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1. 在右框中画出函数$y=x^2 - x - 2$的图象，根据图象回答下列问题.
（1）图象与$x$轴交点的坐标是
（2）当$x$取何值时，$y=0$？这里$x$的取值与方程$x^2 - x - 2=0$有什么关系？
从“形”的方面看，函数$y=x^2 - x - 2$的图象与$x$轴交点的横坐标，即为方程$x^2 - x - 2=0$的解；从“数”的方面看，当二次函数$y=x^2 - x - 2$的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程
（1）图象与$x$轴交点的坐标是
$(-1,0),(2,0)$
；（2）当$x$取何值时，$y=0$？这里$x$的取值与方程$x^2 - x - 2=0$有什么关系？
从“形”的方面看，函数$y=x^2 - x - 2$的图象与$x$轴交点的横坐标，即为方程$x^2 - x - 2=0$的解；从“数”的方面看，当二次函数$y=x^2 - x - 2$的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程
$x^2 - x - 2=0$
的解.答案
1. 图略 （1）$(-1,0),(2,0)$ （2）$x^2 - x - 2=0$
解析
【分析】
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：1. 求二次函数图象与x轴的交点坐标，只需令函数式中y=0，解所得的一元二次方程，方程的根就是交点的横坐标，交点纵坐标为0；2. 从数和形两个角度理解二次函数与对应一元二次方程的关系：函数值为0时的自变量取值就是对应一元二次方程的解，也是图象与x轴交点的横坐标，据此即可完成填空。
【解析】
首先画函数$y=x^2 - x - 2$的图象（图略），可先将函数整理为顶点式$y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$，确定顶点坐标、开口方向，再找到与坐标轴的交点描点画图即可。
（1）令$y=0$，得方程$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x+1)(x-2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，因此图象与x轴交点的坐标是$(-1,0)$、$(2,0)$。
（2）由上述计算可知，当$x=-1$或$x=2$时，$y=0$，此时x的取值就是方程$x^2 - x - 2=0$的解。根据二次函数与一元二次方程的对应关系：从数的角度看，当二次函数$y=x^2 - x - 2$的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程$x^2 - x - 2=0$的解，因此横线处填$x^2 - x - 2=0$。
【答案】
（1）$(-1,0),(2,0)$；（2）$x^2 - x - 2=0$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查数形结合思想在二次函数中的基础应用，核心是理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，是二次函数部分的基础题型，掌握对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可结合二次函数与一元二次方程的对应关系思考：1. 求二次函数图象与x轴的交点坐标，只需令函数式中y=0，解所得的一元二次方程，方程的根就是交点的横坐标，交点纵坐标为0；2. 从数和形两个角度理解二次函数与对应一元二次方程的关系：函数值为0时的自变量取值就是对应一元二次方程的解，也是图象与x轴交点的横坐标，据此即可完成填空。
【解析】
首先画函数$y=x^2 - x - 2$的图象（图略），可先将函数整理为顶点式$y=(x-\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}$，确定顶点坐标、开口方向，再找到与坐标轴的交点描点画图即可。
（1）令$y=0$，得方程$x^2 - x - 2=0$，因式分解得$(x+1)(x-2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$，因此图象与x轴交点的坐标是$(-1,0)$、$(2,0)$。
（2）由上述计算可知，当$x=-1$或$x=2$时，$y=0$，此时x的取值就是方程$x^2 - x - 2=0$的解。根据二次函数与一元二次方程的对应关系：从数的角度看，当二次函数$y=x^2 - x - 2$的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程$x^2 - x - 2=0$的解，因此横线处填$x^2 - x - 2=0$。
【答案】
（1）$(-1,0),(2,0)$；（2）$x^2 - x - 2=0$
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程
【点评】
本题侧重考查数形结合思想在二次函数中的基础应用，核心是理解二次函数图象与x轴交点和对应一元二次方程解的对应关系，是二次函数部分的基础题型，掌握对应规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. 观察右图二次函数$y=x^2 -nx -4$的图象回答：
（1）方程$x^2 -nx -4=0$的解是
（2）不等式$x^2 -nx -4＞0$的解集是
（3）不等式$x^2 -nx -4≤0$的解集是
（1）方程$x^2 -nx -4=0$的解是
