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6. 如图，CD是$\odot O$的直径，E为$\odot O$上一点，$∠ EOD=48°$，A为DC延长线上一点，AE交$\odot O$于点B，且$AB=OC$，求$∠ A$的度数. 
答案
6. 连接OB,$\therefore OB=OE,\therefore ∠ OBE=∠ E. \ \because AB=OB,\therefore ∠ A=∠ AOB,\therefore ∠ E=∠ OBE=2∠ A.$ 又$∠ DOE=∠ A+∠ E=48°,\therefore ∠ A=16°.$
解析
【分析】
解题时首先结合圆的半径相等的性质，已知AB=OC，OC是⊙O的半径，因此可通过连接辅助线OB，将AB与圆的半径建立等量关系，构造等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导∠E与∠A的数量关系；最后利用∠EOD是△AOE的外角，代入已知角度建立等式即可求解∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵OB、OC、OE均为⊙O的半径，
∴OB=OC=OE，
∵AB=OC，
∴AB=OB，
∴△ABO为等腰三角形，∠A=∠AOB，
∵∠OBE是△ABO的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，
又
∵OB=OE，
∴△OBE为等腰三角形，∠E=∠OBE=2∠A，
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠A+∠E，
已知∠EOD=48°，代入得：
∠A + 2∠A = 48°，
即3∠A=48°，
解得∠A=16°。
【答案】
16°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用圆中半径相等的隐含条件，通过作辅助线构造等腰三角形，结合三角形外角的性质梳理角度之间的数量关系，进而求解未知角的度数。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合圆的半径相等的性质，已知AB=OC，OC是⊙O的半径，因此可通过连接辅助线OB，将AB与圆的半径建立等量关系，构造等腰三角形；再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，推导∠E与∠A的数量关系；最后利用∠EOD是△AOE的外角，代入已知角度建立等式即可求解∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵OB、OC、OE均为⊙O的半径，
∴OB=OC=OE，
∵AB=OC，
∴AB=OB，
∴△ABO为等腰三角形，∠A=∠AOB，
∵∠OBE是△ABO的外角，
∴∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，
又
∵OB=OE，
∴△OBE为等腰三角形，∠E=∠OBE=2∠A，
∵∠EOD是△AOE的外角，
∴∠EOD=∠A+∠E，
已知∠EOD=48°，代入得：
∠A + 2∠A = 48°，
即3∠A=48°，
解得∠A=16°。
【答案】
16°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是利用圆中半径相等的隐含条件，通过作辅助线构造等腰三角形，结合三角形外角的性质梳理角度之间的数量关系，进而求解未知角的度数。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,求证:A,B,C,D四点在同一个圆上.
答案
7. 证明:如图,连AC,取AC的中点O,连接OB,OD,$\because ∠ B=∠ D=90°,\therefore OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC.$ 即$OB=OA=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在同一圆上.
解析
【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知∠B和∠D都是直角，二者所对的公共边为AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以连接AC，取AC的中点O，再连接OB、OD，通过证明OA=OB=OC=OD，即可得出四点共圆的结论。
【解析】
证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ 在Rt△ABC中，OB是斜边AC的中线，因此$OB=\frac{1}{2}AC=OA=OC$；
在Rt△ADC中，OD是斜边AC的中线，因此$OD=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。
由此可得$OB=OA=OC=OD$，即A、B、C、D四个点到点O的距离相等，
∴ A、B、C、D四点在同一个圆上。
【答案】
证明:如图,连AC,取AC的中点O,连接OB,OD,$\because ∠ B=∠ D=90°,\therefore OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC.$ 即$OB=OA=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在同一圆上.
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆的定义
3. 四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题关键是利用两个直角三角形公共斜边的中点作为圆心，结合直角三角形的性质证明各点到圆心的距离相等，这种辅助线构造方法在涉及直角和共圆问题中经常用到。
【难度系数】
0.7
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。观察图形可知∠B和∠D都是直角，二者所对的公共边为AC，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以连接AC，取AC的中点O，再连接OB、OD，通过证明OA=OB=OC=OD，即可得出四点共圆的结论。
【解析】
证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD。
∵ ∠B=∠D=90°，
∴ 在Rt△ABC中，OB是斜边AC的中线，因此$OB=\frac{1}{2}AC=OA=OC$；
在Rt△ADC中，OD是斜边AC的中线，因此$OD=\frac{1}{2}AC=OA=OC$。
由此可得$OB=OA=OC=OD$，即A、B、C、D四个点到点O的距离相等，
∴ A、B、C、D四点在同一个圆上。
【答案】
证明:如图,连AC,取AC的中点O,连接OB,OD,$\because ∠ B=∠ D=90°,\therefore OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC.$ 即$OB=OA=OC=OD,\therefore A,B,C,D$四点在同一圆上.
