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7. 如图是函数$y=x^2-2x-3(0≤x≤4)$的图象，直线$l// x$轴且过点$(0,m)$，将该函数在直线$l$上方的图象沿直线$l$向下翻折，在直线$l$下方的图象保持不变，得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则$m$的取值范围是（
A.$m≥1$
B.$m≤0$
C.$0≤m≤1$
D.$m≥1$或$m≤0$
C
）A.$m≥1$
B.$m≤0$
C.$0≤m≤1$
D.$m≥1$或$m≤0$
答案
7. C
解析
【分析】
首先先分析原二次函数在$0≤x≤4$区间上的性质，通过配方得到顶点坐标、区间端点的函数值，确定原函数的值域。再结合翻折的性质：沿直线$y=m$翻折后，原直线上方的点$(x,y)$变为$(x,2m-y)$，翻折后新图象的最大值为$m$（上方图象翻到下方，所有点纵坐标不超过$m$），最小值为原函数最小值和翻折后原最高点对应纵坐标的较小值。最后根据最大值与最小值之差不大于5列不等式，分类讨论求解得到$m$的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数在给定区间的值域
将$y=x^2-2x-3$配方得：$y=(x-1)^2-4$，
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
代入区间端点计算：当$x=0$时，$y=-3$；当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$，
因此在$0≤x≤4$范围内，原函数最小值为$-4$，最大值为$5$。
2. 分析翻折后新函数的最值
直线$l:y=m$，翻折后原直线上方的点纵坐标变为$2m-y$：
翻折后新图象所有点的纵坐标均不大于$m$，因此新函数的最大值为$m$；
原函数最大值$5$翻折后对应纵坐标为$2m-5$，结合原函数最小值$-4$，可得新函数的最小值为$\min(-4,2m-5)$。
3. 列不等式求解
要求最值差不大于5，即$m - \min(-4,2m-5) ≤5$：
① 当$2m-5≥-4$，即$m≥0.5$时，最小值为$-4$，代入得$m+4≤5$，解得$m≤1$，即$0.5≤m≤1$；
② 当$2m-5＜-4$，即$m＜0.5$时，最小值为$2m-5$，代入得$m-(2m-5)≤5$，解得$m≥0$，即$0≤m＜0.5$。
综上，$m$的取值范围是$0≤m≤1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；翻折变换的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数区间最值和图形翻折的应用，解题关键是掌握翻折前后坐标的变化规律，准确找到新函数的最值，通过分类讨论求解不等式，要注意验证临界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
首先先分析原二次函数在$0≤x≤4$区间上的性质，通过配方得到顶点坐标、区间端点的函数值，确定原函数的值域。再结合翻折的性质：沿直线$y=m$翻折后，原直线上方的点$(x,y)$变为$(x,2m-y)$，翻折后新图象的最大值为$m$（上方图象翻到下方，所有点纵坐标不超过$m$），最小值为原函数最小值和翻折后原最高点对应纵坐标的较小值。最后根据最大值与最小值之差不大于5列不等式，分类讨论求解得到$m$的取值范围。
【解析】
1. 求原二次函数在给定区间的值域
将$y=x^2-2x-3$配方得：$y=(x-1)^2-4$，
可知抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-4)$，
代入区间端点计算：当$x=0$时，$y=-3$；当$x=4$时，$y=4^2-2×4-3=5$，
因此在$0≤x≤4$范围内，原函数最小值为$-4$，最大值为$5$。
2. 分析翻折后新函数的最值
直线$l:y=m$，翻折后原直线上方的点纵坐标变为$2m-y$：
翻折后新图象所有点的纵坐标均不大于$m$，因此新函数的最大值为$m$；
原函数最大值$5$翻折后对应纵坐标为$2m-5$，结合原函数最小值$-4$，可得新函数的最小值为$\min(-4,2m-5)$。
3. 列不等式求解
要求最值差不大于5，即$m - \min(-4,2m-5) ≤5$：
① 当$2m-5≥-4$，即$m≥0.5$时，最小值为$-4$，代入得$m+4≤5$，解得$m≤1$，即$0.5≤m≤1$；
② 当$2m-5＜-4$，即$m＜0.5$时，最小值为$2m-5$，代入得$m-(2m-5)≤5$，解得$m≥0$，即$0≤m＜0.5$。
综上，$m$的取值范围是$0≤m≤1$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的性质；翻折变换的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题综合考查二次函数区间最值和图形翻折的应用，解题关键是掌握翻折前后坐标的变化规律，准确找到新函数的最值，通过分类讨论求解不等式，要注意验证临界值是否符合要求。
【难度系数】
0.6
8. 如图,在平面直角坐标系上有一顶点为A的抛物线,此抛物线与方程式$y=2$的图形交于B,C两点,$△ ABC$为正三角形.若点A坐标为$(-3,0)$,则此抛物线与y轴的交点坐标为 (