$x_1=-1,x_2=4$
；（2）不等式$x^2 -nx -4＞0$的解集是
$x＜-1$或$x＞4$
；（3）不等式$x^2 -nx -4≤0$的解集是
$-1≤x≤4$
。答案
2. (1) $x_1=-1,x_2=4$ (2) $x＜-1$或$x＞4$ (3) $-1≤x≤4$
解析
【分析】
解题需运用数形结合思想，核心是明确二次函数图象与x轴交点、函数值符号和对应一元二次方程、不等式的关联：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解；②函数值大于0对应图象在x轴上方的x的取值范围，函数值小于等于0对应图象在x轴下方及交点处的x的取值范围。首先根据已知交点$(4,0)$求出方程的另一个解，再结合图象位置写出两个不等式的解集即可。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=x^2 -nx -4$的图象与x轴交于点$(4,0)$，将$x=4,y=0$代入解析式得：
$4^2 -4n -4=0$
解得$n=3$
∴对应方程为$x^2 -3x -4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=-1,x_2=4$。
（2）不等式$x^2 -nx -4＞0$对应二次函数的函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，观察图象可得x的取值范围是$x＜-1$或$x＞4$。
（3）不等式$x^2 -nx -4≤0$对应二次函数的函数值$y≤0$，即图象在x轴下方及与x轴交点的部分，观察图象可得x的取值范围是$-1≤x≤4$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=4$
(2) $x＜-1$或$x＞4$
(3) $-1≤x≤4$
【知识点】
二次函数与方程的联系；二次函数与不等式的联系；二次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数相关问题中的应用，解题关键是理解二次函数图象位置、与x轴交点坐标和对应方程、不等式的关联，结合图象可快速得到结果，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题需运用数形结合思想，核心是明确二次函数图象与x轴交点、函数值符号和对应一元二次方程、不等式的关联：①二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解；②函数值大于0对应图象在x轴上方的x的取值范围，函数值小于等于0对应图象在x轴下方及交点处的x的取值范围。首先根据已知交点$(4,0)$求出方程的另一个解，再结合图象位置写出两个不等式的解集即可。
【解析】
（1）
∵二次函数$y=x^2 -nx -4$的图象与x轴交于点$(4,0)$，将$x=4,y=0$代入解析式得：
$4^2 -4n -4=0$
解得$n=3$
∴对应方程为$x^2 -3x -4=0$，因式分解得$(x-4)(x+1)=0$
解得$x_1=-1,x_2=4$。
（2）不等式$x^2 -nx -4＞0$对应二次函数的函数值$y＞0$，即图象在x轴上方的部分，观察图象可得x的取值范围是$x＜-1$或$x＞4$。
（3）不等式$x^2 -nx -4≤0$对应二次函数的函数值$y≤0$，即图象在x轴下方及与x轴交点的部分，观察图象可得x的取值范围是$-1≤x≤4$。
【答案】
(1) $x_1=-1,x_2=4$
(2) $x＜-1$或$x＞4$
(3) $-1≤x≤4$
【知识点】
二次函数与方程的联系；二次函数与不等式的联系；二次函数图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数相关问题中的应用，解题关键是理解二次函数图象位置、与x轴交点坐标和对应方程、不等式的关联，结合图象可快速得到结果，是二次函数章节的基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 抛物线$y=x^2+bx+4$与$x$轴只有一个交点，则$b=$
$\pm4$
。答案
3. $\pm4$
解析
【分析】
解题思路：二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程的根的情况一一对应。当抛物线与x轴只有1个交点时，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。我们只需要先确定抛物线对应一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程，再求解方程就能得到b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+4$与$x$轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$x^2+bx+4=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
在方程$x^2+bx+4=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$
根据判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入系数得：
$b^2 - 4×1×4 = 0$
整理得$b^2=16$
解得$b=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式与交点个数的对应规则即可快速求解，计算时注意不要漏了负根。
【难度系数】
0.8