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线性质
2. 圆的定义
3. 四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题关键是利用两个直角三角形公共斜边的中点作为圆心，结合直角三角形的性质证明各点到圆心的距离相等，这种辅助线构造方法在涉及直角和共圆问题中经常用到。
【难度系数】
0.7
1. 圆上任意两点间的部分叫作
圆弧
，连接圆上任意两点的线段叫作弦
，经过圆心的弦
叫作直径。答案
1. 圆弧 弦 弦
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念的识记，解题时对应每个描述回忆课本定义即可：首先第一个描述的主体是圆上两点间的部分，属于曲线段，对应弧的定义；第二个描述的是连接圆上两点的线段，对应弦的定义；第三个是直径的定义，需明确直径本质是特殊的弦，满足经过圆心的特征，注意不要混淆弦和弧的概念，也不要误将第三空填为“线段”，贴合课本定义作答即可。
【解析】
根据圆的有关概念：
1. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
2. 连接圆上任意两点的线段叫作弦；
3. 经过圆心的弦叫作直径，直径是圆内最长的弦。
因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
圆弧 弦 弦
【知识点】
弧的定义；弦的定义；直径的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对圆的基础概念的记忆与区分，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是学习圆相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
本题考查圆的相关基础概念的识记，解题时对应每个描述回忆课本定义即可：首先第一个描述的主体是圆上两点间的部分，属于曲线段，对应弧的定义；第二个描述的是连接圆上两点的线段，对应弦的定义；第三个是直径的定义，需明确直径本质是特殊的弦，满足经过圆心的特征，注意不要混淆弦和弧的概念，也不要误将第三空填为“线段”，贴合课本定义作答即可。
【解析】
根据圆的有关概念：
1. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧；
2. 连接圆上任意两点的线段叫作弦；
3. 经过圆心的弦叫作直径，直径是圆内最长的弦。
因此三个空依次填入对应概念即可。
【答案】
圆弧 弦 弦
【知识点】
弧的定义；弦的定义；直径的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，核心考查对圆的基础概念的记忆与区分，熟练掌握课本基础定义即可快速作答，是学习圆相关内容的必备基础。
【难度系数】
0.9
2. 已知AB是$\odot O$的直径，CD为$\odot O$的非直径的弦，CD交OA于点E，则圆中共有弦
2
条，劣弧5
条，分别是$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{AD},\overset{\frown}{BD},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD}$
。答案
2. 2 5 $\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{AD},\overset{\frown}{BD},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD}$
解析
【分析】
解题时首先回忆弦和劣弧的相关定义：①弦是连接圆上任意两点的线段，直径是特殊的弦；②劣弧是小于半圆的弧，半圆不属于劣弧。第一步数弦：先确定圆上的点共有A、B、C、D四个，逐一排查连接两点的线段，只有两个端点都在圆上的线段才是弦，排除端点不在圆上的线段即可得到弦的数量。第二步数劣弧：AB是直径，所对的弧为半圆，不计入劣弧，再按顺序枚举所有小于半圆的弧，做到不重不漏即可。
【解析】
1. 求弦的数量：
根据弦的定义，连接圆上两点的线段为弦。圆上共有A、B、C、D四个点，其中AB（直径属于弦）、CD的两个端点都在圆上，其余线段（如AE、CE等）存在端点不在圆上的情况，因此弦共有2条。
2. 求劣弧的数量及具体弧：
根据劣弧的定义，小于半圆的弧为劣弧。AB是直径，对应的$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BA}$为半圆，不属于劣弧。剩余小于半圆的劣弧分别为$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BD}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$，共5条。
【答案】
2；5；$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{AD},\overset{\frown}{BD},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
弦的定义；劣弧的定义
【点评】
本题侧重考查圆的基础概念的辨析，解题的核心是准确把握弦、劣弧的定义，注意直径属于弦、半圆不属于劣弧的易错点，计数时按顺序枚举可避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆弦和劣弧的相关定义：①弦是连接圆上任意两点的线段，直径是特殊的弦；②劣弧是小于半圆的弧，半圆不属于劣弧。第一步数弦：先确定圆上的点共有A、B、C、D四个，逐一排查连接两点的线段，只有两个端点都在圆上的线段才是弦，排除端点不在圆上的线段即可得到弦的数量。第二步数劣弧：AB是直径，所对的弧为半圆，不计入劣弧，再按顺序枚举所有小于半圆的弧，做到不重不漏即可。
【解析】
1. 求弦的数量：
根据弦的定义，连接圆上两点的线段为弦。圆上共有A、B、C、D四个点，其中AB（直径属于弦）、CD的两个端点都在圆上，其余线段（如AE、CE等）存在端点不在圆上的情况，因此弦共有2条。
