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5. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A，B，C，其中，B点坐标为(4,4)，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（
A.(2,1)
B.(2,2)
C.(2,0)
D.(2,-1)
C
）A.(2,1)
B.(2,2)
C.(2,0)
D.(2,-1)
答案
5. C
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，且圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点。首先结合网格确定A、B、C三点的坐标，先求水平线段AB的垂直平分线，可直接得到圆心的横坐标，再设圆心纵坐标为未知数，利用圆心到B、C两点距离相等列方程求解即可。
【解析】
根据网格和已知B点坐标(4,4)，可得A点坐标为(0,4)，C点坐标为(6,2)。
1. 求AB的垂直平分线：A(0,4)、B(4,4)两点纵坐标相同，AB为水平线段，其中点横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
2. 设圆心坐标为$(2,y)$，根据圆心到圆上各点距离相等，圆心到B的距离等于到C的距离，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-2)^2 + (4-y)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (2-y)^2}$
两边同时平方去掉根号：
$2^2 + (4-y)^2 = 4^2 + (2-y)^2$
展开计算：
$4 + 16 -8y + y^2 = 16 +4 -4y + y^2$
消去两侧相同项后化简得：$-8y=-4y$，解得$y=0$。
因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、两点间距离公式、线段垂直平分线性质
【点评】
本题核心是利用圆的性质确定圆心位置，结合坐标系特点可简化计算，也可通过直接作两条弦的垂直平分线找交点验证结果，是圆的基本性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意点的距离相等，且圆心是圆上任意两条弦的垂直平分线的交点。首先结合网格确定A、B、C三点的坐标，先求水平线段AB的垂直平分线，可直接得到圆心的横坐标，再设圆心纵坐标为未知数，利用圆心到B、C两点距离相等列方程求解即可。
【解析】
根据网格和已知B点坐标(4,4)，可得A点坐标为(0,4)，C点坐标为(6,2)。
1. 求AB的垂直平分线：A(0,4)、B(4,4)两点纵坐标相同，AB为水平线段，其中点横坐标为$\frac{0+4}{2}=2$，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，即圆心的横坐标为2。
2. 设圆心坐标为$(2,y)$，根据圆心到圆上各点距离相等，圆心到B的距离等于到C的距离，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(4-2)^2 + (4-y)^2} = \sqrt{(6-2)^2 + (2-y)^2}$
两边同时平方去掉根号：
$2^2 + (4-y)^2 = 4^2 + (2-y)^2$
展开计算：
$4 + 16 -8y + y^2 = 16 +4 -4y + y^2$
消去两侧相同项后化简得：$-8y=-4y$，解得$y=0$。
因此圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、两点间距离公式、线段垂直平分线性质
【点评】
本题核心是利用圆的性质确定圆心位置，结合坐标系特点可简化计算，也可通过直接作两条弦的垂直平分线找交点验证结果，是圆的基本性质的常规应用题型。
【难度系数】
0.7
6. 下列说法正确的是 （
A.相等的圆心角所对的弧相等
B.三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点
C.三点确定一个圆
D.三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
B
）A.相等的圆心角所对的弧相等
B.三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点
C.三点确定一个圆
D.三角形的内心到三角形各顶点的距离都相等
答案
6. B
解析
【分析】
本题是圆相关基础概念的辨析题，解题时需逐一核对每个选项对应的知识点，注意各概念成立的前提条件，通过排除错误选项得到正确答案。首先回忆圆心角与弧的关系、三角形外心定义、确定圆的条件、三角形内心的性质四个知识点，逐个判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，该选项缺少“同圆或等圆”的前提条件，说法错误；
B. 三角形的外心的定义就是三角形各边垂直平分线的交点，说法正确；
C. 只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线无法作出过三点的圆，该选项缺少“不在同一直线上”的前提，说法错误；
D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等，到三角形各顶点距离相等的是三角形的外心，说法错误。
综上，只有B选项说法正确。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；三角形的外心与内心；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对圆和三角形相关核心概念的掌握，解题的关键是准确记忆各概念的限制条件，切忌忽略前提只记结论导致判断错误。
【难度系数】
0.75
本题是圆相关基础概念的辨析题，解题时需逐一核对每个选项对应的知识点，注意各概念成立的前提条件，通过排除错误选项得到正确答案。首先回忆圆心角与弧的关系、三角形外心定义、确定圆的条件、三角形内心的性质四个知识点，逐个判断正误即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，该选项缺少“同圆或等圆”的前提条件，说法错误；
B. 三角形的外心的定义就是三角形各边垂直平分线的交点，说法正确；
C. 只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线无法作出过三点的圆，该选项缺少“不在同一直线上”的前提，说法错误；
D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等，到三角形各顶点距离相等的是三角形的外心，说法错误。
综上，只有B选项说法正确。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质；三角形的外心与内心；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念类考题，主要考查对圆和三角形相关核心概念的掌握，解题的关键是准确记忆各概念的限制条件，切忌忽略前提只记结论导致判断错误。
【难度系数】
0.75
7. 如图,不在同一条直线上三点A,B,C.