解题思路：二次函数图象与x轴的交点个数和对应的一元二次方程的根的情况一一对应。当抛物线与x轴只有1个交点时，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，此时根的判别式Δ=0。我们只需要先确定抛物线对应一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程，再求解方程就能得到b的值。
【解析】
解：
∵抛物线$y=x^2+bx+4$与$x$轴只有一个交点
∴对应的一元二次方程$x^2+bx+4=0$有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$
在方程$x^2+bx+4=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数为$b$，常数项$c=4$
根据判别式公式$\Delta=b^2-4ac$，代入系数得：
$b^2 - 4×1×4 = 0$
整理得$b^2=16$
解得$b=\pm4$
【答案】
$\pm4$
【知识点】
二次函数与x轴交点判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，核心考察二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系，牢记判别式与交点个数的对应规则即可快速求解，计算时注意不要漏了负根。
【难度系数】
0.8
1. 如图是抛物线$y=ax^2+bx+c$的图象，方程$ax^2+bx+c-3=0$的根是________。
答案
1. $x_1=0,x_2=2$
解析
【分析】
要求方程$ax^2+bx+c-3=0$的根，可先将方程变形为$ax^2+bx+c=3$，其本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时对应的自变量$x$的取值。首先从图象中找到$y=3$时的一个$x$值，再结合抛物线的对称性，即可求出另一个对应的$x$值，也就是方程的两个根。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-3=0$变形为$ax^2+bx+c=3$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=3$时$x$的取值。
由图象可知：
1. 抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$，因此$x=0$是方程的一个根；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，点$(0,3)$关于直线$x=1$对称的点的横坐标为$2×1-0=2$，即当$x=2$时，$y=3$，因此$x=2$是方程的另一个根。
综上，方程$ax^2+bx+c-3=0$的根为$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，抛物线的对称性，二次函数图象
【点评】
本题将一元二次方程的根与二次函数的图象结合考查，解题的关键是理解方程的根对应函数图象上特定函数值的横坐标，借助抛物线的对称性可以快速求解，避免了求解析式的复杂计算。
【难度系数】
0.7
要求方程$ax^2+bx+c-3=0$的根，可先将方程变形为$ax^2+bx+c=3$，其本质是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为3时对应的自变量$x$的取值。首先从图象中找到$y=3$时的一个$x$值，再结合抛物线的对称性，即可求出另一个对应的$x$值，也就是方程的两个根。
【解析】
将方程$ax^2+bx+c-3=0$变形为$ax^2+bx+c=3$，即求二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=3$时$x$的取值。
由图象可知：
1. 抛物线与$y$轴交于点$(0,3)$，即当$x=0$时，$y=3$，因此$x=0$是方程的一个根；
2. 抛物线的对称轴为直线$x=1$，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，点$(0,3)$关于直线$x=1$对称的点的横坐标为$2×1-0=2$，即当$x=2$时，$y=3$，因此$x=2$是方程的另一个根。
综上，方程$ax^2+bx+c-3=0$的根为$x_1=0$，$x_2=2$。
【答案】
$x_1=0,x_2=2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，抛物线的对称性，二次函数图象
【点评】
本题将一元二次方程的根与二次函数的图象结合考查，解题的关键是理解方程的根对应函数图象上特定函数值的横坐标，借助抛物线的对称性可以快速求解，避免了求解析式的复杂计算。
【难度系数】
0.7
2. 抛物线 $ y = ax^2 + 2ax + c $ 与x轴的一个交点为(-5,0)，则它与x轴的另一个交点的坐标为
$(3,0)$
。答案
2. $(3,0)$
解析
【分析】
本题考查二次函数与x轴交点的求解，可利用抛物线的轴对称性解题：第一步先根据抛物线解析式求出对称轴；第二步明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，据此列方程计算另一个交点的横坐标即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=ax^2+2ax+c$中，$b=2a$，且抛物线二次项系数$a≠0$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{x + (-5)}{2}=-1$