2. 求劣弧的数量及具体弧：
根据劣弧的定义，小于半圆的弧为劣弧。AB是直径，对应的$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BA}$为半圆，不属于劣弧。剩余小于半圆的劣弧分别为$\overset{\frown}{AC}$、$\overset{\frown}{AD}$、$\overset{\frown}{BD}$、$\overset{\frown}{BC}$、$\overset{\frown}{CD}$，共5条。
【答案】
2；5；$\overset{\frown}{AC},\overset{\frown}{AD},\overset{\frown}{BD},\overset{\frown}{BC},\overset{\frown}{CD}$
【知识点】
弦的定义；劣弧的定义
【点评】
本题侧重考查圆的基础概念的辨析，解题的核心是准确把握弦、劣弧的定义，注意直径属于弦、半圆不属于劣弧的易错点，计数时按顺序枚举可避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.8
3. 若P是$\odot O$内一点，则过点P的弦有
无数
条，其中最长的弦是过点P的直径
。答案
3. 无数 过点P的直径
解析
【分析】
首先回忆弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。思考过圆内一点P，可以连接圆上任意两个点作线段，只要线段经过P就符合要求，这样的线段可以画无数条，因此第一空填无数。再回忆圆的性质：圆中最长的弦是直径，因此过点P的弦中最长的必然是经过点P的直径，即第二空的答案。
【解析】
1. 求过点P的弦的数量：
根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段为弦。过圆内一点P，可作出无数条两端都在圆上且经过P的线段，因此过点P的弦有无数条。
2. 求最长的弦：
根据圆的性质，圆内最长的弦是直径，因此过点P的所有弦中，最长的弦是经过点P的直径。
【答案】
无数；过点P的直径
【知识点】
1. 弦的定义
2. 直径的性质
【点评】
本题考查圆的基础概念的应用，难度较低，核心是牢记弦和直径的定义与性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
首先回忆弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦。思考过圆内一点P，可以连接圆上任意两个点作线段，只要线段经过P就符合要求，这样的线段可以画无数条，因此第一空填无数。再回忆圆的性质：圆中最长的弦是直径，因此过点P的弦中最长的必然是经过点P的直径，即第二空的答案。
【解析】
1. 求过点P的弦的数量：
根据弦的定义，连接圆上任意两点的线段为弦。过圆内一点P，可作出无数条两端都在圆上且经过P的线段，因此过点P的弦有无数条。
2. 求最长的弦：
根据圆的性质，圆内最长的弦是直径，因此过点P的所有弦中，最长的弦是经过点P的直径。
【答案】
无数；过点P的直径
【知识点】
1. 弦的定义
2. 直径的性质
【点评】
本题考查圆的基础概念的应用，难度较低，核心是牢记弦和直径的定义与性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=12,以顶点D为圆心作半径为r的圆,若要求另外三个顶点A,B,C中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则r的取值范围是
$5＜r＜13$
。答案
4. $5＜r＜13$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合点与圆的位置关系判断规则思考：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。首先我们需要先算出矩形三个顶点A、B、C到圆心D的距离，找到这三个距离的最小值和最大值，要满足“至少一个点在圆内、至少一个点在圆外”，半径r的取值就需要在最小距离和最大距离之间。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=5，AB=12
∴ ∠A=90°，DC=AB=12
连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：DA=5，DC=12，DB=13，其中最短距离为5，最长距离为13。
要满足至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则半径r需要大于最短距离5（此时点A在圆内），同时小于最长距离13（此时点B在圆外），即$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题的核心是先求出各顶点到圆心的距离，再结合题意确定半径的取值边界，是基础类题型，熟练掌握点和圆位置关系的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合点与圆的位置关系判断规则思考：点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；等于半径时在圆上；大于半径时在圆外。首先我们需要先算出矩形三个顶点A、B、C到圆心D的距离，找到这三个距离的最小值和最大值，要满足“至少一个点在圆内、至少一个点在圆外”，半径r的取值就需要在最小距离和最大距离之间。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AD=5，AB=12
∴ ∠A=90°，DC=AB=12
连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$
由此可得三个顶点到圆心D的距离分别为：DA=5，DC=12，DB=13，其中最短距离为5，最长距离为13。
要满足至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则半径r需要大于最短距离5（此时点A在圆内），同时小于最长距离13（此时点B在圆外），即$5＜r＜13$。
