登录
6. 已知函数$y=ax^2 - 2ax -1$（$a$是常数，$a≠0$），下列结论正确的是 （
A.当$a=1$时，函数图象过点$(-1,1)$
B.当$a=-2$时，函数图象与$x$轴没有交点
C.若$a＞0$，则当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.若$a＜0$，则当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大
D
）A.当$a=1$时，函数图象过点$(-1,1)$
B.当$a=-2$时，函数图象与$x$轴没有交点
C.若$a＞0$，则当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.若$a＜0$，则当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
6. D
解析
【分析】
本题考查二次函数的相关性质，解题思路是逐个对四个选项进行验证：先计算出二次函数的对称轴，再结合代入求值、根的判别式、二次函数增减性的规律分别判断每个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
首先根据二次函数对称轴公式，可得该函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，再逐一分析选项：
A. 当$a=1$时，函数为$y=x^2-2x-1$，将$x=-1$代入得$y=(-1)^2-2×(-1)-1=2$，故图象过点$(-1,2)$，不是$(-1,1)$，A错误；
B. 当$a=-2$时，函数为$y=-2x^2+4x-1$，根的判别式$\Delta=4^2-4×(-2)×(-1)=16-8=8＞0$，故函数图象与$x$轴有2个交点，B错误；
C. 若$a＞0$，二次函数开口向上，对称轴为$x=1$，则当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 若$a＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=1$，则当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；根的判别式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，需要熟练掌握二次函数对称轴计算、判别式用法、增减性和开口方向及对称轴的关系，通过逐一排除错误选项即可得到正确答案，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数的相关性质，解题思路是逐个对四个选项进行验证：先计算出二次函数的对称轴，再结合代入求值、根的判别式、二次函数增减性的规律分别判断每个选项的正误，最终选出正确结论。
【解析】
首先根据二次函数对称轴公式，可得该函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，再逐一分析选项：
A. 当$a=1$时，函数为$y=x^2-2x-1$，将$x=-1$代入得$y=(-1)^2-2×(-1)-1=2$，故图象过点$(-1,2)$，不是$(-1,1)$，A错误；
B. 当$a=-2$时，函数为$y=-2x^2+4x-1$，根的判别式$\Delta=4^2-4×(-2)×(-1)=16-8=8＞0$，故函数图象与$x$轴有2个交点，B错误；
C. 若$a＞0$，二次函数开口向上，对称轴为$x=1$，则当$x≥1$时，$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 若$a＜0$，二次函数开口向下，对称轴为$x=1$，则当$x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；根的判别式；二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础考查题，需要熟练掌握二次函数对称轴计算、判别式用法、增减性和开口方向及对称轴的关系，通过逐一排除错误选项即可得到正确答案，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$和正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象如图所示，则方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0(a≠0)$的两根之和 （
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
A
）A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
答案
7. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先将待求方程进行变形，发现它实际是两个已知函数值相等时的方程，根就是两个函数交点的横坐标；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和的表达式；最后结合二次函数的图像特征得到参数a、b的符号，代入表达式即可判断两根之和的正负。
【解析】
设方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$。
1. 方程变形：将方程移项可得$ax^2+bx+c=\frac{2}{3}x$，因此方程的两个根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与正比例函数$y=\frac{2}{3}x$交点的横坐标。
2. 由韦达定理得：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。本题中$A=a$，$B=b-\frac{2}{3}$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{b-\frac{2}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}-b}{a}$
3. 结合二次函数图像判断参数符号：
二次函数开口向上，故$a＞0$；
二次函数对称轴在y轴右侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＞0$，因此$-b＞0$，即$b＜0$。
4. 判断两根之和的符号：
因为$b＜0$，所以$\frac{2}{3}-b=\frac{2}{3}+|b|＞0$，又$a＞0$，因此$\frac{\frac{2}{3}-b}{a}＞0$，即两根之和大于0。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图像与性质
【点评】
本题属于函数与方程结合的典型题型，解题的核心是建立待解方程与已知函数的联系，同时熟练掌握二次函数图像特征与参数的对应关系，能有效考察学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：首先将待求方程进行变形，发现它实际是两个已知函数值相等时的方程，根就是两个函数交点的横坐标；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）写出两根之和的表达式；最后结合二次函数的图像特征得到参数a、b的符号，代入表达式即可判断两根之和的正负。
【解析】
设方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$。