(1) 请用尺规作图的方法,作一圆经过A,B,C三点(要求:保留作图痕迹,不写作法,并将作图痕迹用黑色签字笔描黑);
(2) 设该圆的圆心为点O,回答下列问题.
① 点O是△ABC的
② 若∠BAC=80°,则∠BOC=
(1) 请用尺规作图的方法,作一圆经过A,B,C三点(要求:保留作图痕迹,不写作法,并将作图痕迹用黑色签字笔描黑);
(2) 设该圆的圆心为点O,回答下列问题.
① 点O是△ABC的
外
心;② 若∠BAC=80°,则∠BOC=
$160°$
.答案
7. (1) 如图所示
. (2) ① 外 提示:根据图中作法,点O为△ABC边上的中垂线交点,即为△ABC的外心. ② $160°$解析
【分析】
(1) 要作经过不在同一直线上A、B、C三点的圆，需先确定圆心：根据过三点的圆的圆心性质，圆心到A、B、C三点距离相等，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可。
(2) ① 回忆三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，据此判断即可。② 要求∠BOC的度数，观察两角的位置：∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理即可推出二者的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条线交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆，所得圆即为过A、B、C三点的圆，作图痕迹如图所示。
(2) ① 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，是△ABC外接圆的圆心，因此是△ABC的外心。
② 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BAC和∠BOC都是弧BC所对的角，∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，因此∠BOC=2∠BAC=2×80°=160°。
【答案】
(1) 如图所示
(2) ① 外 ② $160°$
【知识点】
确定圆的条件、三角形的外心、圆周角定理
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了尺规作图作三角形外接圆、外心的定义以及圆周角定理的应用，难度较低，熟练掌握相关基础概念和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
(1) 要作经过不在同一直线上A、B、C三点的圆，需先确定圆心：根据过三点的圆的圆心性质，圆心到A、B、C三点距离相等，因此只需作出△ABC任意两边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再以O为圆心、OA长为半径画圆即可。
(2) ① 回忆三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点是三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，据此判断即可。② 要求∠BOC的度数，观察两角的位置：∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理即可推出二者的数量关系，代入数值计算即可。
【解析】
(1) 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条线交于点O，以O为圆心，OA为半径作圆，所得圆即为过A、B、C三点的圆，作图痕迹如图所示。
(2) ① 点O是△ABC三边垂直平分线的交点，是△ABC外接圆的圆心，因此是△ABC的外心。
② 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，∠BAC和∠BOC都是弧BC所对的角，∠BAC是圆周角，∠BOC是圆心角，因此∠BOC=2∠BAC=2×80°=160°。
【答案】
(1) 如图所示
(2) ① 外 ② $160°$
【知识点】
确定圆的条件、三角形的外心、圆周角定理
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了尺规作图作三角形外接圆、外心的定义以及圆周角定理的应用，难度较低，熟练掌握相关基础概念和定理即可快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在矩形ABCD中，E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿PE折叠，得到△PFE，连接CF。若AB=10，BC=12，当CF取最小值时，BP的值等于
$\dfrac{10}{3}$
。答案
1. $\dfrac{10}{3}$
解析
【分析】
首先根据折叠性质确定动点F的运动轨迹：折叠后EF始终等于EB=5，因此F在以E为圆心、半径为5的圆上。其次找CF取最小值的位置：根据点到圆上点的最短距离规律，当E、F、C三点共线且F在E、C之间时，CF最小。最后利用折叠性质和勾股定理列方程求解BP的长度即可。
【解析】
解：
∵E为AB中点，AB=10，
∴EB=5。
由折叠的性质可得：EF=EB=5，PF=BP，∠EFP=∠B=90°。
∴点F的轨迹是以E为圆心，5为半径的圆，当C、F、E三点共线时，CF取得最小值。
在Rt△EBC中，EB=5，BC=12，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
此时$FC=EC-EF=13-5=8$。
设$BP=x$，则$PF=x$，$PC=12-x$，
∵E、F、C共线，∠EFP=90°，
∴∠PFC=90°。
在Rt△PFC中，由勾股定理得：$PF^2+FC^2=PC^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，
展开化简得：$24x=80$，
解得$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