A.$(0,\dfrac{9}{2})$
B.$(0,\dfrac{27}{2})$
C.$(0,9)$
D.$(0,19)$
B
)A.$(0,\dfrac{9}{2})$
B.$(0,\dfrac{27}{2})$
C.$(0,9)$
D.$(0,19)$
答案
8. B
解析
【分析】
解题思路：首先根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，简化计算；再结合抛物线的对称性可知B、C两点关于对称轴x=-3对称，结合△ABC为正三角形，可得到BC的长度与A到BC的距离（即正三角形的高）的关系，再结合二次函数与一元二次方程的关系，求出二次项系数a；最后将x=0代入解析式，即可求出抛物线与y轴的交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点为$A(-3,0)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^2$（$a≠0$）。
∵抛物线与直线$y=2$交于B、C两点，令$y=2$，则$2=a(x+3)^2$，整理得$(x+3)^2=\frac{2}{a}$，解得$x=-3\pm\sqrt{\frac{2}{a}}$，因此B、C两点的横坐标分别为$-3-\sqrt{\frac{2}{a}}$、$-3+\sqrt{\frac{2}{a}}$，故BC的长度为$2\sqrt{\frac{2}{a}}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵BC在直线$y=2$上，
∴AD的长度为$2-0=2$，AD为正三角形ABC的高。
根据正三角形的性质，正三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，即$2=\frac{\sqrt{3}}{2}× BC$，代入$BC=2\sqrt{\frac{2}{a}}$，得：
$2=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{\frac{2}{a}}$
化简得$2=\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{a}}$，两边同时平方得$4=3×\frac{2}{a}$，解得$a=\frac{3}{2}$。
则抛物线的解析式为$y=\frac{3}{2}(x+3)^2$。
求抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=\frac{3}{2}×(0+3)^2=\frac{27}{2}$，即交点坐标为$(0,\frac{27}{2})$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，正三角形性质，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题结合几何图形性质考查二次函数解析式的求解，解题关键是利用二次函数的对称性和正三角形的性质建立等式求出二次项系数，兼顾了代数计算和几何性质的应用。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先根据抛物线顶点坐标设顶点式解析式，简化计算；再结合抛物线的对称性可知B、C两点关于对称轴x=-3对称，结合△ABC为正三角形，可得到BC的长度与A到BC的距离（即正三角形的高）的关系，再结合二次函数与一元二次方程的关系，求出二次项系数a；最后将x=0代入解析式，即可求出抛物线与y轴的交点坐标。
【解析】
解：
∵抛物线的顶点为$A(-3,0)$，
∴设抛物线的解析式为$y=a(x+3)^2$（$a≠0$）。
∵抛物线与直线$y=2$交于B、C两点，令$y=2$，则$2=a(x+3)^2$，整理得$(x+3)^2=\frac{2}{a}$，解得$x=-3\pm\sqrt{\frac{2}{a}}$，因此B、C两点的横坐标分别为$-3-\sqrt{\frac{2}{a}}$、$-3+\sqrt{\frac{2}{a}}$，故BC的长度为$2\sqrt{\frac{2}{a}}$。
过点A作$AD⊥ BC$于点D，
∵BC在直线$y=2$上，
∴AD的长度为$2-0=2$，AD为正三角形ABC的高。
根据正三角形的性质，正三角形的高$h=\frac{\sqrt{3}}{2}×$边长，即$2=\frac{\sqrt{3}}{2}× BC$，代入$BC=2\sqrt{\frac{2}{a}}$，得：
$2=\frac{\sqrt{3}}{2}×2\sqrt{\frac{2}{a}}$
化简得$2=\sqrt{3}×\sqrt{\frac{2}{a}}$，两边同时平方得$4=3×\frac{2}{a}$，解得$a=\frac{3}{2}$。
则抛物线的解析式为$y=\frac{3}{2}(x+3)^2$。
求抛物线与y轴的交点，令$x=0$，代入得$y=\frac{3}{2}×(0+3)^2=\frac{27}{2}$，即交点坐标为$(0,\frac{27}{2})$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式，正三角形性质，二次函数与坐标轴交点
【点评】
本题结合几何图形性质考查二次函数解析式的求解，解题关键是利用二次函数的对称性和正三角形的性质建立等式求出二次项系数，兼顾了代数计算和几何性质的应用。
