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8. 如图，二次函数$y=(x+2)^2+m$的图象与$y$轴交于点$C$，点$B$在抛物线上，且与点$C$关于抛物线的对称轴对称. 已知一次函数$y=kx+b$的图象经过该二次函数图象上的点$A(-1,0)$及点$B$.
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足$(x+2)^2+m≥ kx+b$的$x$的取值范围.
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足$(x+2)^2+m≥ kx+b$的$x$的取值范围.
答案
8. （1）$\because$ 抛物线过点$A(-1,0)$，$\therefore (-1+2)^2+m=0$，解得$m=-1$。$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=(x+2)^2-1=x^2+4x+3$，$\therefore C(0,3)$，对称轴为直线$x=-2$，$\therefore B(-4,3)$。设一次函数的解析式为$y=kx+b$，$\because$ 点$A,B$在直线上，$\therefore \begin{cases}-4k+b=3,\\-k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-1,\end{cases}$ $\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-1$。
（2）由图象，得当$x≤-4$或$x≥-1$时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，此时$(x+2)^2+m≥kx+b$，$\therefore$ 该不等式中的$x$的取值范围是$x≤-4$或$x≥-1$。
（2）由图象，得当$x≤-4$或$x≥-1$时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，此时$(x+2)^2+m≥kx+b$，$\therefore$ 该不等式中的$x$的取值范围是$x≤-4$或$x≥-1$。
解析
【分析】
（1）求解二次函数解析式：已知二次函数$y=(x+2)^2+m$过点$A(-1,0)$，将A点坐标代入解析式即可求出m的值，得到二次函数解析式；接下来求C点坐标：令二次函数中x=0，即可得到y轴交点C的坐标；再根据抛物线对称轴为直线$x=-2$，点B和C关于对称轴对称，可求出B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到一次函数的解析式。
（2）不等式$(x+2)^2+m≥kx+b$的几何意义是二次函数图象位于一次函数图象上方（含交点）的部分，结合两个函数的交点为A、B，观察图象即可直接写出x的取值范围。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数$y=(x+2)^2+m$的图象过点$A(-1,0)$，
$\therefore$ 将$A(-1,0)$代入得：$(-1+2)^2+m=0$，解得$m=-1$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=(x+2)^2-1=x^2+4x+3$；
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$，
$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-2$，点B与C关于对称轴对称，
$\therefore$ B点横坐标为$-2×2 -0=-4$，纵坐标与C相同为3，即$B(-4,3)$；
将$A(-1,0)$、$B(-4,3)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-4k+b=3\\-k+b=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-1$。
（2）不等式$(x+2)^2+m≥kx+b$表示二次函数图象在一次函数图象上方（含交点）的部分，由图象可知两个函数交点为$B(-4,3)$和$A(-1,0)$，因此当$x≤-4$或$x≥-1$时，满足$(x+2)^2+m≥kx+b$。
【答案】
（1）二次函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2+4x+3}$（或$\boldsymbol{y=(x+2)^2-1}$），一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
（2）$\boldsymbol{x≤-4}$或$\boldsymbol{x≥-1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了利用待定系数法求函数解析式的基本方法，又考查了数形结合思想在函数不等式中的应用，解题的关键是准确求出各点坐标，结合图象分析函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
