注意自变量的取值要符合实际情况，再利用二次函数的性质求解最值，能较好地考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形确定篱笆的组成：垂直于墙的篱笆共有5段，每段长为x m，先根据篱笆总长求出平行于墙的篱笆长度，再结合矩形面积公式即可得到S与x的函数关系式，同时要根据边长为正的实际要求确定x的取值范围；再利用二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，代入顶点坐标公式即可求出最大面积。
【解析】
1. 求函数关系式：
由图可知，垂直于墙的篱笆共5段，每段长度为x m，因此垂直方向篱笆总长度为5x m。
已知篱笆总长为100 m，因此平行于墙的篱笆长度为$(100 - 5x)\ \mathrm{m}$。
根据矩形面积公式，总面积$S = x · (100 - 5x)$，整理得$S = -5x^2 + 100x$。
结合实际意义，边长需为正，因此$\begin{cases}x＞0 \\ 100-5x＞0 \end{cases}$，解得$0＜x＜20$。
2. 求最大面积：
二次函数$S = -5x^2 + 100x$中，$a=-5＜0$，函数图象开口向下，在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2×(-5)} = 10$，符合$0＜x＜20$的取值范围。
将$x=10$代入函数得：$S = -5×10^2 + 100×10 = 500\ (\mathrm{m}^2)$。
【答案】
$S=-5x^2+100x\ (0＜x＜20)$，500
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用，解题的关键是准确分析篱笆的构成，正确列出函数解析式，同时注意自变量的取值要符合实际情况，再利用二次函数的性质求解最值，能较好地考查学生的建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{mm}$,$BC=24\ \mathrm{mm}$,动点 $P$ 从点 $A$ 开始沿边 $AB$ 向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{mm/s}$ 的速度移动(不与点 $B$ 重合),动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $BC$ 向点 $C$ 以 $4\ \mathrm{mm/s}$ 的速度移动(不与点 $C$ 重合).如果动点 $P,Q$ 分别从点 $A,B$ 同时出发,那么经过
3
s,四边形 $APQC$ 的面积最小.答案
3
解析
【分析】
要求四边形APQC的最小面积，直接计算该四边形面积较复杂，可利用“整体减部分”的思路：四边形APQC的面积等于Rt△ABC的面积减去Rt△PBQ的面积。因为△ABC的面积是固定值，因此要使四边形APQC面积最小，只需使△PBQ的面积最大即可。首先设运动时间为t s，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再写出△PBQ的面积表达式，转化为二次函数求最值问题，结合t的取值范围即可求出对应的时间。
【解析】
解：设经过t s时，四边形APQC的面积为S $\mathrm{mm}^2$，由题意可知$0＜t＜6$（P不与B重合，Q不与C重合）。
首先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144$
由运动速度可得：$AP=2t$，$BQ=4t$，因此$PB = AB - AP = 12 - 2t$
Rt△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (12 - 2t) × 4t = -4t^2 + 24t$
因此四边形APQC的面积：
$S = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} = 144 - (-4t^2 + 24t) = 4t^2 - 24t + 144$
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$t = -\frac{b}{2a} = \frac{24}{2 × 4} = 3$，且$t=3$在$0＜t＜6$的取值范围内，因此当$t=3$时，S取得最小值。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值；动点面积计算；直角三角形面积公式
【点评】
本题属于动点结合二次函数的实际应用问题，解题的核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，建立二次函数模型后利用二次函数的对称轴求解最值，同时要注意结合实际运动情况确定自变量的取值范围，验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
要求四边形APQC的最小面积，直接计算该四边形面积较复杂，可利用“整体减部分”的思路：四边形APQC的面积等于Rt△ABC的面积减去Rt△PBQ的面积。因为△ABC的面积是固定值，因此要使四边形APQC面积最小，只需使△PBQ的面积最大即可。首先设运动时间为t s，用含t的代数式表示出PB、BQ的长度，再写出△PBQ的面积表达式，转化为二次函数求最值问题，结合t的取值范围即可求出对应的时间。
【解析】
解：设经过t s时，四边形APQC的面积为S $\mathrm{mm}^2$，由题意可知$0＜t＜6$（P不与B重合，Q不与C重合）。
首先计算Rt△ABC的面积：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 12 × 24 = 144$
由运动速度可得：$AP=2t$，$BQ=4t$，因此$PB = AB - AP = 12 - 2t$
Rt△PBQ的面积为：
$S_{△ PBQ} = \frac{1}{2} × PB × BQ = \frac{1}{2} × (12 - 2t) × 4t = -4t^2 + 24t$
因此四边形APQC的面积：
$S = S_{△ ABC} - S_{△ PBQ} = 144 - (-4t^2 + 24t) = 4t^2 - 24t + 144$
该函数是开口向上的二次函数，对称轴为$t = -\frac{b}{2a} = \frac{24}{2 × 4} = 3$，且$t=3$在$0＜t＜6$的取值范围内，因此当$t=3$时，S取得最小值。
【答案】
3
【知识点】
二次函数的最值；动点面积计算；直角三角形面积公式
【点评】
本题属于动点结合二次函数的实际应用问题，解题的核心是将不规则图形的面积转化为规则图形面积的差，建立二次函数模型后利用二次函数的对称轴求解最值，同时要注意结合实际运动情况确定自变量的取值范围，验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