【难度系数】
0.65
1. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，下列结论：① $b＞0$；② $a−b+c=0$；③ 一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0(a≠0)$有两个不相等的实数根；④ 当$x＜−1$或$x＞3$时，$y＞0$。其中结论正确的是
②③④
（填序号）。答案
1. ②③④
解析
【分析】
解题时先从图像提取核心信息：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，与$y$轴交点为$(0,-2)$。第一步利用抛物线的对称性，求出它与$x$轴的另一个交点：两点关于对称轴对称，已知一个交点横坐标为3，距对称轴2个单位长度，因此另一个交点横坐标为$1-2=-1$，即交点为$(-1,0)$。再结合二次函数的性质、函数与方程的对应关系，逐个判断4个结论的正误即可。
【解析】
1. 判断结论①：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$。
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$，因此$b=-2a＜0$，故①错误。
2. 判断结论②：
当$x=-1$时，二次函数的函数值$y=0$，将$x=-1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c=0$，故②正确。
3. 判断结论③：
一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=-1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点个数。
观察图像可知，抛物线的顶点纵坐标小于$-2$，即函数最小值小于$-2＜-1$，因此直线$y=-1$与抛物线有2个不同的交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，故③正确。
4. 判断结论④：
抛物线开口向上，与$x$轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此当$x$在两个交点外侧时，函数值$y＞0$，即$x＜-1$或$x＞3$时$y＞0$，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，需要结合图像提取信息，灵活运用二次函数的性质、函数与方程的转化思想解题，能很好地考查对二次函数核心知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时先从图像提取核心信息：抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，与$x$轴的一个交点为$(3,0)$，与$y$轴交点为$(0,-2)$。第一步利用抛物线的对称性，求出它与$x$轴的另一个交点：两点关于对称轴对称，已知一个交点横坐标为3，距对称轴2个单位长度，因此另一个交点横坐标为$1-2=-1$，即交点为$(-1,0)$。再结合二次函数的性质、函数与方程的对应关系，逐个判断4个结论的正误即可。
【解析】
1. 判断结论①：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，可得$b=-2a$。
$\because$ 抛物线开口向上，$\therefore a＞0$，因此$b=-2a＜0$，故①错误。
2. 判断结论②：
当$x=-1$时，二次函数的函数值$y=0$，将$x=-1$代入解析式$y=ax^2+bx+c$，得：
$a×(-1)^2 + b×(-1) + c = a-b+c=0$，故②正确。
3. 判断结论③：
一元二次方程$ax^2+bx+c+1=0$可变形为$ax^2+bx+c=-1$，即求抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=-1$的交点个数。
观察图像可知，抛物线的顶点纵坐标小于$-2$，即函数最小值小于$-2＜-1$，因此直线$y=-1$与抛物线有2个不同的交点，对应一元二次方程有两个不相等的实数根，故③正确。
4. 判断结论④：
抛物线开口向上，与$x$轴的交点为$(-1,0)$和$(3,0)$，因此当$x$在两个交点外侧时，函数值$y＞0$，即$x＜-1$或$x＞3$时$y＞0$，故④正确。
综上，正确的结论是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
二次函数的图像与性质；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，需要结合图像提取信息，灵活运用二次函数的性质、函数与方程的转化思想解题，能很好地考查对二次函数核心知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2. 已知函数$y=\begin{cases}-x^2+2x&(x＞0),\\-x&(x≤0)\end{cases}$的图象如图所示，若直线$y=x+m$与图象恰有三个不同的交点，则$m$的取值范围为 ______ 。
答案
2. $0＜m＜\dfrac{1}{4}$
解析
【分析】