1. 方程变形：将方程移项可得$ax^2+bx+c=\frac{2}{3}x$，因此方程的两个根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$与正比例函数$y=\frac{2}{3}x$交点的横坐标。
2. 由韦达定理得：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$。本题中$A=a$，$B=b-\frac{2}{3}$，因此：
$x_1+x_2=-\frac{b-\frac{2}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}-b}{a}$
3. 结合二次函数图像判断参数符号：
二次函数开口向上，故$a＞0$；
二次函数对称轴在y轴右侧，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}＞0$，已知$a＞0$，因此$-b＞0$，即$b＜0$。
4. 判断两根之和的符号：
因为$b＜0$，所以$\frac{2}{3}-b=\frac{2}{3}+|b|＞0$，又$a＞0$，因此$\frac{\frac{2}{3}-b}{a}＞0$，即两根之和大于0。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图像与性质
【点评】
本题属于函数与方程结合的典型题型，解题的核心是建立待解方程与已知函数的联系，同时熟练掌握二次函数图像特征与参数的对应关系，能有效考察学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.6
8. 二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
（2）写出不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集；
（3）若方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。
（1）写出方程$ax^2+bx+c=0$的两个根；
（2）写出不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集；
（3）若方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，求$k$的取值范围。
答案
8. (1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$或$x＞3$ (3) $k＜2$
解析
【分析】
解题时运用数形结合思想：
1. 求解一元二次方程的根：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根，直接从图中读取交点横坐标即可。
2. 求解一元二次不等式的解集：$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象位于$x$轴下方的部分对应的$x$的取值范围，观察图象区域即可得到解集。
3. 求解$k$的取值范围：将方程$ax^2+bx+c=k$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有两个不同交点的问题，结合抛物线的最大值即可判断$k$的范围。
【解析】
（1）由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在$x$轴下方的部分，观察图象可得此时$x$的取值范围是$x＜1$或$x＞3$。
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同的交点。由图象可知抛物线的顶点纵坐标为2，即函数最大值为2，因此当$k＜2$时，两个图象有2个不同交点，即$k$的取值范围是$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$或$x＞3$ (3) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数的图像性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数中的应用，需要结合函数图像直观获取交点、函数值正负、最值等信息，是二次函数章节的基础常考题，熟练掌握函数和方程、不等式的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时运用数形结合思想：
1. 求解一元二次方程的根：二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交点的横坐标就是方程$ax^2+bx+c=0$的根，直接从图中读取交点横坐标即可。
2. 求解一元二次不等式的解集：$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象位于$x$轴下方的部分对应的$x$的取值范围，观察图象区域即可得到解集。
3. 求解$k$的取值范围：将方程$ax^2+bx+c=k$转化为抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有两个不同交点的问题，结合抛物线的最大值即可判断$k$的范围。
【解析】
（1）由图象可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，因此方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
（2）不等式$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图象在$x$轴下方的部分，观察图象可得此时$x$的取值范围是$x＜1$或$x＞3$。
（3）方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根，等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=k$有2个不同的交点。由图象可知抛物线的顶点纵坐标为2，即函数最大值为2，因此当$k＜2$时，两个图象有2个不同交点，即$k$的取值范围是$k＜2$。
【答案】
(1) $x_1=1,x_2=3$ (2) $x＜1$或$x＞3$ (3) $k＜2$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式，二次函数的图像性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数中的应用，需要结合函数图像直观获取交点、函数值正负、最值等信息，是二次函数章节的基础常考题，熟练掌握函数和方程、不等式的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7
9. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，已知抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 经过 $ (-1,m^2+2m+1),(0,m^2+2m+2) $ 两点，其中 $ m $ 为常数。
（1）求 $ b $ 的值，并用含 $ m $ 的代数式表示 $ c $；
（2）当抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴有公共点时，求 $ m $ 的值；
