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1. 商品利润与二次函数:(1) 总利润=
总销售额
- 总成本
=每件商品所获利润
×销售总量
，建立利润与价格之间的函数解析式，求这个函数解析式的顶点纵坐标，即为最大利润;(2) 销售额=销售总量
×售价
;(3) 每件利润=售价
- 进价
.答案
1.(1) 总销售额 总成本 利润 总量 (2) 销售总量 售价 (3) 售价 进价
解析
【分析】
这道题考查商品销售利润相关的基础等量关系，是用二次函数解决最大利润问题的前置知识。解题时只需结合销售场景中各核心量的逻辑关系推导即可：①总利润本质是收入扣除成本的部分，也可通过单件利润乘以总销量计算；②销售额是销售商品得到的总钱款，由销量和单件售价共同决定；③单件利润是单件商品售卖后赚到的差价，为售价减去进货成本。
【解析】
(1) 结合总利润的定义和常用计算方法可知：总利润=总销售额-总成本，同时也等于每件商品所获利润×销售总量，后续求解最大利润时，可将该关系式转化为二次函数，通过求顶点纵坐标得到最大利润。
(2) 销售额是销售商品的总收入，由销售总量和单件售价相乘得到，即销售额=销售总量×售价。
(3) 每件商品的利润是单件商品的售价减去单件的进货成本，即每件利润=售价-进价。
【答案】
1.(1) 总销售额 总成本 利润 总量 (2) 销售总量 售价 (3) 售价 进价
【知识点】
利润问题公式，销售额计算公式，二次函数实际应用
【点评】
本题是利润类实际问题的基础考查，涉及的等量关系是建立利润相关二次函数模型的核心基础，需熟练掌握，为后续求解最大利润类问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
这道题考查商品销售利润相关的基础等量关系，是用二次函数解决最大利润问题的前置知识。解题时只需结合销售场景中各核心量的逻辑关系推导即可：①总利润本质是收入扣除成本的部分，也可通过单件利润乘以总销量计算；②销售额是销售商品得到的总钱款，由销量和单件售价共同决定；③单件利润是单件商品售卖后赚到的差价，为售价减去进货成本。
【解析】
(1) 结合总利润的定义和常用计算方法可知：总利润=总销售额-总成本，同时也等于每件商品所获利润×销售总量，后续求解最大利润时，可将该关系式转化为二次函数，通过求顶点纵坐标得到最大利润。
(2) 销售额是销售商品的总收入，由销售总量和单件售价相乘得到，即销售额=销售总量×售价。
(3) 每件商品的利润是单件商品的售价减去单件的进货成本，即每件利润=售价-进价。
【答案】
1.(1) 总销售额 总成本 利润 总量 (2) 销售总量 售价 (3) 售价 进价
【知识点】
利润问题公式，销售额计算公式，二次函数实际应用
【点评】
本题是利润类实际问题的基础考查，涉及的等量关系是建立利润相关二次函数模型的核心基础，需熟练掌握，为后续求解最大利润类问题做好铺垫。
【难度系数】
0.9
2. 学校小商店进一批纯净水 1 000 瓶，进价每瓶 0.8 元，售价每瓶 1.5 元，售完可得利润
700
元。答案
700
解析
【分析】
拿到本题首先明确所求为售完所有纯净水的总利润，回忆销售问题的核心等量关系：总利润既可以用“单瓶利润×销售总数量”计算，也可以用“总售价-总进价”计算。题目已经直接给出总进货量、单瓶进价和售价，只需将已知量代入对应公式计算即可。
【解析】
解：方法一：先计算单瓶利润
单瓶利润 = 售价 - 进价 = $1.5 - 0.8 = 0.7$（元）
总利润 = 单瓶利润 × 总数量 = $0.7 × 1000 = 700$（元）
方法二：分别计算总售价和总进价
总进价 = 单瓶进价 × 总数量 = $0.8 × 1000 = 800$（元）
总售价 = 单瓶售价 × 总数量 = $1.5 × 1000 = 1500$（元）
总利润 = 总售价 - 总进价 = $1500 - 800 = 700$（元）
【答案】
700
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题是基础的销售类应用题，侧重考察利润相关基本公式的理解和应用，计算量小，理清各数量间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先明确所求为售完所有纯净水的总利润，回忆销售问题的核心等量关系：总利润既可以用“单瓶利润×销售总数量”计算，也可以用“总售价-总进价”计算。题目已经直接给出总进货量、单瓶进价和售价，只需将已知量代入对应公式计算即可。
【解析】
解：方法一：先计算单瓶利润
单瓶利润 = 售价 - 进价 = $1.5 - 0.8 = 0.7$（元）
总利润 = 单瓶利润 × 总数量 = $0.7 × 1000 = 700$（元）
方法二：分别计算总售价和总进价
总进价 = 单瓶进价 × 总数量 = $0.8 × 1000 = 800$（元）
总售价 = 单瓶售价 × 总数量 = $1.5 × 1000 = 1500$（元）
总利润 = 总售价 - 总进价 = $1500 - 800 = 700$（元）
【答案】
700
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题是基础的销售类应用题，侧重考察利润相关基本公式的理解和应用，计算量小，理清各数量间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.9