折叠的性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类综合题，解题的核心是先判断出动点的运动轨迹，找到线段取最小值的临界位置，再结合图形性质列方程求解，对动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
首先根据折叠性质确定动点F的运动轨迹：折叠后EF始终等于EB=5，因此F在以E为圆心、半径为5的圆上。其次找CF取最小值的位置：根据点到圆上点的最短距离规律，当E、F、C三点共线且F在E、C之间时，CF最小。最后利用折叠性质和勾股定理列方程求解BP的长度即可。
【解析】
解：
∵E为AB中点，AB=10，
∴EB=5。
由折叠的性质可得：EF=EB=5，PF=BP，∠EFP=∠B=90°。
∴点F的轨迹是以E为圆心，5为半径的圆，当C、F、E三点共线时，CF取得最小值。
在Rt△EBC中，EB=5，BC=12，由勾股定理得：
$EC=\sqrt{EB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
此时$FC=EC-EF=13-5=8$。
设$BP=x$，则$PF=x$，$PC=12-x$，
∵E、F、C共线，∠EFP=90°，
∴∠PFC=90°。
在Rt△PFC中，由勾股定理得：$PF^2+FC^2=PC^2$，
即$x^2+8^2=(12-x)^2$，
展开化简得：$24x=80$，
解得$x=\frac{10}{3}$。
【答案】
$\dfrac{10}{3}$
【知识点】
折叠的性质，点与圆的位置关系，勾股定理
【点评】
本题属于几何最值类综合题，解题的核心是先判断出动点的运动轨迹，找到线段取最小值的临界位置，再结合图形性质列方程求解，对动态分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
2. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知点$A(0,4),B(-4,4),C(-6,2)$都在$\odot M$上,则$\odot M$的半径为（
A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}+2$
C
）A.$2\sqrt{5}-2$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$2\sqrt{5}+2$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定⊙M的半径，首先需要找到圆心M的坐标。由于圆心到圆上任意三点的距离相等，且点A、B纵坐标相同，因此线段AB是水平线段，其垂直平分线为竖直线，可先求出AB的垂直平分线，确定圆心横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解圆心纵坐标，最后计算半径即可。
【解析】
第一步：求线段AB的垂直平分线
已知A(0,4)，B(-4,4)，两点纵坐标相等，因此AB平行于x轴，AB中点的横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标为4，所以AB的垂直平分线为直线$x=-2$，即圆心M在直线$x=-2$上。
第二步：设圆心坐标并列方程
设圆心M的坐标为$(-2,a)$，由于MA、MC都是⊙M的半径，因此$MA=MC$。
根据两点间距离公式：
$MA=\sqrt{(-2-0)^2+(a-4)^2}$，$MC=\sqrt{(-2-(-6))^2+(a-2)^2}$
因此有$\sqrt{(-2)^2+(a-4)^2}=\sqrt{4^2+(a-2)^2}$
两边同时平方得：$4+(a-4)^2=16+(a-2)^2$
展开计算：$4+a^2-8a+16=16+a^2-4a+4$
化简得：$-8a=-4a$，解得$a=0$，即圆心M坐标为$(-2,0)$。
第三步：计算半径
$MA=\sqrt{(-2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即⊙M的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 外接圆圆心性质 2. 垂直平分线性质 3. 两点间距离公式
【点评】
本题考查过三点确定圆的半径的求解，解题关键是利用已知点的坐标特征简化圆心坐标的设定，再结合圆心到圆上各点距离相等的性质列方程求解，是圆相关性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要确定⊙M的半径，首先需要找到圆心M的坐标。由于圆心到圆上任意三点的距离相等，且点A、B纵坐标相同，因此线段AB是水平线段，其垂直平分线为竖直线，可先求出AB的垂直平分线，确定圆心横坐标，再设出圆心坐标，利用圆心到A、C两点距离相等列方程求解圆心纵坐标，最后计算半径即可。
【解析】
第一步：求线段AB的垂直平分线
已知A(0,4)，B(-4,4)，两点纵坐标相等，因此AB平行于x轴，AB中点的横坐标为$\frac{0+(-4)}{2}=-2$，纵坐标为4，所以AB的垂直平分线为直线$x=-2$，即圆心M在直线$x=-2$上。
第二步：设圆心坐标并列方程
设圆心M的坐标为$(-2,a)$，由于MA、MC都是⊙M的半径，因此$MA=MC$。
根据两点间距离公式：
$MA=\sqrt{(-2-0)^2+(a-4)^2}$，$MC=\sqrt{(-2-(-6))^2+(a-2)^2}$
因此有$\sqrt{(-2)^2+(a-4)^2}=\sqrt{4^2+(a-2)^2}$
两边同时平方得：$4+(a-4)^2=16+(a-2)^2$
展开计算：$4+a^2-8a+16=16+a^2-4a+4$
化简得：$-8a=-4a$，解得$a=0$，即圆心M坐标为$(-2,0)$。
第三步：计算半径
$MA=\sqrt{(-2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，即⊙M的半径为$2\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 外接圆圆心性质 2. 垂直平分线性质 3. 两点间距离公式
【点评】
本题考查过三点确定圆的半径的求解，解题关键是利用已知点的坐标特征简化圆心坐标的设定，再结合圆心到圆上各点距离相等的性质列方程求解，是圆相关性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
