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3. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象，下列结论：① 二次三项式$ax^2+bx+c$的最大值是4；② $4a+2b+c＜0$；③ 一元二次方程$ax^2+bx+c=1$的两根之和为$-1$；④ 使$y≤3$成立的$x$的取值范围是$x≥0$。其中正确结论的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3. B
解析
【分析】
首先从图像提取关键信息：二次函数开口向下，与x轴交于(-3,0)、(1,0)，与y轴交于(0,3)，先求出函数解析式或利用二次函数性质，逐一验证四个结论：①通过顶点纵坐标判断最大值；②4a+2b+c对应x=2时的函数值，结合增减性判断符号；③利用韦达定理或对称轴性质求方程两根之和；④结合图像找y≤3对应的x取值范围。
【解析】
先求二次函数解析式：
已知抛物线与x轴交点为(-3,0)、(1,0)，设交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，代入点(0,3)得：$3=a×3×(-1)$，解得$a=-1$，整理得$y=-(x+1)^2+4$，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
逐一判断结论：
① 抛物线开口向下，顶点纵坐标为4，故二次三项式$ax^2+bx+c$的最大值是4，①正确；
② $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，抛物线在$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小，$x=1$时$y=0$，因此$x=2$时$y＜0$，即$4a+2b+c＜0$，②正确；
③ 方程$ax^2+bx+c=1$即$-(x+1)^2+4=1$，整理得$x^2+2x-2=0$，由韦达定理，两根之和为$-2$，不是$-1$，③错误；
④ 令$y=3$，解得$x=0$或$x=-2$，结合图像可知$y≤3$时$x$的取值范围是$x≤-2$或$x≥0$，④错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的最值
【点评】
本题需要结合二次函数图像分析性质，熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、最值，以及二次函数与方程、不等式的对应关系是解题的核心，数形结合的思想能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
首先从图像提取关键信息：二次函数开口向下，与x轴交于(-3,0)、(1,0)，与y轴交于(0,3)，先求出函数解析式或利用二次函数性质，逐一验证四个结论：①通过顶点纵坐标判断最大值；②4a+2b+c对应x=2时的函数值，结合增减性判断符号；③利用韦达定理或对称轴性质求方程两根之和；④结合图像找y≤3对应的x取值范围。
【解析】
先求二次函数解析式：
已知抛物线与x轴交点为(-3,0)、(1,0)，设交点式为$y=a(x+3)(x-1)$，代入点(0,3)得：$3=a×3×(-1)$，解得$a=-1$，整理得$y=-(x+1)^2+4$，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,4)$。
逐一判断结论：
① 抛物线开口向下，顶点纵坐标为4，故二次三项式$ax^2+bx+c$的最大值是4，①正确；
② $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，抛物线在$x＞-1$时$y$随$x$增大而减小，$x=1$时$y=0$，因此$x=2$时$y＜0$，即$4a+2b+c＜0$，②正确；
③ 方程$ax^2+bx+c=1$即$-(x+1)^2+4=1$，整理得$x^2+2x-2=0$，由韦达定理，两根之和为$-2$，不是$-1$，③错误；
④ 令$y=3$，解得$x=0$或$x=-2$，结合图像可知$y≤3$时$x$的取值范围是$x≤-2$或$x≥0$，④错误。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数与一元二次方程；二次函数的最值
【点评】
本题需要结合二次函数图像分析性质，熟练掌握二次函数的对称轴、增减性、最值，以及二次函数与方程、不等式的对应关系是解题的核心，数形结合的思想能有效降低解题难度。
【难度系数】
0.7
4. 如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交于点$A(-2,0),B(1,0)$.直线$x=-0.5$与此抛物线交于点$C$,与$x$轴交于点$M$,在直线上取点$D$,使$MD=MC$,连接$AC,BC,AD,BD$.某同学根据图象写出下列结论:①$a-b=0$;②当$-2＜x＜1$时,$y＞0$;③四边形$ACBD$是菱形;④$9a-3b+c＞0$.其中正确的是 (
A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
D
)A.②③④
B.①②④
C.①③④
D.①②③
答案
4. D
解析
【分析】
解题时先从二次函数的基本性质入手：首先利用抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，结合对称轴公式判断结论①；再根据抛物线开口方向和交点坐标，判断x在两根之间时函数值的符号，验证结论②；然后根据对称轴的性质、MD=MC的条件，结合菱形的判定定理判断结论③；最后将9a-3b+c转化为x=-3时的函数值，结合函数图象判断其符号验证结论④即可。
【解析】
1. 验证结论①：已知抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(1,0)$，因此抛物线的对称轴为$x=\frac{-2+1}{2}=-0.5$。结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=-0.5$，化简得$b=a$，即$a-b=0$，故①正确。