1. 已知一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，每天可多售出4件. 要使每天获得的利润最大，每件需降价（
A.5元
B.10元
C.0元
D.3.6元
A
）A.5元
B.10元
C.0元
D.3.6元
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。首先设降价的金额为自变量，每天获得的利润为因变量，分别表示出降价后的单件利润和日销售量，据此列出利润关于降价金额的二次函数解析式，再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出对应自变量的值即可，过程中要注意自变量的取值需符合实际意义。
【解析】
设每件需降价$ x $元，每天获得的利润为$ y $元。
由题意得：
降价后单件利润为$ (135-100-x)=(35-x) $元，
降价后日销售量为$ (100+4x) $件，
因此总利润：
$ y=(35-x)(100+4x) $
展开整理得：
$ y=-4x^2+40x+3500 $
该函数是二次函数，且$ a=-4＜0 $，抛物线开口向下，函数有最大值。
根据二次函数最值公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-4)}=5 $时，$ y $取得最大值，即每天获得的利润最大。
因此每件需降价5元。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，计算时要注意验证自变量的取值是否符合实际销售场景。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆销售利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售总量。首先设降价的金额为自变量，每天获得的利润为因变量，分别表示出降价后的单件利润和日销售量，据此列出利润关于降价金额的二次函数解析式，再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，计算出对应自变量的值即可，过程中要注意自变量的取值需符合实际意义。
【解析】
设每件需降价$ x $元，每天获得的利润为$ y $元。
由题意得：
降价后单件利润为$ (135-100-x)=(35-x) $元，
降价后日销售量为$ (100+4x) $件，
因此总利润：
$ y=(35-x)(100+4x) $
展开整理得：
$ y=-4x^2+40x+3500 $
该函数是二次函数，且$ a=-4＜0 $，抛物线开口向下，函数有最大值。
根据二次函数最值公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-4)}=5 $时，$ y $取得最大值，即每天获得的利润最大。
因此每件需降价5元。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算；二次函数解析式；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是准确梳理数量关系列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，计算时要注意验证自变量的取值是否符合实际销售场景。
【难度系数】
0.7
2. 已知某件产品的成本为10元，试销阶段的售价$ x $（单位：元）与销售利润$ y $（单位：元）满足$ y=(x-10)(40-x) $，则获利最多的售价为（
A.10元
B.25元
C.40元
D.55元
B
）A.10元
B.25元
C.40元
D.55元
答案
B
解析
【分析】
本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，要求获利最多的售价，本质是求利润函数取最大值时对应的自变量x的值。观察给出的利润表达式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数在对称轴处取得最大值。我们可以通过两种符合学段要求的方法计算对称轴：一是将表达式展开为一般式，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是利用交点式的两个零点求中点得到对称轴。
【解析】
解法1：将函数展开为一般式：
$y=(x-10)(40-x) = -x^2 + 50x - 400$
其中二次项系数$a=-1＜0$，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数对称轴公式，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2×(-1)} = 25$
即售价为25元时，获利最多。
解法2：$y=(x-10)(40-x)$是二次函数的交点式，令$y=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$，即抛物线与x轴的两个交点为$(10,0)$和$(40,0)$。
抛物线对称轴为两个交点横坐标的中点：
$x = \frac{10+40}{2} = 25$