（3）设 $ (a,y_1),(a+2,y_2) $ 是抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 上的两点，试比较 $ y_2 - y_1 $ 与 0 的大小。
（1）求 $ b $ 的值，并用含 $ m $ 的代数式表示 $ c $；
（2）当抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 与 $ x $ 轴有公共点时，求 $ m $ 的值；
（3）设 $ (a,y_1),(a+2,y_2) $ 是抛物线 $ y=x^2+bx+c $ 上的两点，试比较 $ y_2 - y_1 $ 与 0 的大小。
答案
9. (1) 把$(-1,m^2+2m+1),(0,m^2+2m+2)$分别代入$y=x^2+bx+c$,得$1-b+c=m^2+2m+1①,c=m^2+2m+2②$,把②代入①中得$b=2,∴b=2,c=m^2+2m+2.$ (2) 由(1),得$y=x^2+2x+m^2+2m+2.$根据题意,得$Δ=2^2-4(m^2+2m+2)≥0,∴(m+1)^2≤0.$又$(m+1)^2≥0,∴m=-1,∴$当抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴有公共点时,$m=-1.$ (3) 由(1),得函数的解析式为$y=x^2+2x+m^2+2m+2,∵(a,y_1),(a+2,y_2)$是抛物线$y=x^2+bx+c$上的两点,$∴y_1=a^2+2a+m^2+2m+2,y_2=(a+2)^2+2(a+2)+m^2+2m+2,∴y_2-y_1=4(a+2),∴$当$a＜-2$时,$y_2-y_1＜0;$当$a=-2$时,$y_2-y_1=0;$当$a＞-2$时,$y_2-y_1＞0.$
解析
【分析】
（1）抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，因此将两个已知点坐标代入$y=x^2+bx+c$，得到关于$b$、$c$的方程组，解方程组即可求出$b$的值，并用$m$表示$c$。
（2）抛物线与$x$轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式$\Delta≥0$，代入（1）中求得的系数，结合平方的非负性即可求出$m$的值。
（3）要比较$y_2-y_1$与$0$的大小，先将两点坐标代入抛物线解析式表示出$y_1$和$y_2$，再作差化简，最后根据化简结果的正负性分类讨论$a$的取值即可。
【解析】
（1）把$(-1,m^2+2m+1)$、$(0,m^2+2m+2)$分别代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1-b+c=m^2+2m+1①\\c=m^2+2m+2②\end{cases}$
把②代入①，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=m^2+2m+2$。
（2）由（1）得抛物线解析式为$y=x^2+2x+m^2+2m+2$。
抛物线与$x$轴有公共点，即一元二次方程$x^2+2x+m^2+2m+2=0$有实数根，因此$\Delta≥0$。
计算得$\Delta=2^2-4(m^2+2m+2)=-4(m+1)^2$，因此$-4(m+1)^2≥0$，即$(m+1)^2≤0$。
又因为$(m+1)^2≥0$，因此$(m+1)^2=0$，解得$m=-1$。
（3）由（1）得$y=x^2+2x+m^2+2m+2$，将$(a,y_1)$、$(a+2,y_2)$代入解析式得：
$y_1=a^2+2a+m^2+2m+2$，$y_2=(a+2)^2+2(a+2)+m^2+2m+2$
作差得：
$y_2-y_1=(a+2)^2+2(a+2)-(a^2+2a)=4(a+2)$
分类讨论：
当$a＜-2$时，$a+2＜0$，$y_2-y_1＜0$；
当$a=-2$时，$a+2=0$，$y_2-y_1=0$；
当$a＞-2$时，$a+2＞0$，$y_2-y_1＞0$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=m^2+2m+2$；
(2) $m=-1$；
(3) 当$a＜-2$时，$y_2-y_1＜0$；当$a=-2$时，$y_2-y_1=0$；当$a＞-2$时，$y_2-y_1＞0$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 一元二次方程根的判别式
3. 作差法比较大小
【点评】
本题围绕二次函数设置考点，层次清晰，既考查了代入求值、判别式应用等基础内容，也渗透了分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关联、作差比较的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
（1）抛物线上的点的坐标满足抛物线解析式，因此将两个已知点坐标代入$y=x^2+bx+c$，得到关于$b$、$c$的方程组，解方程组即可求出$b$的值，并用$m$表示$c$。
（2）抛物线与$x$轴有公共点，说明对应的一元二次方程有实数根，即根的判别式$\Delta≥0$，代入（1）中求得的系数，结合平方的非负性即可求出$m$的值。
（3）要比较$y_2-y_1$与$0$的大小，先将两点坐标代入抛物线解析式表示出$y_1$和$y_2$，再作差化简，最后根据化简结果的正负性分类讨论$a$的取值即可。
【解析】
（1）把$(-1,m^2+2m+1)$、$(0,m^2+2m+2)$分别代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1-b+c=m^2+2m+1①\\c=m^2+2m+2②\end{cases}$
把②代入①，解得$b=2$。
所以$b=2$，$c=m^2+2m+2$。
（2）由（1）得抛物线解析式为$y=x^2+2x+m^2+2m+2$。
抛物线与$x$轴有公共点，即一元二次方程$x^2+2x+m^2+2m+2=0$有实数根，因此$\Delta≥0$。
计算得$\Delta=2^2-4(m^2+2m+2)=-4(m+1)^2$，因此$-4(m+1)^2≥0$，即$(m+1)^2≤0$。
又因为$(m+1)^2≥0$，因此$(m+1)^2=0$，解得$m=-1$。
（3）由（1）得$y=x^2+2x+m^2+2m+2$，将$(a,y_1)$、$(a+2,y_2)$代入解析式得：
$y_1=a^2+2a+m^2+2m+2$，$y_2=(a+2)^2+2(a+2)+m^2+2m+2$
作差得：
$y_2-y_1=(a+2)^2+2(a+2)-(a^2+2a)=4(a+2)$
分类讨论：
当$a＜-2$时，$a+2＜0$，$y_2-y_1＜0$；
当$a=-2$时，$a+2=0$，$y_2-y_1=0$；
当$a＞-2$时，$a+2＞0$，$y_2-y_1＞0$。
【答案】
(1) $b=2$，$c=m^2+2m+2$；
(2) $m=-1$；
(3) 当$a＜-2$时，$y_2-y_1＜0$；当$a=-2$时，$y_2-y_1=0$；当$a＞-2$时，$y_2-y_1＞0$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 一元二次方程根的判别式
3. 作差法比较大小
【点评】
本题围绕二次函数设置考点，层次清晰，既考查了代入求值、判别式应用等基础内容，也渗透了分类讨论的数学思想，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关联、作差比较的方法即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