2. 验证结论②：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴交点为$A(-2,0)$、$B(1,0)$，因此当x在两个交点之间，即$-2＜x＜1$时，函数图象在x轴上方，$y＞0$，故②正确。
3. 验证结论③：直线$x=-0.5$是抛物线的对称轴，因此对称轴垂直平分线段$AB$，即$AM=BM$，且$AB⊥CD$；又已知$MD=MC$，即四边形$ACBD$的对角线互相垂直且平分，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形$ACBD$是菱形，故③正确。
4. 验证结论④：$9a-3b+c$是$x=-3$时的二次函数值，由图象可知当$x＜-2$时，抛物线在x轴下方，函数值小于0，而$-3＜-2$，因此$9a-3b+c＜0$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，菱形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的性质与菱形的判定，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性、函数值与自变量的对应关系，结合几何判定定理分析即可。
【难度系数】
0.7
解题时先从二次函数的基本性质入手：首先利用抛物线与x轴的两个交点坐标求出对称轴，结合对称轴公式判断结论①；再根据抛物线开口方向和交点坐标，判断x在两根之间时函数值的符号，验证结论②；然后根据对称轴的性质、MD=MC的条件，结合菱形的判定定理判断结论③；最后将9a-3b+c转化为x=-3时的函数值，结合函数图象判断其符号验证结论④即可。
【解析】
1. 验证结论①：已知抛物线与x轴交于$A(-2,0)$、$B(1,0)$，因此抛物线的对称轴为$x=\frac{-2+1}{2}=-0.5$。结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=-0.5$，化简得$b=a$，即$a-b=0$，故①正确。
2. 验证结论②：由图象可知抛物线开口向下，且与x轴交点为$A(-2,0)$、$B(1,0)$，因此当x在两个交点之间，即$-2＜x＜1$时，函数图象在x轴上方，$y＞0$，故②正确。
3. 验证结论③：直线$x=-0.5$是抛物线的对称轴，因此对称轴垂直平分线段$AB$，即$AM=BM$，且$AB⊥CD$；又已知$MD=MC$，即四边形$ACBD$的对角线互相垂直且平分，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定四边形$ACBD$是菱形，故③正确。
4. 验证结论④：$9a-3b+c$是$x=-3$时的二次函数值，由图象可知当$x＜-2$时，抛物线在x轴下方，函数值小于0，而$-3＜-2$，因此$9a-3b+c＜0$，故④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，菱形的判定
【点评】
本题综合考查二次函数的性质与菱形的判定，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性、函数值与自变量的对应关系，结合几何判定定理分析即可。
【难度系数】
0.7
5. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象，下列结论：①$b＜0,c＞0$；②$a+b+c＜0$；③ 方程的两根之和大于0；④$a-b+c＜0$.其中正确结论的个数是（
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
5. B
解析
【分析】
我们结合二次函数的图像性质逐一判断4个结论：第一步，根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；第二步，代入x=1，观察对应函数值的正负验证结论②；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和的正负，验证结论③；第四步，代入x=-1，观察对应函数值的正负验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 判断结论①：
二次函数图像开口向下，$\therefore a＜0$；图像与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$，因此结论①中“$b＜0$”错误，故①错误。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，对应的函数点在x轴下方，即$y＜0$，代入解析式得$y=a+b+c＜0$，故②正确。
3. 判断结论③：
设方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1、x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，结合$a＜0、b＞0$，可得$-\frac{b}{a}＞0$，即两根之和大于0，故③正确。
4. 判断结论④：
当$x=-1$时，对应的函数点在x轴下方，即$y＜0$，代入解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＜0$，故④正确。
综上，②③④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；韦达定理；二次函数特殊点求值
【点评】
本题是二次函数的典型题型，需要结合图象推导系数符号、特殊点函数值，以及二次函数和一元二次方程的关联，综合性较强，能很好地考查对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
我们结合二次函数的图像性质逐一判断4个结论：第一步，根据开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断a、b、c的符号，验证结论①；第二步，代入x=1，观察对应函数值的正负验证结论②；第三步，利用一元二次方程根与系数的关系计算两根之和的正负，验证结论③；第四步，代入x=-1，观察对应函数值的正负验证结论④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