因为$a=-1＜0$，对称轴处函数取最大值，即售价25元时获利最多。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的基础题型，解题核心是将“求最大利润对应的售价”转化为“求开口向下的二次函数顶点的横坐标”，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，要求获利最多的售价，本质是求利润函数取最大值时对应的自变量x的值。观察给出的利润表达式是二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，因此函数在对称轴处取得最大值。我们可以通过两种符合学段要求的方法计算对称轴：一是将表达式展开为一般式，用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；二是利用交点式的两个零点求中点得到对称轴。
【解析】
解法1：将函数展开为一般式：
$y=(x-10)(40-x) = -x^2 + 50x - 400$
其中二次项系数$a=-1＜0$，说明抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数对称轴公式，顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2×(-1)} = 25$
即售价为25元时，获利最多。
解法2：$y=(x-10)(40-x)$是二次函数的交点式，令$y=0$，解得$x_1=10$，$x_2=40$，即抛物线与x轴的两个交点为$(10,0)$和$(40,0)$。
抛物线对称轴为两个交点横坐标的中点：
$x = \frac{10+40}{2} = 25$
因为$a=-1＜0$，对称轴处函数取最大值，即售价25元时获利最多。
【答案】
B
【知识点】
二次函数最值；二次函数实际应用；二次函数图像性质
【点评】
本题是二次函数解决实际利润问题的基础题型，解题核心是将“求最大利润对应的售价”转化为“求开口向下的二次函数顶点的横坐标”，熟练掌握二次函数的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 已知某商品的销售利润$y$(单位:元)与商品销售单价$x$(单位:元)之间满足$y=-30x^2+1800x-22000$,则获利最多为 （
A.4 500元
B.5 000元
C.500元
D.2 200元
B
）A.4 500元
B.5 000元
C.500元
D.2 200元
答案
B
解析
【分析】
已知销售利润y是销售单价x的二次函数，二次项系数a=-30＜0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或顶点纵坐标公式计算出最大值，即为最多获利的金额。
【解析】
方法一：配方法
对二次函数表达式配方：
$\begin{aligned}y&=-30x^2+1800x-22000\\&=-30(x^2-60x)-22000\\&=-30(x^2-60x+900-900)-22000\\&=-30[(x-30)^2-900]-22000\\&=-30(x-30)^2+27000-22000\\&=-30(x-30)^2+5000\end{aligned}$
因为$-30(x-30)^2≤0$，所以当x=30时，y取得最大值，最大值为5000元。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，就是函数的最值。
本题中$a=-30,b=1800,c=-22000$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-30)×(-22000)-1800^2}{4×(-30)}\\&=\frac{2640000-3240000}{-120}\\&=\frac{-600000}{-120}\\&=5000\end{aligned}$
因此获利最多为5000元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，核心是结合二次函数图象性质判断最值位置，熟练掌握配方法或顶点坐标公式求解二次函数最值即可解题。
【难度系数】
0.8
已知销售利润y是销售单价x的二次函数，二次项系数a=-30＜0，因此抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值就是抛物线顶点的纵坐标，我们可以通过配方法或顶点纵坐标公式计算出最大值，即为最多获利的金额。
【解析】
方法一：配方法
对二次函数表达式配方：
$\begin{aligned}y&=-30x^2+1800x-22000\\&=-30(x^2-60x)-22000\\&=-30(x^2-60x+900-900)-22000\\&=-30[(x-30)^2-900]-22000\\&=-30(x-30)^2+27000-22000\\&=-30(x-30)^2+5000\end{aligned}$
因为$-30(x-30)^2≤0$，所以当x=30时，y取得最大值，最大值为5000元。
方法二：顶点公式法
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，就是函数的最值。
本题中$a=-30,b=1800,c=-22000$，代入得：
