7. 如图,以点 O 为圆心的同心圆中,大圆的弦 AB 分别交小圆于 C,D 两点.
(1) 求证:$∠ AOC=∠ BOD$;
(2) 求证:$AC=BD$.

7. 证明:(1) $\because OA=OB,\therefore ∠ A=∠ B. \because OC=OD,\therefore ∠ OCD=∠ ODC. \because ∠ AOC=∠ OCD-∠ A,∠ BOD=∠ ODC-∠ B,\therefore ∠ AOC=∠ BOD.$
(2) $\because OA=OB,∠ AOC=∠ BOD,OC=OD, \therefore △ AOC≌ △ BOD(\mathrm{SAS}),\therefore AC = BD.$

【分析】
(1) 要证明$∠ AOC=∠ BOD$，首先利用同圆半径相等的性质，可得$OA=OB$、$OC=OD$，根据等腰三角形两底角相等，可推出$∠ A=∠ B$，$∠ OCD=∠ ODC$；再结合三角形外角的性质，可得$∠ OCD=∠ A+∠ AOC$，$∠ ODC=∠ B+∠ BOD$，变形后通过等量代换即可证明两个角相等。
(2) 要证明$AC=BD$，可通过证明两条线段所在的$△ AOC$和$△ BOD$全等实现：已知$OA=OB$，$OC=OD$，结合第(1)问已证的$∠ AOC=∠ BOD$，满足全等三角形的SAS判定条件，证明全等后对应边相等，即可得$AC=BD$。
【解析】
(1) 证明：$\because OA=OB$，$\therefore ∠ A=∠ B$。$\because OC=OD$，$\therefore ∠ OCD=∠ ODC$。$\because ∠ AOC=∠ OCD-∠ A$，$∠ BOD=∠ ODC-∠ B$，$\therefore ∠ AOC=∠ BOD$。
(2) 证明：在$△ AOC$和$△ BOD$中，$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ ∠ AOC=∠ BOD\\ OC=OD\end{array} $，$\therefore △ AOC≌△ BOD(\mathrm{SAS})$，$\therefore AC=BD$。
【答案】
(1) $∠ AOC=∠ BOD$，得证；
(2) $AC=BD$，得证。
【知识点】
圆的基本性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题型，解题核心是利用同圆半径相等得到相等的边，再结合三角形的相关性质推导角相等、证明全等，进而得到待证结论，侧重对基础知识的应用考查。
【难度系数】
0.8

8. 如图，在 $△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°, AC = 3, BC = 4, AB$ 的中点为点 $M$.
（1）以点 $C$ 为圆心，3 为半径作 $\odot C$，则点 $A,B,M$ 分别与 $\odot C$ 有怎样的位置关系？
（2）若以 $C$ 为圆心作 $\odot C$，使 $A,B,M$ 三点中至少有一点在 $\odot C$ 内，且至少有一点在 $\odot C$ 外，求 $\odot C$ 的半径 $r$ 的取值范围.

8. (1) $\because$在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=3,BC=4,AB$ 的中点为点 $M$,$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$,$CM=\frac{1}{2}AB=2.5. \because$以点 $C$ 为圆心,3 为半径作$\odot C$,$\therefore AC=3$,则点 $A$ 在圆上,$CM=2.5＜3$,则点 $M$ 在圆内,$BC=4＞3$,则点 $B$ 在圆外.
(2)以点 $C$ 为圆心作$\odot C$,使 $A,B,M$ 三点中至少有一点在$\odot C$内时,$r＞2.5$,当至少有一点在$\odot C$外时,$r＜4$,故$\odot C$的半径 $r$ 的取值范围为 $2.5＜r＜4.$

【分析】
解本题的核心是掌握点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，当d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内，d＞r时点在圆外。
第（1）问：先利用勾股定理求出直角三角形斜边AB的长度，再结合“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的性质求出点M到C的距离，最后分别将点A、B、M到C的距离和半径3对比，即可判断三点与圆的位置关系。
第（2）问：要满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，只需让半径大于三个点到C距离的最小值，同时小于三个点到C距离的最大值，找到对应最值即可确定r的取值范围。
【解析】
（1）在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵M是AB的中点，
∴$CM=\frac{1}{2}AB=2.5$，
已知$\odot C$半径$r=3$：
∵$AC=3=r$，
∴点A在$\odot C$上；
∵$CM=2.5＜3$，
∴点M在$\odot C$内；
∵$BC=4＞3$，
∴点B在$\odot C$外。
（2）点A、B、M到圆心C的距离分别为3、4、2.5，最小距离为2.5，最大距离为4，
要使三点中至少有一点在$\odot C$内，需满足$r＞2.5$，
要使三点中至少有一点在$\odot C$外，需满足$r＜4$，
因此$\odot C$的半径r的取值范围为$2.5＜r＜4$。
【答案】
（1）点A在$\odot C$上，点M在$\odot C$内，点B在$\odot C$外；
（2）$2.5＜r＜4$
【知识点】
点与圆的位置关系、勾股定理、直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查点和圆位置关系的判定方法，解题关键是准确求出各点到圆心的距离，结合距离和半径的大小关系求解，第二问注意分析“至少”对应的边界条件，避免取到不符合要求的边界值。
【难度系数】
0.8