1. 判断结论①：
二次函数图像开口向下，$\therefore a＜0$；图像与y轴交于正半轴，$\therefore c＞0$；
对称轴在y轴右侧，即$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＜0$，可得$-b＜0$，即$b＞0$，因此结论①中“$b＜0$”错误，故①错误。
2. 判断结论②：
当$x=1$时，对应的函数点在x轴下方，即$y＜0$，代入解析式得$y=a+b+c＜0$，故②正确。
3. 判断结论③：
设方程$ax^2+bx+c=0$的两根为$x_1、x_2$，根据韦达定理，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，结合$a＜0、b＞0$，可得$-\frac{b}{a}＞0$，即两根之和大于0，故③正确。
4. 判断结论④：
当$x=-1$时，对应的函数点在x轴下方，即$y＜0$，代入解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＜0$，故④正确。
综上，②③④共3个结论正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象性质；韦达定理；二次函数特殊点求值
【点评】
本题是二次函数的典型题型，需要结合图象推导系数符号、特殊点函数值，以及二次函数和一元二次方程的关联，综合性较强，能很好地考查对二次函数相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.65
6. 如图，已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a ≠ 0) $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0) $，与 $ y $ 轴的交点 $ B $ 在 $ (0,-2) $ 和 $ (0,-1) $ 之间（不包括这两个点），对称轴为直线 $ x=1 $。下列结论：① $ abc ＞ 0 $；② $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；③ $ 4ac - b^2 ＜ 16a $；④ $ \frac{1}{3} ＜ a ＜ \frac{2}{3} $；⑤ $ b ＞ c $。其中正确的是 （
A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤
D
）A.①③
B.①③④
C.②④⑤
D.①③④⑤
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先从二次函数图像中提取核心已知条件：①开口向上可得$a＞0$；②对称轴为直线$x=1$可推导$b=-2a＜0$；③与y轴交点在$(0,-2)$和$(0,-1)$之间可得$-2＜c＜-1$；④过点$A(-1,0)$，代入函数可得$a-b+c=0$。再结合二次函数的性质、不等式运算逐一验证每个结论的正误，最终匹配正确选项。
【解析】
1. 验证结论①：
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$
$\because$ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a＜0$
$\because$ 抛物线与y轴交点在y轴负半轴，$\therefore c＜0$
$\therefore abc＞0$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$x=2$对应的函数值为$y=4a+2b+c$，由于对称轴为$x=1$，$x=2$与$x=0$关于对称轴对称，因此$4a+2b+c=c$
$\because c＜0$，$\therefore 4a+2b+c＜0$，结论②错误。
3. 验证结论③：
$\because$ 抛物线与x轴有两个交点，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$
$\because a＞0$，$\therefore 16a＞0$，可得$4ac-b^2＜0＜16a$，结论③正确。
4. 验证结论④：
将点$A(-1,0)$代入函数得$a-b+c=0$，把$b=-2a$代入得$3a+c=0$，即$c=-3a$
$\because -2＜c＜-1$，$\therefore -2＜-3a＜-1$，解不等式得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$，结论④正确。
5. 验证结论⑤：
$\because b=-2a$，$c=-3a$，$a＞0$
$\therefore b-c=-2a-(-3a)=a＞0$，即$b＞c$，结论⑤正确。
综上，①③④⑤正确，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数与系数关系，不等式运算
【点评】
本题重点考查二次函数图像特征和系数的对应关系，需要结合对称轴、交点坐标等条件推导参数的取值范围，对数形结合思想和不等式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先从二次函数图像中提取核心已知条件：①开口向上可得$a＞0$；②对称轴为直线$x=1$可推导$b=-2a＜0$；③与y轴交点在$(0,-2)$和$(0,-1)$之间可得$-2＜c＜-1$；④过点$A(-1,0)$，代入函数可得$a-b+c=0$。再结合二次函数的性质、不等式运算逐一验证每个结论的正误，最终匹配正确选项。
【解析】
1. 验证结论①：
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$
$\because$ 对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=1$，$\therefore b=-2a＜0$
$\because$ 抛物线与y轴交点在y轴负半轴，$\therefore c＜0$
$\therefore abc＞0$，结论①正确。
2. 验证结论②：