解方程：$x - 5 = -2$，得$x=3$。
所以它与x轴的另一个交点的坐标为$(3,0)$。
【答案】
$(3,0)$
【知识点】
二次函数对称性、对称轴公式、抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是利用抛物线的轴对称性，先求对称轴再推导未知交点坐标，计算量小，掌握二次函数的基本性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数与x轴交点的求解，可利用抛物线的轴对称性解题：第一步先根据抛物线解析式求出对称轴；第二步明确抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，两点横坐标的平均值等于对称轴对应的横坐标，据此列方程计算另一个交点的横坐标即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴公式为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在抛物线$y=ax^2+2ax+c$中，$b=2a$，且抛物线二次项系数$a≠0$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{2a}{2a}=-1$，即该抛物线的对称轴为直线$x=-1$。
设抛物线与x轴的另一个交点坐标为$(x,0)$，因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，因此两点横坐标的中点在对称轴上，可得：
$\frac{x + (-5)}{2}=-1$
解方程：$x - 5 = -2$，得$x=3$。
所以它与x轴的另一个交点的坐标为$(3,0)$。
【答案】
$(3,0)$
【知识点】
二次函数对称性、对称轴公式、抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是利用抛物线的轴对称性，先求对称轴再推导未知交点坐标，计算量小，掌握二次函数的基本性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
3. 若抛物线$y=2x^2 -4x +1$与$x$轴的两交点分别是$A(x_1,0),B(x_2,0)$，则$x_1^2 +x_2^2=$
$3$
，线段$AB$的长为$\sqrt{2}$
。答案
3. $3\ \ \sqrt{2}$
解析
【分析】
抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，因此本题可先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，再将待求的$x_1^2+x_2^2$和线段$AB$的长度转化为用$x_1+x_2$、$x_1x_2$表示的形式，代入数值计算即可，无需直接求解方程，可简化计算过程。
【解析】
令$y=0$，可得一元二次方程$2x^2-4x+1=0$，由题意可知$x_1$、$x_2$是该方程的两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
1. 计算$x_1^2+x_2^2$：
由完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入数值计算：$x_1^2+x_2^2=2^2-2×\frac{1}{2}=4-1=3$。
2. 计算线段$AB$的长：
$A$、$B$均在x轴上，因此$AB=|x_1-x_2|$，
变形得：$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，
代入数值计算：$AB=\sqrt{2^2-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$3$；$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的意义
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的问题，熟练运用根与系数的关系和常见的代数式变形技巧，可避免复杂的求根运算，提升解题准确率与效率。
【难度系数】
0.7
抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的两个实数根，因此本题可先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$，再将待求的$x_1^2+x_2^2$和线段$AB$的长度转化为用$x_1+x_2$、$x_1x_2$表示的形式，代入数值计算即可，无需直接求解方程，可简化计算过程。
【解析】
令$y=0$，可得一元二次方程$2x^2-4x+1=0$，由题意可知$x_1$、$x_2$是该方程的两个实数根。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{2}=2$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
1. 计算$x_1^2+x_2^2$：
由完全平方公式变形可得：$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，
代入数值计算：$x_1^2+x_2^2=2^2-2×\frac{1}{2}=4-1=3$。
2. 计算线段$AB$的长：
$A$、$B$均在x轴上，因此$AB=|x_1-x_2|$，
变形得：$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$，
代入数值计算：$AB=\sqrt{2^2-4×\frac{1}{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$。