（1）求解二次函数解析式：已知二次函数$y=(x+2)^2+m$过点$A(-1,0)$，将A点坐标代入解析式即可求出m的值，得到二次函数解析式；接下来求C点坐标：令二次函数中x=0，即可得到y轴交点C的坐标；再根据抛物线对称轴为直线$x=-2$，点B和C关于对称轴对称，可求出B点坐标；最后将A、B两点坐标代入一次函数$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到一次函数的解析式。
（2）不等式$(x+2)^2+m≥kx+b$的几何意义是二次函数图象位于一次函数图象上方（含交点）的部分，结合两个函数的交点为A、B，观察图象即可直接写出x的取值范围。
【解析】
（1）$\because$ 二次函数$y=(x+2)^2+m$的图象过点$A(-1,0)$，
$\therefore$ 将$A(-1,0)$代入得：$(-1+2)^2+m=0$，解得$m=-1$，
$\therefore$ 二次函数的解析式为$y=(x+2)^2-1=x^2+4x+3$；
令$x=0$，得$y=3$，$\therefore C(0,3)$，
$\because$ 抛物线对称轴为直线$x=-2$，点B与C关于对称轴对称，
$\therefore$ B点横坐标为$-2×2 -0=-4$，纵坐标与C相同为3，即$B(-4,3)$；
将$A(-1,0)$、$B(-4,3)$代入一次函数$y=kx+b$，得：
$\begin{cases}-4k+b=3\\-k+b=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}k=-1\\b=-1\end{cases}$，
$\therefore$ 一次函数的解析式为$y=-x-1$。
（2）不等式$(x+2)^2+m≥kx+b$表示二次函数图象在一次函数图象上方（含交点）的部分，由图象可知两个函数交点为$B(-4,3)$和$A(-1,0)$，因此当$x≤-4$或$x≥-1$时，满足$(x+2)^2+m≥kx+b$。
【答案】
（1）二次函数解析式为$\boldsymbol{y=x^2+4x+3}$（或$\boldsymbol{y=(x+2)^2-1}$），一次函数解析式为$\boldsymbol{y=-x-1}$；
（2）$\boldsymbol{x≤-4}$或$\boldsymbol{x≥-1}$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，既考查了利用待定系数法求函数解析式的基本方法，又考查了数形结合思想在函数不等式中的应用，解题的关键是准确求出各点坐标，结合图象分析函数值的大小关系。
【难度系数】
0.7
9. 一次函数 $y=kx+4$ 与二次函数 $y=ax^2+c$ 的图象的一个交点坐标为 $(1,2)$，另一个交点是该二次函数图象的顶点.
(1) 求 $k,a,c$ 的值；
(2) 过点 $A(0,m)(0＜m＜4)$ 且垂直于 $y$ 轴的直线与二次函数 $y=ax^2+c$ 的图象交于 $B,C$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，记 $W=OA^2+BC^2$，求 $W$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求 $W$ 的最小值.
(1) 求 $k,a,c$ 的值；
(2) 过点 $A(0,m)(0＜m＜4)$ 且垂直于 $y$ 轴的直线与二次函数 $y=ax^2+c$ 的图象交于 $B,C$ 两点，点 $O$ 为坐标原点，记 $W=OA^2+BC^2$，求 $W$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求 $W$ 的最小值.
答案
9. （1）$k=-2,a=-2,c=4$
（2）$W=OA^2+BC^2=m^2-2m+8=(m-1)^2+7(0＜m＜4)$。当$m=1$时，$W$有最小值，最小值为7。
（2）$W=OA^2+BC^2=m^2-2m+8=(m-1)^2+7(0＜m＜4)$。当$m=1$时，$W$有最小值，最小值为7。
解析
【分析】
(1) 首先，已知交点$(1,2)$在一次函数图象上，代入一次函数解析式即可求出$k$值；其次二次函数$y=ax^2+c$的顶点在$y$轴上，坐标为$(0,c)$，且该顶点也在一次函数图象上，代入一次函数可求出$c$值；最后将交点$(1,2)$代入二次函数解析式，就能求出$a$值。
(2) 先确定过点$A$且垂直于$y$轴的直线解析式为$y=m$，将其与二次函数解析式联立，求出$B、C$两点的横坐标，进而得到$BC$的长度表达式；再根据$OA$的长度为$m$，分别写出$OA^2$和$BC^2$的表达式，相加得到$W$关于$m$的函数解析式，最后用配方法将解析式化为顶点式，结合$m$的取值范围求出$W$的最小值。
【解析】
(1) 求$k,a,c$的值：
① 将交点$(1,2)$代入一次函数$y=kx+4$，得：
$2=k×1+4$
解得$k=-2$，因此一次函数解析式为$y=-2x+4$。