要使直线$y=x+m$与分段函数图象恰有三个不同交点，需满足两个条件：①直线与$x≤0$对应的一次函数$y=-x$有1个交点；②直线与$x＞0$对应的二次函数$y=-x^2+2x$有2个不同的正实根。先分别联立方程，再结合根的取值范围、判别式求解，最后取公共范围即可。
【解析】
1. 求直线与$x≤0$段函数的交点条件
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x\end{cases}$，解得$x=-\frac{m}{2}$。
若交点在$x≤0$区域，则$-\frac{m}{2}≤0$，即$m≥0$。
当$m=0$时，交点为$(0,0)$，该点同时在二次函数图象上，此时联立二次函数仅得到1个额外正根，总交点仅2个，不符合要求，故$m＞0$。
2. 求直线与$x＞0$段二次函数的交点条件
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x^2+2x\end{cases}$，整理得一元二次方程：$x^2 -x +m=0$。
要使方程有2个不同的正实根：
① 判别式$\Delta＞0$：$\Delta=(-1)^2-4×1× m=1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$；
② 由韦达定理，方程两根之和为$1＞0$，两根之积为$m＞0$，满足两根均为正的要求。
综合两个条件，可得$m$的取值范围为$0＜m＜\frac{1}{4}$。
【答案】
$0＜m＜\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分段函数交点、二次函数与一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题将交点个数问题转化为一元二次方程根的个数与分布问题，解题时需注意验证边界值是否符合题意，避免多算或漏算范围。
【难度系数】
0.6
要使直线$y=x+m$与分段函数图象恰有三个不同交点，需满足两个条件：①直线与$x≤0$对应的一次函数$y=-x$有1个交点；②直线与$x＞0$对应的二次函数$y=-x^2+2x$有2个不同的正实根。先分别联立方程，再结合根的取值范围、判别式求解，最后取公共范围即可。
【解析】
1. 求直线与$x≤0$段函数的交点条件
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x\end{cases}$，解得$x=-\frac{m}{2}$。
若交点在$x≤0$区域，则$-\frac{m}{2}≤0$，即$m≥0$。
当$m=0$时，交点为$(0,0)$，该点同时在二次函数图象上，此时联立二次函数仅得到1个额外正根，总交点仅2个，不符合要求，故$m＞0$。
2. 求直线与$x＞0$段二次函数的交点条件
联立$\begin{cases}y=x+m\\y=-x^2+2x\end{cases}$，整理得一元二次方程：$x^2 -x +m=0$。
要使方程有2个不同的正实根：
① 判别式$\Delta＞0$：$\Delta=(-1)^2-4×1× m=1-4m＞0$，解得$m＜\frac{1}{4}$；
② 由韦达定理，方程两根之和为$1＞0$，两根之积为$m＞0$，满足两根均为正的要求。
综合两个条件，可得$m$的取值范围为$0＜m＜\frac{1}{4}$。
【答案】
$0＜m＜\dfrac{1}{4}$
【知识点】
分段函数交点、二次函数与一元二次方程、根的判别式
【点评】
本题将交点个数问题转化为一元二次方程根的个数与分布问题，解题时需注意验证边界值是否符合题意，避免多算或漏算范围。
【难度系数】
0.6
3. 抛物线$y=x^2+bx+c$（其中$b,c$是常数）过点$A(2,6)$，且抛物线的对称轴与线段$y=0$（$1≤x≤3$）有交点，则$c$的值不可能是（
A.4
B.6
C.8
D.10
A
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
3. A
解析
【分析】
解题思路可分为三步：① 利用抛物线过点A的条件，将点A坐标代入解析式，得到b与c的关系式；② 先写出抛物线对称轴的表达式，结合对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点的条件，得到对称轴的取值范围，进而求出b的取值范围；③ 将b用含c的式子代入b的取值范围，解不等式组得到c的取值范围，对比选项即可得出答案。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(2,6)$，
∴ 将$x=2,y=6$代入解析式得：
$2^2 + 2b + c = 6$，
化简得：$2b + c = 2$，即 $b = \frac{2 - c}{2}$。
抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，故对称轴为$x = -\frac{b}{2}$。
∵ 对称轴与线段$y=0$（$1≤x≤3$）有交点，
∴ 对称轴的横坐标满足$1 ≤ -\frac{b}{2} ≤ 3$，
不等式两边同乘2得：$2 ≤ -b ≤ 6$，
不等号两边同乘-1（不等号方向改变）得：$-6 ≤ b ≤ -2$。
将$b = \frac{2 - c}{2}$代入上述不等式得：
$-6 ≤ \frac{2 - c}{2} ≤ -2$，
不等式两边同乘2得：$-12 ≤ 2 - c ≤ -4$，
