6. 如图，抛物线$y=x^2+mx+(m-1)$与$x$轴交于点$A(x_1,0),B(x_2,0)$，且$x_1＜x_2$，与$y$轴交于点$C(0,c)(c＜0)$，且满足$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=7$。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上能否找到一点$P$，使$∠ POC=∠ PCO$？若能，请求出点$P$的坐标；若不能，请说明理由。

6. （1）根据题意，得$x_1+x_2=-m$，$x_1·x_2=m-1$。$\because x_1^2+x_2^2+x_1x_2=7$，即$(x_1+x_2)^2 -x_1x_2=7$，$\therefore m^2 -m +1=7$，解得$m_1=3$（舍去），$m_2=-2$，$\therefore y=x^2-2x-3$。
（2）能。点$P$是线段$OC$的垂直平分线与抛物线的交点。$\because C(0,-3)$，$\therefore$ 线段$OC$的中点坐标是$(0,-\frac{3}{2})$。把$y=-\frac{3}{2}$代入抛物线的解析式，得$-\frac{3}{2}=x^2-2x-3$，解得$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$。$\therefore$ 点$P$的坐标是$(\frac{2+\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})$或$(\frac{2-\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})$。

【分析】
（1）求抛物线解析式的核心是求参数m的值。已知抛物线与x轴交点的横坐标为$x_1、x_2$，可先根据一元二次方程根与系数的关系写出$x_1+x_2$和$x_1x_2$关于m的表达式，再将已知等式$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=7$变形为含$(x_1+x_2)$和$x_1x_2$的形式，代入即可得到关于m的方程，解方程后结合$c＜0$的条件舍去不符合要求的m值，即可得到解析式。
（2）判断是否存在点P满足$∠POC=∠PCO$，可根据等腰三角形“等角对等边”的性质，推出$PO=PC$，即点P在线段OC的垂直平分线上。先求出OC垂直平分线的解析式，再与抛物线解析式联立，若有解则存在符合要求的点P，方程的解对应点P的坐标。
【解析】
（1）对于抛物线$y=x^2+mx+(m-1)$，令$y=0$，得一元二次方程$x^2+mx+(m-1)=0$，其两根为$x_1、x_2$，根据根与系数的关系得：
$x_1+x_2=-m$，$x_1·x_2=m-1$
已知$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=7$，将等式变形：
$(x_1+x_2)^2 - x_1x_2=7$
代入$x_1+x_2=-m$、$x_1·x_2=m-1$得：
$m^2 - (m-1)=7$
整理得$m^2 - m - 6=0$，解得$m_1=3$，$m_2=-2$
∵ 抛物线与y轴交点$C(0,c)$满足$c＜0$，令$x=0$得$c=m-1＜0$，即$m＜1$
∴ $m=3$不符合要求，舍去，取$m=-2$
∴ 抛物线的解析式为$y=x^2-2x-3$。
（2）能找到这样的点P，理由如下：
若$∠POC=∠PCO$，则$△ POC$为等腰三角形，$PO=PC$，因此点P在线段OC的垂直平分线上。
由（1）的解析式，令$x=0$得$y=-3$，即$C(0,-3)$。
∴ 线段OC的中点坐标为$(0,-\frac{3}{2})$，OC在y轴上，其垂直平分线为平行于x轴的直线$y=-\frac{3}{2}$。
将$y=-\frac{3}{2}$代入$y=x^2-2x-3$得：
$-\frac{3}{2}=x^2-2x-3$
整理得$2x^2-4x-3=0$，解得$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$。
∴ 点P的坐标为$(\frac{2+\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})$或$(\frac{2-\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$
（2）能，点P的坐标为$\boldsymbol{(\frac{2+\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})}$和$\boldsymbol{(\frac{2-\sqrt{10}}{2},-\frac{3}{2})}$
【知识点】
1. 根与系数的关系
2. 二次函数解析式求解
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，第一问重点考查韦达定理的变形应用，解题时要注意结合题目的限制条件舍去不合题意的参数；第二问的核心是将角相等的条件转化为点在垂直平分线上的几何结论，再通过联立方程求解，掌握代数与几何条件的互相转化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A，C分别位于x轴，y轴的正半轴上，抛物线$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$过B，C两点，D为抛物线的顶点，连接AC，BD，CD.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求此抛物线的顶点D的坐标和四边形ABDC的面积.

7. （1）由已知条件得$C(0,4),B(4,4)$，把$B,C$两点的坐标代入$y=-\frac{1}{2}x^2+bx+c$中，得$\begin{cases}-8+4b+c=4,\\c=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=2,\\c=4.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{2}x^2+2x+4$。
（2）$\because y=-\frac{1}{2}x^2+2x+4=-\frac{1}{2}(x-2)^2+6$，$\therefore$ 抛物线的顶点$D$的坐标为$(2,6)$，$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABC}+S_{△ BCD}=\frac{1}{2}×4×4+\frac{1}{2}×4×2=12$。

