1. 确定一个圆的条件是和.

1. 圆心 半径

【分析】
我们可以从圆的定义出发思考解题思路：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点决定圆的位置，定长决定圆的大小，要唯一确定一个圆，就需要同时明确决定它位置和大小的两个核心要素。
【解析】
根据圆的定义，平面内到定点（即圆心）的距离等于定长（即半径）的所有点组成的图形叫做圆。其中圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只有同时确定圆心和半径这两个条件，才能唯一确定一个圆。
【答案】
圆心；半径
【知识点】
圆的定义；确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念考查题，侧重对圆的基本要素的记忆和理解，掌握相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 过一点可以作个圆；过两点可以作个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的上；过不在同一条直线上的三个点可以作个并且只可以作个圆。

2. 无数 无数 垂直平分线 一 一

【分析】
我们可以结合圆的定义和线段垂直平分线的性质逐步推导：①圆的定义是到定点的距离等于定长的点的集合，过一点作圆时，圆心和半径的选择限制很少；②过两点作圆时，圆心需满足到两个点的距离相等，可联系垂直平分线的性质推导圆心的位置；③过不在同一直线上的三点作圆时，需同时满足圆心到三个点的距离都相等，可通过两条垂直平分线交点的唯一性推导圆的个数。
【解析】
1. 过一点作圆：平面内除该点外的任意点都可作为圆心，半径为圆心到该点的距离，因此可以作无数个圆；
2. 过两点作圆：圆心需要到这两个点的距离相等，根据“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，可知所有符合条件的圆心都在两点所连线段的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可以作无数个圆；
3. 过不在同一直线上的三个点作圆：分别作任意两点连线的垂直平分线，两条垂直平分线有且只有1个交点，这个交点到三个点的距离相等，是唯一的圆心，半径也随之唯一确定，因此可以作一个并且只可以作一个圆。
【答案】
无数 无数 垂直平分线 一 一
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；确定圆的条件
【点评】
本题是基础概念题，核心考查过不同点数作圆的相关结论，需要在理解圆的定义和垂直平分线性质的基础上记忆相关结论，是圆相关基础概念的常见考查题型。
【难度系数】
0.9

1. 若平面直角坐标系中的点$A(2,2),B(-1,-1),C(m,3)$不能确定一个圆,则$m$的值是________.

1. 3

【分析】
要解决这个问题，首先明确“三个点不能确定一个圆”的等价条件：不在同一直线上的三个点确定唯一的圆，若三点不能确定圆，则三点共线。因此我们可以先求出点A、B所在直线的解析式，再将点C的坐标代入解析式，即可求解m的值。
【解析】
∵ 不在同一直线上的三个点确定一个圆，点A、B、C不能确定一个圆
∴ A、B、C三点在同一条直线上
设过A(2,2)、B(-1,-1)的直线解析式为$y=kx+b$，将两点坐标代入得：
$\begin{cases} 2k + b = 2 \\ -k + b = -1 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程，得$3k=3$，解得$k=1$
将$k=1$代入$-k + b = -1$，得$-1 + b = -1$，解得$b=0$
∴ 直线AB的解析式为$y=x$
∵ 点C(m,3)在直线$y=x$上
∴ 把$y=3$代入解析式得：$3 = m$，即$m=3$
【答案】
3
【知识点】
确定圆的条件；待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将确定圆的条件与一次函数知识相结合，解题关键是将“三点不能确定圆”转化为“三点共线”的条件，再代入求解即可，整体解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7

2. 如图,在坐标系中,A(1,6),B(5,6),C(7,4).

（1）在网格中画出经过A,B,C三点的圆弧所在圆的圆心M,并写出M的坐标为；
（2）这个圆的半径长为；
（3）直接判断点D(5,−3)与⊙M的位置关系,点D(5,−3)在⊙M.(选填“内”“外”或“上”).

2. （1）如图 (3,2) （2）$2\sqrt{5}$ （3）外 提示:(1) $\because A(1,6),B(5,6),\therefore AB$ 的垂直平分线所在直线为 $x=3,\therefore$ 圆心 $M$ 在直线为 $x=3$, 设 $M(3,m),\therefore MA=MC,\therefore 4+(m-6)^2=16+(m-4)^2$,解得 $m=2,\therefore M(3,2).$ （2）$\because M(3,2),A(1,6),\therefore MA=\sqrt{(1-3)^2+(6-2)^2}=2\sqrt{5},$ $\therefore$ 圆的半径长为 $2\sqrt{5}.$ （3）$\because M(3,2),D(5,-3),\therefore MD=\sqrt{(5-3)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{29}.$ $\because \sqrt{29}＞\sqrt{20}=2\sqrt{5},\therefore$ 点 $D(5,-3)$ 在$\odot M$外.