【答案】
$3$；$\sqrt{2}$
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点的意义
2. 根与系数的关系
3. 代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将抛物线与x轴交点问题转化为一元二次方程根的问题，熟练运用根与系数的关系和常见的代数式变形技巧，可避免复杂的求根运算，提升解题准确率与效率。
【难度系数】
0.7
4. 如图是二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的一部分，图象过点$A(-3,0)$，对称轴为直线$x=-1$。
以下结论：①$abc＜0$；②$b^2-4ac＞0$；③$4b+c＜0$；④若$B(-\dfrac{5}{2},y_1),C(-\dfrac{1}{2},y_2)$为函数图象上的两点，则$y_1＞y_2$；⑤当$-3≤ x≤1$时，$y≥0$。其中正确结论的序号是
以下结论：①$abc＜0$；②$b^2-4ac＞0$；③$4b+c＜0$；④若$B(-\dfrac{5}{2},y_1),C(-\dfrac{1}{2},y_2)$为函数图象上的两点，则$y_1＞y_2$；⑤当$-3≤ x≤1$时，$y≥0$。其中正确结论的序号是
②③⑤
。答案
4. ②③⑤
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像中提取关键信息：根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导a与b的关系，根据与y轴交点判断c的符号，再结合已知点A(-3,0)和对称轴x=-1求出抛物线与x轴的另一个交点，最后逐一验证5个结论是否正确。
【解析】
先推导图像隐含的性质：
1. 抛物线开口向下，故$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$（$a＜0$）；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 抛物线过点$A(-3,0)$，且对称轴为$x=-1$，由对称性可知抛物线与$x$轴的另一交点为$(1,0)$。
逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＜0,b＜0,c＞0$，则$abc=(-)×(-)×(+)＞0$，故①错误；
② $b^2-4ac＞0$：抛物线与$x$轴有2个交点，故判别式$b^2-4ac＞0$，②正确；
③ $4b+c＜0$：将交点$(1,0)$代入函数得$a+b+c=0$，结合$a=\frac{b}{2}$，代入得$\frac{b}{2}+b+c=0$，即$c=-\frac{3b}{2}$，因此$4b+c=4b-\frac{3b}{2}=\frac{5b}{2}$，又$b＜0$，故$\frac{5b}{2}＜0$，即$4b+c＜0$，③正确；
④ 比较$y_1,y_2$大小：开口向下时，点离对称轴越远函数值越小。点$B(-\frac{5}{2},y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$\left|-\frac{5}{2}-(-1)\right|=\frac{3}{2}$，点$C(-\frac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离为$\left|-\frac{1}{2}-(-1)\right|=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}＞\frac{1}{2}$，故$y_1＜y_2$，④错误；
⑤ 当$-3≤ x≤1$时$y≥0$：抛物线与$x$轴交点为$(-3,0)$和$(1,0)$，开口向下，故两交点之间的图像在$x$轴上方，即$y≥0$，⑤正确。
综上，正确结论为②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题型，需要熟练掌握二次函数系数与图像特征的对应关系，结合对称性分析函数值大小、取值范围等结论，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先从二次函数图像中提取关键信息：根据开口方向判断a的符号，结合对称轴公式推导a与b的关系，根据与y轴交点判断c的符号，再结合已知点A(-3,0)和对称轴x=-1求出抛物线与x轴的另一个交点，最后逐一验证5个结论是否正确。
【解析】
先推导图像隐含的性质：
1. 抛物线开口向下，故$a＜0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a＜0$（$a＜0$）；
3. 抛物线与$y$轴交于正半轴，故$c＞0$；
4. 抛物线过点$A(-3,0)$，且对称轴为$x=-1$，由对称性可知抛物线与$x$轴的另一交点为$(1,0)$。
逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＜0,b＜0,c＞0$，则$abc=(-)×(-)×(+)＞0$，故①错误；
② $b^2-4ac＞0$：抛物线与$x$轴有2个交点，故判别式$b^2-4ac＞0$，②正确；
③ $4b+c＜0$：将交点$(1,0)$代入函数得$a+b+c=0$，结合$a=\frac{b}{2}$，代入得$\frac{b}{2}+b+c=0$，即$c=-\frac{3b}{2}$，因此$4b+c=4b-\frac{3b}{2}=\frac{5b}{2}$，又$b＜0$，故$\frac{5b}{2}＜0$，即$4b+c＜0$，③正确；