【分析】
（1）首先根据正方形OABC的边长为4，确定点C、B的坐标：C在y轴正半轴，横坐标为0，纵坐标等于边长4，即C(0,4)；点B的横、纵坐标都等于边长4，即B(4,4)。再利用待定系数法，将B、C两点坐标代入抛物线的一般式，列出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出b、c的值，得到抛物线解析式。
（2）求顶点坐标时，可将抛物线的一般式通过配方转化为顶点式，直接得到顶点D的坐标；求四边形ABDC的面积时，由于四边形是不规则图形，采用割补法将其拆分为△ABC和△BCD两个规则三角形：△ABC是正方形的一半，底和高均为4；△BCD的底BC长为4，高为顶点D的纵坐标减去B点的纵坐标，分别计算两个三角形的面积再相加，即可得到四边形的面积。
【解析】
（1）
∵正方形OABC的边长为4，
∴$C(0,4)$，$B(4,4)$，
将$C(0,4)$、$B(4,4)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases} c=4 \\ -\dfrac{1}{2}×4^2 +4b +c=4 \end{cases}$
化简得$\begin{cases}c=4 \\ -8+4b+c=4 \end{cases}$
把$c=4$代入第二个方程，解得$b=2$，
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$。
（2）将抛物线解析式配方：
$\begin{aligned}y&=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x)+4\\&=-\dfrac{1}{2}(x^2-4x+4-4)+4\\&=-\dfrac{1}{2}(x-2)^2 +6\end{aligned}$
∴抛物线的顶点D的坐标为$(2,6)$。
计算四边形ABDC的面积：
$S_{四边形ABDC}=S_{△ ABC} + S_{△ BCD}$
其中$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×4×4=8$，
BC的长度为4，△BCD中BC边上的高为$6-4=2$，
∴$S_{△ BCD}=\dfrac{1}{2}×4×2=4$，
∴$S_{四边形ABDC}=8+4=12$。
【答案】
（1）$y=-\dfrac{1}{2}x^2+2x+4$
（2）顶点D的坐标为$(2,6)$，四边形ABDC的面积为$12$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的顶点式；割补法求面积
【点评】
本题将正方形性质与二次函数知识相结合，重点考查了待定系数法求函数解析式、二次函数顶点坐标的求解以及不规则图形面积的计算，解题的关键是合理拆分不规则图形为规则图形，熟练掌握二次函数的基本性质。
【难度系数】
0.7

1. 已知函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的图象如图所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c-4=0$的根的情况是 （）

A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等的实数根
D.无实数根

1. A

【分析】
要判断方程$ax^2+bx+c-4=0$的根的情况，首先将方程变形为$ax^2+bx+c=4$，可知方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=4$交点的横坐标。接下来结合图象判断交点的个数和位置：首先观察到抛物线顶点纵坐标大于4，因此直线$y=4$与抛物线有2个不同交点，说明方程有两个不相等的实数根；再看交点的位置，均位于x轴正半轴，说明两个根都是正数，即可得出结论。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-4=0$整理可得$ax^2+bx+c=4$，因此该方程的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=4$交点的横坐标。
观察图象可知：
1. 直线$y=4$与抛物线有2个不同的交点，因此方程有两个不相等的实数根；
2. 两个交点都在x轴的正半轴，因此两个根均为正实数。
综上，方程有两个不相等的正实数根，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系，二次函数的图象，一元二次方程根的判断
【点评】
本题解题的核心是将方程根的问题转化为二次函数图象与水平线的交点问题，充分体现了数形结合思想的应用，能有效考查学生对二次函数和一元二次方程关系的理解。
【难度系数】
0.7

2. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，对称轴为直线$x=1$，给出下列结论：
① $abc＞0$；② $b^2＞4ac$；③ $4a+2b+c＞0$；④ $3a+c＞0$。其中正确的结论有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2. C

【分析】
解题时先从二次函数图像提取关键信息，再逐个验证结论：第一步根据开口方向、对称轴公式、与y轴交点位置判断a、b、c的符号；第二步根据图像与x轴的交点个数判断判别式的符号；第三步结合对称轴的对称性，代入特殊x值（x=2、x=-1）判断对应函数值的符号，最终统计正确结论的数量。
【解析】
1. 判断结论①：
抛物线开口向上，因此$a＞0$；
对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，结合$a＞0$可得$b＜0$；
抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$；
则$abc=正×负×负=正$，即$abc＞0$，结论①正确。
2. 判断结论②：
抛物线与x轴有2个不同交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，结论②正确。
3. 判断结论③：
$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，由对称轴$x=1$可知，$x=2$与$x=0$关于$x=1$对称，结合图像可知抛物线右侧交点横坐标大于2，因此$x=2$时点在x轴下方，即$y=4a+2b+c＜0$，结论③错误。
4. 判断结论④：
将$b=-2a$代入$x=-1$的函数值：$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c=a-(-2a)+c=3a+c$，由图像可知$x=-1$时点在x轴上方，$y＞0$，因此$3a+c＞0$，结论④正确。
综上，正确的结论为①②④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像与性质，二次函数判别式，特殊点函数值计算
【点评】
本题考查二次函数图像与系数的关系，解题核心是熟练掌握二次函数开口、对称轴、交点的对应性质，学会利用对称轴转换对称点的函数值，结合图像判断符号即可快速解题。
【难度系数】
0.65