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
1. 找圆心：根据“不在同一直线上的三点确定的圆的圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点”。观察A、B两点纵坐标相同，可知AB为水平线段，它的垂直平分线是竖直直线$x=\frac{1+5}{2}=3$，因此圆心M的横坐标为3，设M坐标为$(3,m)$，再利用“圆心到圆上各点距离相等”，即$MA=MC$，列方程即可求出m，得到M的坐标。
2. 求半径：利用两点间距离公式，计算圆心M到点A的距离就是圆的半径。
3. 判断点与圆的位置关系：计算点D到圆心M的距离，与半径比较大小：若距离＞半径，点在圆外；若距离=半径，点在圆上；若距离＜半径，点在圆内。
【解析】
（1）$\because A(1,6),B(5,6)$，两点纵坐标相同，$\therefore AB$为水平线段，其垂直平分线为直线$x=\frac{1+5}{2}=3$，故圆心M在直线$x=3$上，设$M(3,m)$。
$\because MA=MC$（都是圆的半径），根据两点间距离公式列方程：
$\sqrt{(3-1)^2+(m-6)^2}=\sqrt{(3-7)^2+(m-4)^2}$
两边平方得：$(3-1)^2+(m-6)^2=(3-7)^2+(m-4)^2$
化简：$4+m^2-12m+36=16+m^2-8m+16$
整理得：$40-12m=32-8m$
解得：$m=2$
$\therefore$ 圆心M的坐标为$(3,2)$，作图如图所示。
（2）计算半径，取$MA$计算：
$MA=\sqrt{(1-3)^2+(6-2)^2}=\sqrt{(-2)^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
即圆的半径长为$2\sqrt{5}$。
（3）计算点$D(5,-3)$到圆心M的距离$MD$：
$MD=\sqrt{(5-3)^2+(-3-2)^2}=\sqrt{2^2+(-5)^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
$\because \sqrt{29}＞2\sqrt{5}$（$2\sqrt{5}=\sqrt{20}$）
$\therefore$ 点D在$\odot M$外。
【答案】
（1）如图 $(3,2)$ （2）$2\sqrt{5}$ （3）外
【知识点】
确定圆的条件；两点间距离公式；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查了过三点的圆的圆心确定方法、半径计算以及点与圆位置关系的判断，解题的核心是理解圆心是弦的垂直平分线的交点，熟练运用两点间距离公式进行计算，属于基础类题型，能有效巩固相关基础知识点。
【难度系数】
0.7

3. 下列命题不正确的是 （）

A.过一点可以作无数个圆
B.直角三角形的外接圆的直径为直角三角形的斜边
C.过三点能作一个圆
D.三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点

3. C

【分析】
本题属于圆的基础概念辨析题，解题时需逐个结合对应知识点判断选项命题的正误：首先回忆确定圆的条件、直角三角形外接圆特点、三角形外心的定义三个核心知识点，再逐一验证每个选项的表述是否严谨，最终选出错误的命题即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 过平面内任意一点时，圆心可选取该点外的任意位置，半径为圆心到该点的距离，因此可以作无数个圆，该命题正确，不符合题意；
B. 直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心，因此直角三角形外接圆的直径就是它的斜边，该命题正确，不符合题意；
C. 只有过不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，若三个点共线，则不存在同时经过这三个点的圆，选项未说明三点不共线，因此该命题错误，符合题意；
D. 三角形的外心定义为三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，该命题正确，不符合题意。
综上，本题选错误的命题，答案为C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三角形外心的定义；直角三角形外接圆特征
【点评】
本题是基础概念类考题，易错点在于忽略“三点不共线”是过三点作圆的前提条件，熟练掌握圆的相关基础定义就能快速准确作答。
【难度系数】
0.8

4. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）


A.①
B.②
C.③
D.④

4. A

【分析】
要配到和原来大小一致的圆形镜子，本质是要还原原圆，即确定原圆的圆心和半径。首先回忆圆的确定定理：不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆。要找到三个在原圆周上的不共线的点，就需要碎片保留一段连续的原圆周弧。观察四块碎片：只有碎片①带有较长的完整原圆周弧，其余碎片的圆弧过短，无法选取足够的不共线点确定圆，因此选择带碎片①即可。
【解析】
要确定原圆形镜子的大小，需先确定原圆的圆心和半径。根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理：
1. 若碎片包含一段足够长的原圆周弧，就可以在弧上任选3个不共线的点；
2. 分别作其中两组点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到任意一个点的距离就是原圆的半径，由此可还原原圆。
观察四块碎片，仅碎片①保留了较长的连续原圆周弧，满足确定原圆的条件，其余碎片的圆弧长度不足，无法确定原圆的圆心和半径。因此小明应带碎片①去商店。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；垂直平分线的应用
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关性质的应用，需要学生将实际问题转化为数学问题求解，解题核心是理解“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的原理，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8