② 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，且顶点在一次函数$y=-2x+4$的图象上，将$x=0$代入一次函数得$y=4$，因此$c=4$，二次函数解析式可写为$y=ax^2+4$。
③ 将交点$(1,2)$代入二次函数$y=ax^2+4$，得：
$2=a×1^2+4$
解得$a=-2$。
(2) 求$W$关于$m$的函数解析式及最小值：
① 点$A$坐标为$(0,m)$，因此$OA=m$，$OA^2=m^2$。
② 过点$A$且垂直于$y$轴的直线解析式为$y=m$，将$y=m$代入二次函数$y=-2x^2+4$，得：
$m=-2x^2+4$
整理得$x^2=\frac{4-m}{2}$，解得$x_1=\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，$x_2=-\sqrt{\frac{4-m}{2}}$。
$B、C$两点纵坐标相同，因此$BC=|x_1-x_2|=2\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，则：
$BC^2=(2\sqrt{\frac{4-m}{2}})^2=4×\frac{4-m}{2}=8-2m$
③ 由$W=OA^2+BC^2$，代入得：
$W=m^2+8-2m=m^2-2m+8$
配方得$W=(m-1)^2+7$，其中$0＜m＜4$。
该二次函数开口向上，顶点$(1,7)$在取值范围内，因此当$m=1$时，$W$取得最小值$7$。
【答案】
(1) $k=-2,a=-2,c=4$；
(2) $W$关于$m$的函数解析式为$W=(m-1)^2+7(0＜m＜4)$，$W$的最小值为$7$。
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标特征、二次函数顶点的性质、函数交点的求解方法以及配方法求二次函数最值，解题的关键是熟练掌握函数基本性质，正确表示出线段$BC$的长度。
【难度系数】
0.65
(1) 首先，已知交点$(1,2)$在一次函数图象上，代入一次函数解析式即可求出$k$值；其次二次函数$y=ax^2+c$的顶点在$y$轴上，坐标为$(0,c)$，且该顶点也在一次函数图象上，代入一次函数可求出$c$值；最后将交点$(1,2)$代入二次函数解析式，就能求出$a$值。
(2) 先确定过点$A$且垂直于$y$轴的直线解析式为$y=m$，将其与二次函数解析式联立，求出$B、C$两点的横坐标，进而得到$BC$的长度表达式；再根据$OA$的长度为$m$，分别写出$OA^2$和$BC^2$的表达式，相加得到$W$关于$m$的函数解析式，最后用配方法将解析式化为顶点式，结合$m$的取值范围求出$W$的最小值。
【解析】
(1) 求$k,a,c$的值：
① 将交点$(1,2)$代入一次函数$y=kx+4$，得：
$2=k×1+4$
解得$k=-2$，因此一次函数解析式为$y=-2x+4$。
② 二次函数$y=ax^2+c$的顶点坐标为$(0,c)$，且顶点在一次函数$y=-2x+4$的图象上，将$x=0$代入一次函数得$y=4$，因此$c=4$，二次函数解析式可写为$y=ax^2+4$。
③ 将交点$(1,2)$代入二次函数$y=ax^2+4$，得：
$2=a×1^2+4$
解得$a=-2$。
(2) 求$W$关于$m$的函数解析式及最小值：
① 点$A$坐标为$(0,m)$，因此$OA=m$，$OA^2=m^2$。
② 过点$A$且垂直于$y$轴的直线解析式为$y=m$，将$y=m$代入二次函数$y=-2x^2+4$，得：
$m=-2x^2+4$
整理得$x^2=\frac{4-m}{2}$，解得$x_1=\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，$x_2=-\sqrt{\frac{4-m}{2}}$。
$B、C$两点纵坐标相同，因此$BC=|x_1-x_2|=2\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，则：
$BC^2=(2\sqrt{\frac{4-m}{2}})^2=4×\frac{4-m}{2}=8-2m$
③ 由$W=OA^2+BC^2$，代入得：
$W=m^2+8-2m=m^2-2m+8$
配方得$W=(m-1)^2+7$，其中$0＜m＜4$。
该二次函数开口向上，顶点$(1,7)$在取值范围内，因此当$m=1$时，$W$取得最小值$7$。
【答案】
(1) $k=-2,a=-2,c=4$；
(2) $W$关于$m$的函数解析式为$W=(m-1)^2+7(0＜m＜4)$，$W$的最小值为$7$。
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；二次函数的最值
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合基础题，考查了函数图象上点的坐标特征、二次函数顶点的性质、函数交点的求解方法以及配方法求二次函数最值，解题的关键是熟练掌握函数基本性质，正确表示出线段$BC$的长度。
【难度系数】
0.65
