3. 如图,在围成新月形的两条劣弧$\overset{\frown}{AmB}$和$\overset{\frown}{AnB}$中,哪条弧所在圆的圆心到线段AB的距离更小 （）

A.$\overset{\frown}{AmB}$
B.$\overset{\frown}{AnB}$
C.距离一样
D.无法判断

3. B

【分析】
首先明确两条劣弧的公共弦是AB，弦长固定。解题时先回忆圆的相关性质：过A、B两点的圆的圆心都在AB的垂直平分线上，结合垂径定理可以得到弦长、半径、圆心角、弦心距之间的关系。我们可以先推导弦心距和劣弧圆心角的关系，再通过两条劣弧的长度判断圆心角的大小，最终比较弦心距的大小：劣弧越长（在劣弧范围内），对应的圆心角越大，弦心距越小，结合图形就能得出结论。
【解析】
1. 已知两条劣弧$\overset{\frown}{AmB}$和$\overset{\frown}{AnB}$所对的公共弦为AB，弦长固定，设任意一条过A、B的劣弧对应的圆心角为$θ$（$0°＜θ＜180°$），所在圆半径为$R$，圆心到AB的距离为$d$。
2. 根据垂径定理和三角函数关系可得：
$\frac{AB}{2}=R\sin\frac{θ}{2}$，$d=R\cos\frac{θ}{2}$，
联立两式消去$R$可得：$d=\frac{AB}{2\tan\frac{θ}{2}}$。
3. 观察图形可知，劣弧$\overset{\frown}{AnB}$的长度大于$\overset{\frown}{AmB}$的长度，对于弦长相同的劣弧，弧长越长则对应的圆心角$θ$越大。
4. 由$d=\frac{AB}{2\tan\frac{θ}{2}}$可知，$θ$越大，$\tan\frac{θ}{2}$越大，$d$就越小，因此$\overset{\frown}{AnB}$所在圆的圆心到AB的距离更小。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；圆心角与弧的关系；弦心距计算
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的关键是抓住公共弦长固定这一条件，推导弦心距与劣弧圆心角的关系，也可通过“越接近半圆的劣弧，其圆心离弦越近”的规律快速判断，能有效考查学生对圆相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

4. 如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

4. D

【分析】
要解决这个问题，首先回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。首先观察点的位置，A、B、C、D四点共线，因此任意三个都在直线l上的点无法确定圆，所以能确定圆的三点组合必须包含直线外的点P，再搭配直线l上的两个点，接下来只需要计算从直线l上4个点中选2个点的组合数，就是最多可画圆的个数。
【解析】
根据圆的确定规则：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
1. 由于A、B、C、D都在直线l上，任意三个点都共线，这类组合无法确定圆，因此有效组合必须包含点P。
2. 从直线l上的A、B、C、D四个点中任选2个点，和点P组成不在同一直线上的三个点，可选的两点组合有：AB、AC、AD、BC、BD、CD，共6种。
3. 每种组合都能唯一确定1个圆，因此最多可画出6个圆。
【答案】
D
【知识点】
三点定圆的条件，组合计数
【点评】
本题解题的核心是掌握确定圆的条件，先排除三点共线的无效情况，再通过枚举或组合计数的方法统计有效组合的数量，注意计数时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.7

5. 已知A,B,C,D为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

5. B

【分析】
要解决本题，首先需牢记核心结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆。我们可以通过分类讨论四个点的不同位置关系，逐一判断能确定圆的个数的可能情况，再结合圆的基本性质排除不可能的选项。思考顺序如下：首先考虑四点共圆的情况，再考虑有三点共线的情况，最后考虑无三点共线且四点不共圆的情况，再验证是否存在能确定2个圆的情况即可。
【解析】
根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，分情况讨论：
1. 若四个点A、B、C、D共圆，则这四个点只能确定1个圆，故A选项可能。
2. 若四个点中有且仅有三个点共线（比如A、B、C共线，D在直线外）：共线的三个点不能确定圆，此时从共线的三个点中选2个，加上线外的D点，共有3种组合，每组都能确定1个圆，共可确定3个圆，故C选项可能。
3. 若四个点中没有任何三个点共线，且四个点不共圆：从四个点中任选3个点，共有$\mathrm{C}_4^3=4$种组合，每组三个点都能确定1个不同的圆，共可确定4个圆，故D选项可能。
4. 验证是否能确定2个圆：两个不同的圆最多有2个公共点，若存在2个不同的圆，每个圆至少过3个点，那么两个圆最多共享2个点，剩下的点组合后还会形成新的三个点组合，必然会确定更多的圆，不存在仅确定2个圆的情况。
综上，不可能确定的圆的个数是2。
【答案】
B
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 圆与圆的交点性质
【点评】
本题重点考查对确定圆的条件的理解，需要结合分类讨论思想逐一分析不同的点位置情况，解题时要注意结合两圆最多有2个公共点的性质判断特殊情况，能有效锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6