$\begin{aligned}y_{\mathrm{max}}&=\frac{4×(-30)×(-22000)-1800^2}{4×(-30)}\\&=\frac{2640000-3240000}{-120}\\&=\frac{-600000}{-120}\\&=5000\end{aligned}$
因此获利最多为5000元。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值；二次函数的实际应用
【点评】
本题考查二次函数在销售利润问题中的应用，核心是结合二次函数图象性质判断最值位置，熟练掌握配方法或顶点坐标公式求解二次函数最值即可解题。
【难度系数】
0.8
4. 某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆.若每张床位每天收费10元，则床位可全部租出；若每张床位每天的收费提高2元，则相应地减少10张床位的租出.如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（
A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
C
）A.14元
B.15元
C.16元
D.18元
答案
C
解析
【分析】
本题属于二次函数的实际最值应用问题，解题思路如下：首先明确总租金=每张床位收费×租出床位数的等量关系；其次根据提价规则设出自变量，列出总租金关于提价次数的二次函数表达式；再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，考虑自变量为整数的实际限制，最后结合“租出床位少且租金高”的要求筛选最优解，同时注意提价以2元为单位的限制，排除不符合要求的选项。
【解析】
设每张床位每天提高$x$个2元（$x$为非负整数），则每张床位收费为$(10+2x)$元，每天租出的床位数为$(100-10x)$张，设每天总租金为$y$元，根据题意得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$
由于$x$为整数，因此需计算$x=2$和$x=3$时的租金：
当$x=2$时，收费为$10+2×2=14$元，租出床位$100-10×2=80$张，总租金$y=14×80=1120$元；
当$x=3$时，收费为$10+2×3=16$元，租出床位$100-10×3=70$张，总租金$y=16×70=1120$元。
两者租金相同，题目要求租出的床位少，因此选择$x=3$的情况，即收费16元。
另外选项B的15元不符合“以2元为单位提高收费”的规则，直接排除；$x=4$时收费18元，总租金为$18×60=1080＜1120$，租金更低，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在经营类问题中的典型应用，解题时不仅要掌握二次函数求最值的方法，还要注意结合实际限制条件筛选结果，不能直接套用顶点数值而忽略实际意义。
【难度系数】
0.7
本题属于二次函数的实际最值应用问题，解题思路如下：首先明确总租金=每张床位收费×租出床位数的等量关系；其次根据提价规则设出自变量，列出总租金关于提价次数的二次函数表达式；再结合二次函数开口向下时顶点处取最大值的性质，考虑自变量为整数的实际限制，最后结合“租出床位少且租金高”的要求筛选最优解，同时注意提价以2元为单位的限制，排除不符合要求的选项。
【解析】
设每张床位每天提高$x$个2元（$x$为非负整数），则每张床位收费为$(10+2x)$元，每天租出的床位数为$(100-10x)$张，设每天总租金为$y$元，根据题意得：
$\begin{aligned}y&=(10+2x)(100-10x)\\&=-20x^2+100x+1000\end{aligned}$
该二次函数开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标为：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$
由于$x$为整数，因此需计算$x=2$和$x=3$时的租金：
当$x=2$时，收费为$10+2×2=14$元，租出床位$100-10×2=80$张，总租金$y=14×80=1120$元；
当$x=3$时，收费为$10+2×3=16$元，租出床位$100-10×3=70$张，总租金$y=16×70=1120$元。
两者租金相同，题目要求租出的床位少，因此选择$x=3$的情况，即收费16元。
另外选项B的15元不符合“以2元为单位提高收费”的规则，直接排除；$x=4$时收费18元，总租金为$18×60=1080＜1120$，租金更低，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的最值；根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是二次函数在经营类问题中的典型应用，解题时不仅要掌握二次函数求最值的方法，还要注意结合实际限制条件筛选结果，不能直接套用顶点数值而忽略实际意义。
【难度系数】
0.7
5. 某商店将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件. 该商店想采用提高售价的办法来增加利润. 经试验发现，这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.