不等式两边同减2得：$-14 ≤ -c ≤ -6$，
不等号两边同乘-1（不等号方向改变）得：$6 ≤ c ≤ 14$。
对比选项，只有4不在$6≤c≤14$的范围内，故c的值不可能是4。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数参数求解的基础综合题，解题核心是将对称轴与线段相交的条件转化为参数的取值范围，结合已知点的坐标建立参数间的关系，求解不等式时需注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：① 利用抛物线过点A的条件，将点A坐标代入解析式，得到b与c的关系式；② 先写出抛物线对称轴的表达式，结合对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点的条件，得到对称轴的取值范围，进而求出b的取值范围；③ 将b用含c的式子代入b的取值范围，解不等式组得到c的取值范围，对比选项即可得出答案。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=x^2+bx+c$过点$A(2,6)$，
∴ 将$x=2,y=6$代入解析式得：
$2^2 + 2b + c = 6$，
化简得：$2b + c = 2$，即 $b = \frac{2 - c}{2}$。
抛物线$y=x^2+bx+c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$a=1$，故对称轴为$x = -\frac{b}{2}$。
∵ 对称轴与线段$y=0$（$1≤x≤3$）有交点，
∴ 对称轴的横坐标满足$1 ≤ -\frac{b}{2} ≤ 3$，
不等式两边同乘2得：$2 ≤ -b ≤ 6$，
不等号两边同乘-1（不等号方向改变）得：$-6 ≤ b ≤ -2$。
将$b = \frac{2 - c}{2}$代入上述不等式得：
$-6 ≤ \frac{2 - c}{2} ≤ -2$，
不等式两边同乘2得：$-12 ≤ 2 - c ≤ -4$，
不等式两边同减2得：$-14 ≤ -c ≤ -6$，
不等号两边同乘-1（不等号方向改变）得：$6 ≤ c ≤ 14$。
对比选项，只有4不在$6≤c≤14$的范围内，故c的值不可能是4。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；解一元一次不等式组
【点评】
本题属于二次函数参数求解的基础综合题，解题核心是将对称轴与线段相交的条件转化为参数的取值范围，结合已知点的坐标建立参数间的关系，求解不等式时需注意不等号方向的变化规则。
【难度系数】
0.7
4. 已知$a≥2$，$m^2 - 2am + 2 = 0$，$n^2 - 2an + 2 = 0$，则$(m - 1)^2 + (n - 1)^2$的最小值是（
A.6
B.3
C.$-3$
D.0
A
）A.6
B.3
C.$-3$
D.0
答案
4. A
解析
【分析】
首先观察m、n满足的方程结构完全一致，可判断m、n是一元二次方程$x^2 - 2ax + 2 = 0$的两个实数根；由于所求代数式是关于m、n的对称式，因此无需单独求解m、n，可借助韦达定理得到$m+n$和$mn$的整体值；再将所求代数式展开变形，用$m+n$、$mn$整体替换，转化为关于a的二次函数，最后结合$a≥2$的取值范围，根据二次函数的增减性即可求出最小值。
【解析】
1. 由题意可知，m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2ax + 2 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$m+n=2a$，$mn=2$
2. 展开并化简所求代数式：
$\begin{aligned}(m-1)^2 + (n-1)^2 &= m^2 - 2m + 1 + n^2 - 2n + 1\\&=(m^2 + n^2) - 2(m+n) + 2\\&=(m+n)^2 - 2mn - 2(m+n) + 2\end{aligned}$
3. 将$m+n=2a$、$mn=2$代入上式，可得：
$\begin{aligned}原式&=(2a)^2 - 2×2 - 2×2a + 2\\&=4a^2 - 4a - 2\end{aligned}$
4. 将上式看作关于a的二次函数$y=4a^2 -4a -2$，其中$a≥2$：
该函数开口向上，对称轴为$a=\frac{4}{2×4}=0.5$，因此当$a≥0.5$时，y随a的增大而增大。
结合$a≥2$的取值范围，当a取最小值2时，y取得最小值：
$y_{min}=4×2^2 -4×2 -2=16-8-2=6$
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，代数式化简，二次函数最值
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式恒等变形以及二次函数区间最值的求解，解题核心是将含两个变量的代数式转化为单一参数的二次函数，避免了单独求解根的复杂运算。
【难度系数】
0.6
首先观察m、n满足的方程结构完全一致，可判断m、n是一元二次方程$x^2 - 2ax + 2 = 0$的两个实数根；由于所求代数式是关于m、n的对称式，因此无需单独求解m、n，可借助韦达定理得到$m+n$和$mn$的整体值；再将所求代数式展开变形，用$m+n$、$mn$整体替换，转化为关于a的二次函数，最后结合$a≥2$的取值范围，根据二次函数的增减性即可求出最小值。