【答案】
$5＜r＜13$
【知识点】
点与圆的位置关系；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题的核心是先求出各顶点到圆心的距离，再结合题意确定半径的取值边界，是基础类题型，熟练掌握点和圆位置关系的判定方法即可快速解答。
【难度系数】
0.7
5. 一点到圆周上点的最大距离为9，最短距离为1，若这点在圆内，则圆的直径为
A
B
10
；若这点在圆外，则圆的直径是8
。A
B
答案
5. 10 8
解析
【分析】
解决本题首先要明确：平面内一点到圆周上所有点的最长距离和最短距离，都位于过该点与圆心的直线上。接下来分两种情况讨论：①若点在圆内，最长距离与最短距离的和就是圆的直径；②若点在圆外，最长距离与最短距离的差就是圆的直径，代入数值计算即可。
【解析】
设该点为P，圆心为O，过点P、O作直线，与⊙O交于两个交点，这两个交点分别是P到圆周距离最短、最长的点：
1. 当点P在圆内时：
最短距离为P到近侧交点的距离1，最长距离为P到远侧交点的距离9，此时圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = 9 + 1 = 10；
2. 当点P在圆外时：
最短距离为P到近侧交点的距离1，最长距离为P到远侧交点的距离9，此时圆的直径 = 最长距离 - 最短距离 = 9 - 1 = 8。
【答案】
10；8
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题易错点是忽略点的位置直接计算，解题核心是理解点到圆周的最大、最小距离都在过该点与圆心的连线上，结合点的位置选择相加或相减得到直径，需要具备分类讨论的思维。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确：平面内一点到圆周上所有点的最长距离和最短距离，都位于过该点与圆心的直线上。接下来分两种情况讨论：①若点在圆内，最长距离与最短距离的和就是圆的直径；②若点在圆外，最长距离与最短距离的差就是圆的直径，代入数值计算即可。
【解析】
设该点为P，圆心为O，过点P、O作直线，与⊙O交于两个交点，这两个交点分别是P到圆周距离最短、最长的点：
1. 当点P在圆内时：
最短距离为P到近侧交点的距离1，最长距离为P到远侧交点的距离9，此时圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = 9 + 1 = 10；
2. 当点P在圆外时：
最短距离为P到近侧交点的距离1，最长距离为P到远侧交点的距离9，此时圆的直径 = 最长距离 - 最短距离 = 9 - 1 = 8。
【答案】
10；8
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质
【点评】
本题易错点是忽略点的位置直接计算，解题核心是理解点到圆周的最大、最小距离都在过该点与圆心的连线上，结合点的位置选择相加或相减得到直径，需要具备分类讨论的思维。
【难度系数】
0.7
6. 如图，AB是$\odot O$的弦，$\odot O$的半径OC，OD与AB分别相交于点M，N，已知$∠ OMN = ∠ ONM$.求证:$CM=DN$.
答案
6. 证明:$\because ∠ OMN=∠ ONM,\therefore OM=ON.$ 又$OC=OD,\therefore OC-OM=OD-ON$,即$CM=DN.$
解析
【分析】
要证明$CM=DN$，观察图形可得$CM=OC-OM$，$DN=OD-ON$，因此只需证明$OC=OD$且$OM=ON$即可。首先，$OC$和$OD$都是$\odot O$的半径，根据同圆的半径相等可得到$OC=OD$；其次已知$∠ OMN=∠ ONM$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理可推出$OM=ON$，最后利用“等量减等量，差相等”的性质即可得到$CM=DN$。
【解析】
证明：
$\because ∠ OMN=∠ ONM$，
$\therefore OM=ON$（等角对等边），
又$\because OC$、$OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore OC-OM=OD-ON$，
即$CM=DN$。
【答案】
$\because ∠ OMN=∠ ONM,\therefore OM=ON.$ 又$OC=OD,\therefore OC-OM=OD-ON$,即$CM=DN.$
【知识点】
等角对等边，同圆半径相等，线段和差性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是结合图形分析待证线段与已知条件的联系，灵活运用圆的基本性质和等腰三角形的判定即可完成推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
要证明$CM=DN$，观察图形可得$CM=OC-OM$，$DN=OD-ON$，因此只需证明$OC=OD$且$OM=ON$即可。首先，$OC$和$OD$都是$\odot O$的半径，根据同圆的半径相等可得到$OC=OD$；其次已知$∠ OMN=∠ ONM$，根据等腰三角形“等角对等边”的判定定理可推出$OM=ON$，最后利用“等量减等量，差相等”的性质即可得到$CM=DN$。
【解析】
证明：
$\because ∠ OMN=∠ ONM$，
$\therefore OM=ON$（等角对等边），
又$\because OC$、$OD$均为$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore OC-OM=OD-ON$，
即$CM=DN$。
【答案】
$\because ∠ OMN=∠ ONM,\therefore OM=ON.$ 又$OC=OD,\therefore OC-OM=OD-ON$,即$CM=DN.$
【知识点】
等角对等边，同圆半径相等，线段和差性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是结合图形分析待证线段与已知条件的联系，灵活运用圆的基本性质和等腰三角形的判定即可完成推导，难度较低。
【难度系数】
0.8