(1) 写出售价x(单位:元/件)与每天所得的利润y(单位:元)之间的函数关系式；
(2) 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
(1) 写出售价x(单位:元/件)与每天所得的利润y(单位:元)之间的函数关系式；
(2) 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
答案
(1) $y=-10x^2+280x-1600(10≤ x≤20)$ (2) 14元
解析
【分析】
本题是销售类二次函数应用题，解题思路如下：(1) 求解利润函数关系式，需先明确利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。首先单件利润为售价减去进价，再根据“每提价1元销量减少10件”的条件，用售价x表示出对应的销售量，还要结合实际意义确定售价x的取值范围（售价不低于初始售价，且销售量不能为负数），最后代入等量关系化简即可得到函数式。(2) 求最大利润对应的售价，因为所得函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，结合二次函数顶点坐标公式，即可求出对应售价，注意验证所求售价是否在自变量取值范围内。
【解析】
(1) 由题意可知：
每件商品的利润为：$(x - 8)$元
售价为x元时，比初始售价10元提高了$(x - 10)$元，因此销售量减少$10(x - 10)$件，
此时的销售量为：$100 - 10(x - 10) = 200 - 10x$ 件
结合实际意义，售价需满足：$\begin{cases}x ≥ 10 \\ 200 - 10x ≥ 0\end{cases}$，解得$10 ≤ x ≤ 20$
总利润$y = 单件利润 × 销售量$，代入得：
$y = (x - 8)(200 - 10x)$
展开化简：
$y = 200x - 10x^2 - 1600 + 80x = -10x^2 + 280x - 1600$
即函数关系式为$y=-10x^2+280x-1600(10≤ x≤20)$
(2) 对于二次函数$y=-10x^2+280x-1600$，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=280$得：
$x = -\frac{280}{2×(-10)} = 14$
$14$在$10≤x≤20$的取值范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=-10x^2+280x-1600(10≤ x≤20)$ (2) 14元
【知识点】
1. 销售利润问题 2. 二次函数解析式求解 3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是抓住总利润的等量关系列函数式，求解最值时要注意结合自变量的实际取值范围验证结果的合理性，是巩固二次函数实际应用的经典题型。
【难度系数】
0.7
本题是销售类二次函数应用题，解题思路如下：(1) 求解利润函数关系式，需先明确利润的核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。首先单件利润为售价减去进价，再根据“每提价1元销量减少10件”的条件，用售价x表示出对应的销售量，还要结合实际意义确定售价x的取值范围（售价不低于初始售价，且销售量不能为负数），最后代入等量关系化简即可得到函数式。(2) 求最大利润对应的售价，因为所得函数是开口向下的二次函数，顶点处取得最大值，结合二次函数顶点坐标公式，即可求出对应售价，注意验证所求售价是否在自变量取值范围内。
【解析】
(1) 由题意可知：
每件商品的利润为：$(x - 8)$元
售价为x元时，比初始售价10元提高了$(x - 10)$元，因此销售量减少$10(x - 10)$件，
此时的销售量为：$100 - 10(x - 10) = 200 - 10x$ 件
结合实际意义，售价需满足：$\begin{cases}x ≥ 10 \\ 200 - 10x ≥ 0\end{cases}$，解得$10 ≤ x ≤ 20$
总利润$y = 单件利润 × 销售量$，代入得：
$y = (x - 8)(200 - 10x)$
展开化简：
$y = 200x - 10x^2 - 1600 + 80x = -10x^2 + 280x - 1600$
即函数关系式为$y=-10x^2+280x-1600(10≤ x≤20)$
(2) 对于二次函数$y=-10x^2+280x-1600$，其中$a=-10＜0$，因此抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
根据二次函数顶点横坐标公式$x = -\frac{b}{2a}$，代入$a=-10$，$b=280$得：
$x = -\frac{280}{2×(-10)} = 14$
$14$在$10≤x≤20$的取值范围内，符合题意。
【答案】
(1) $y=-10x^2+280x-1600(10≤ x≤20)$ (2) 14元
【知识点】
1. 销售利润问题 2. 二次函数解析式求解 3. 二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数在销售问题中的典型应用，解题核心是抓住总利润的等量关系列函数式，求解最值时要注意结合自变量的实际取值范围验证结果的合理性，是巩固二次函数实际应用的经典题型。
【难度系数】
0.7