$x=2$对应的函数值为$y=4a+2b+c$，由于对称轴为$x=1$，$x=2$与$x=0$关于对称轴对称，因此$4a+2b+c=c$
$\because c＜0$，$\therefore 4a+2b+c＜0$，结论②错误。
3. 验证结论③：
$\because$ 抛物线与x轴有两个交点，$\therefore \Delta=b^2-4ac＞0$，即$4ac-b^2＜0$
$\because a＞0$，$\therefore 16a＞0$，可得$4ac-b^2＜0＜16a$，结论③正确。
4. 验证结论④：
将点$A(-1,0)$代入函数得$a-b+c=0$，把$b=-2a$代入得$3a+c=0$，即$c=-3a$
$\because -2＜c＜-1$，$\therefore -2＜-3a＜-1$，解不等式得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{2}{3}$，结论④正确。
5. 验证结论⑤：
$\because b=-2a$，$c=-3a$，$a＞0$
$\therefore b-c=-2a-(-3a)=a＞0$，即$b＞c$，结论⑤正确。
综上，①③④⑤正确，对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图像性质，二次函数与系数关系，不等式运算
【点评】
本题重点考查二次函数图像特征和系数的对应关系，需要结合对称轴、交点坐标等条件推导参数的取值范围，对数形结合思想和不等式运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7. 如图是抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象，其顶点坐标为$(1,n)$，且与$x$轴的一个交点在点$(3,0)$和$(4,0)$之间，则下列结论：①$a-b+c＞0$；②$3a+b=0$；③$b^2=4a(c-n)$；④一元二次方程$ax^2+bx+c=n-1$有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
7. C
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的对称性，结合对称轴x=1和x轴右侧交点的范围，推出左侧交点的范围，再逐个判断4个结论：①a-b+c是x=-1时的函数值，结合x=-1的位置判断符号；②由对称轴公式推导b与a的关系，验证3a+b是否为0；③利用顶点纵坐标公式变形验证等式是否成立；④结合抛物线的最大值判断对应方程根的个数。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,n)$，根据对称轴公式可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
1. 判断结论①：
抛物线与x轴的一个交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，由对称性可知，另一个交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间，因此$x=-1$时，函数图象在x轴上方，即$x=-1$时，$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：
由$b=-2a$可得$3a+b=3a-2a=a$，已知$a≠0$，因此$3a+b≠0$，故②错误。
3. 判断结论③：
顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4a}$，整理得$4an=4ac-b^2$，移项可得$b^2=4ac-4an=4a(c-n)$，故③正确。
4. 判断结论④：
抛物线开口向下，最大值为$n$，因此$y=n-1＜n$，直线$y=n-1$与抛物线有2个交点，即一元二次方程$ax^2+bx+c=n-1$有两个不相等的实数根，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系、对称性、顶点坐标公式以及二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是熟练掌握二次函数的基本性质，结合图象直观分析问题。
【难度系数】
0.65
解题时先利用二次函数的对称性，结合对称轴x=1和x轴右侧交点的范围，推出左侧交点的范围，再逐个判断4个结论：①a-b+c是x=-1时的函数值，结合x=-1的位置判断符号；②由对称轴公式推导b与a的关系，验证3a+b是否为0；③利用顶点纵坐标公式变形验证等式是否成立；④结合抛物线的最大值判断对应方程根的个数。
【解析】
已知抛物线对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,n)$，根据对称轴公式可得：
$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$。
1. 判断结论①：
抛物线与x轴的一个交点在$(3,0)$和$(4,0)$之间，由对称性可知，另一个交点在$(-2,0)$和$(-1,0)$之间，因此$x=-1$时，函数图象在x轴上方，即$x=-1$时，$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c＞0$，故①正确。
2. 判断结论②：
由$b=-2a$可得$3a+b=3a-2a=a$，已知$a≠0$，因此$3a+b≠0$，故②错误。
3. 判断结论③：
顶点纵坐标$n=\frac{4ac-b^2}{4a}$，整理得$4an=4ac-b^2$，移项可得$b^2=4ac-4an=4a(c-n)$，故③正确。
4. 判断结论④：
抛物线开口向下，最大值为$n$，因此$y=n-1＜n$，直线$y=n-1$与抛物线有2个交点，即一元二次方程$ax^2+bx+c=n-1$有两个不相等的实数根，故④正确。
综上，①③④共3个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系、对称性、顶点坐标公式以及二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是熟练掌握二次函数的基本性质，结合图象直观分析问题。
【难度系数】
0.65