【解析】
1. 由题意可知，m、n是关于x的一元二次方程$x^2 - 2ax + 2 = 0$的两个实数根，根据韦达定理可得：
$m+n=2a$，$mn=2$
2. 展开并化简所求代数式：
$\begin{aligned}(m-1)^2 + (n-1)^2 &= m^2 - 2m + 1 + n^2 - 2n + 1\\&=(m^2 + n^2) - 2(m+n) + 2\\&=(m+n)^2 - 2mn - 2(m+n) + 2\end{aligned}$
3. 将$m+n=2a$、$mn=2$代入上式，可得：
$\begin{aligned}原式&=(2a)^2 - 2×2 - 2×2a + 2\\&=4a^2 - 4a - 2\end{aligned}$
4. 将上式看作关于a的二次函数$y=4a^2 -4a -2$，其中$a≥2$：
该函数开口向上，对称轴为$a=\frac{4}{2×4}=0.5$，因此当$a≥0.5$时，y随a的增大而增大。
结合$a≥2$的取值范围，当a取最小值2时，y取得最小值：
$y_{min}=4×2^2 -4×2 -2=16-8-2=6$
【答案】
A
【知识点】
韦达定理，代数式化简，二次函数最值
【点评】
本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式恒等变形以及二次函数区间最值的求解，解题核心是将含两个变量的代数式转化为单一参数的二次函数，避免了单独求解根的复杂运算。
【难度系数】
0.6
5. 已知二次函数$y=x^2+bx+c$与$x$轴只有一个交点，且图象过$A(x_1,m),B(x_1+n,m)$两点，则$m,n$的关系为（
A.$m=\frac{1}{2}n$
B.$m=\frac{1}{4}n$
C.$m=\frac{1}{2}n^2$
D.$m=\frac{1}{4}n^2$
D
）A.$m=\frac{1}{2}n$
B.$m=\frac{1}{4}n$
C.$m=\frac{1}{2}n^2$
D.$m=\frac{1}{4}n^2$
答案
5. D
解析
【分析】
解题可按三步推导：①由二次函数与x轴只有1个交点，可知判别式Δ=0，也可将函数改写为顶点式，顶点纵坐标为0；②A、B两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，两点横坐标的差为n；③结合函数解析式，利用两点横坐标的关系代入化简，即可得到m与n的数量关系。
【解析】
∵二次函数$y=x^2+bx+c$与$x$轴只有一个交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$，即$c = \frac{b^2}{4}$，
因此函数可整理为顶点式：$y = (x + \frac{b}{2})^2$。
∵点$A(x_1,m)$、$B(x_1+n,m)$纵坐标相同，
∴A、B关于抛物线的对称轴$x = -\frac{b}{2}$对称，两点到对称轴的距离相等，均为$\frac{n}{2}$，
∴点A的横坐标满足$x_1 + \frac{b}{2} = \pm \frac{n}{2}$，
将点A代入顶点式得：
$m = (\pm \frac{n}{2})^2 = \frac{1}{4}n^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的判别式，二次函数的顶点式
【点评】
本题将二次函数的性质与点的坐标特征结合考查，解题关键是抓住纵坐标相同的点关于对称轴对称的特点，结合顶点式简化计算，能较好地锻炼对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
解题可按三步推导：①由二次函数与x轴只有1个交点，可知判别式Δ=0，也可将函数改写为顶点式，顶点纵坐标为0；②A、B两点纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，两点横坐标的差为n；③结合函数解析式，利用两点横坐标的关系代入化简，即可得到m与n的数量关系。
【解析】
∵二次函数$y=x^2+bx+c$与$x$轴只有一个交点，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4c = 0$，即$c = \frac{b^2}{4}$，
因此函数可整理为顶点式：$y = (x + \frac{b}{2})^2$。
∵点$A(x_1,m)$、$B(x_1+n,m)$纵坐标相同，
∴A、B关于抛物线的对称轴$x = -\frac{b}{2}$对称，两点到对称轴的距离相等，均为$\frac{n}{2}$，
∴点A的横坐标满足$x_1 + \frac{b}{2} = \pm \frac{n}{2}$，
将点A代入顶点式得：
$m = (\pm \frac{n}{2})^2 = \frac{1}{4}n^2$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性，二次函数的判别式，二次函数的顶点式
【点评】
本题将二次函数的性质与点的坐标特征结合考查，解题关键是抓住纵坐标相同的点关于对称轴对称的特点，结合顶点式简化计算，能较好地锻炼对二次函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