④ 比较$y_1,y_2$大小：开口向下时，点离对称轴越远函数值越小。点$B(-\frac{5}{2},y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$\left|-\frac{5}{2}-(-1)\right|=\frac{3}{2}$，点$C(-\frac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离为$\left|-\frac{1}{2}-(-1)\right|=\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}＞\frac{1}{2}$，故$y_1＜y_2$，④错误；
⑤ 当$-3≤ x≤1$时$y≥0$：抛物线与$x$轴交点为$(-3,0)$和$(1,0)$，开口向下，故两交点之间的图像在$x$轴上方，即$y≥0$，⑤正确。
综上，正确结论为②③⑤。
【答案】
②③⑤
【知识点】
二次函数图像与系数的关系；二次函数的对称性；二次函数与不等式
【点评】
本题是二次函数图像性质的综合应用题型，需要熟练掌握二次函数系数与图像特征的对应关系，结合对称性分析函数值大小、取值范围等结论，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 如图,二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,与$y$轴交于$C$点,对称轴是直线$x=-1$,点$B$的坐标为$(1,0)$.下面的四个结论:①$AB=4$;②$b^2-4ac＞0$;③$ab＜0$;④$a-b+c＜0$.其中正确结论的序号是
①②④
.答案
5. ①②④
解析
【分析】
解题思路：先利用二次函数的对称性求出点A的坐标，再结合二次函数的图象性质、判别式的意义、特殊点的函数值逐一判断4个结论：
1. 利用对称轴和点B坐标求A点坐标，进而计算AB长度判断①；
2. 由抛物线与x轴交点个数判断判别式符号，验证②；
3. 结合开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，判断ab的符号验证③；
4. 明确$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，结合顶点位置判断符号验证④。
【解析】
解：
1. 判断结论①：
∵ 二次函数对称轴为直线$x=-1$，点$B(1,0)$，点A、B关于对称轴对称
∴ 点B到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，则点A的横坐标为$-1-2=-3$，即$A(-3,0)$
∴ $AB=1-(-3)=4$，故①正确；
2. 判断结论②：
∵ 抛物线与x轴有A、B两个不同的交点
∴ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$b^2-4ac＞0$，故②正确；
3. 判断结论③：
∵ 抛物线开口向上，
∴ $a＞0$
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$
∴ $ab＞0$，故③错误；
4. 判断结论④：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$
由图象可知，$x=-1$对应抛物线的顶点，顶点在x轴下方，即此时$y＜0$
∴ $a-b+c＜0$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性、判别式的意义，能结合图象信息分析特殊点的函数值，属于基础的图象性质应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路：先利用二次函数的对称性求出点A的坐标，再结合二次函数的图象性质、判别式的意义、特殊点的函数值逐一判断4个结论：
1. 利用对称轴和点B坐标求A点坐标，进而计算AB长度判断①；
2. 由抛物线与x轴交点个数判断判别式符号，验证②；
3. 结合开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，判断ab的符号验证③；
4. 明确$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，结合顶点位置判断符号验证④。
【解析】
解：
1. 判断结论①：
∵ 二次函数对称轴为直线$x=-1$，点$B(1,0)$，点A、B关于对称轴对称
∴ 点B到对称轴的距离为$1-(-1)=2$，则点A的横坐标为$-1-2=-3$，即$A(-3,0)$
∴ $AB=1-(-3)=4$，故①正确；
2. 判断结论②：
∵ 抛物线与x轴有A、B两个不同的交点
∴ 一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根
∴ 判别式$b^2-4ac＞0$，故②正确；
3. 判断结论③：
∵ 抛物线开口向上，
∴ $a＞0$
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a＞0$
∴ $ab＞0$，故③错误；
4. 判断结论④：
当$x=-1$时，代入二次函数解析式得$y=a×(-1)^2+b×(-1)+c=a-b+c$
由图象可知，$x=-1$对应抛物线的顶点，顶点在x轴下方，即此时$y＜0$
∴ $a-b+c＜0$，故④正确。
【答案】
①②④
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题核心是熟练掌握二次函数的对称性、判别式的意义，能结合图象信息分析特殊点的函数值，属于基础的图象性质应用题。
【难度系数】
0.7