6. 已知点$A$，$B$和直线$l$，作一个圆，使它经过点$A$和点$B$，并且圆心在直线$l$上.
（1）当直线$l$与直线$AB$不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线$l$与直线$AB$垂直但不经过$AB$的中点时，可作几个圆？
（3）当直线$l$是线段$AB$的垂直平分线时，可作几个圆？

6. （1）如图①,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l有1个交点,
∴当直线l与直线AB不垂直时,只能作1个圆.
（2）如图②,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l没有交点,
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时,不能作圆.
（3）如图③,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l重合,即直线l上所有点均可作为经过A,B的圆的圆心,
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时,能作无数个圆.

【分析】
要作经过A、B两点且圆心在直线l上的圆，首先根据圆的性质：过A、B两点的圆的圆心到A、B两点的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线m上。此时问题可转化为判断线段AB的垂直平分线m与直线l的交点个数：交点即为符合条件的圆心，有几个交点就可以作几个圆，再结合三种情况下l与AB的位置关系分析交点个数即可求解。
【解析】
（1）当直线l与直线AB不垂直时，过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线m上，此时直线m与直线l相交，有且只有1个交点，即存在1个符合条件的圆心，因此可作1个圆。
（2）当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线m上，此时直线m与直线l互相平行，没有交点，即不存在符合条件的圆心，因此不能作圆。
（3）当直线l是线段AB的垂直平分线时，过A、B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线m上，此时直线m与直线l重合，直线l上所有点都可作为符合条件的圆心，因此可作无数个圆。
【答案】
（1）如图①,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l有1个交点,
∴当直线l与直线AB不垂直时,只能作1个圆。
（2）如图②,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l没有交点,
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时,不能作圆。
（3）如图③,过A,B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上,而直线m与直线l重合,即直线l上所有点均可作为经过A,B的圆的圆心,
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时,能作无数个圆。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 确定圆的条件
【点评】
本题将作圆问题转化为两条直线的交点个数问题，解题关键是明确过两点的圆的圆心在两点连线的垂直平分线上，考查了转化思想的应用，有助于加深对圆的确定条件的理解。
【难度系数】
0.7

7. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠D,AB=CD.
(1) 证明四边形ABCD有外接圆；
(2) 简要说明正n边形有外接圆.

7. (1) 证明:如图,取AB,AD的中点F,E,作AB,AD的垂直平分线交于点O,连接BO,CO,
∴OA=OD=OB,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BAD=∠ADC,
∴∠OAB=∠ODC. 又
∵AB=CD,
∴△OAB≌△ODC(SAS),
∴OB=OC. 又
∵OA=OB,
∴OA=OD=OB=OC,
∴四边形ABCD有外接圆.
(2)
∵正n边形是各边长度相等、各内角相等的多边形,其对称中心到所有顶点的距离相等,
∴正n边形的所有顶点共圆,外接圆存在.

【分析】
(1) 要证明四边形有外接圆，本质是证明四个顶点到同一点的距离相等。首先作AB、AD的垂直平分线，交点为O，根据垂直平分线的性质可得OA=OB=OD；再结合已知∠BAD=∠ADC、AB=CD，证明△OAB≌△ODC，推出OC=OB，即可得到OA=OB=OC=OD，证明四点共圆。(2) 正n边形的对称中心到所有顶点距离相等，因此所有顶点都在以对称中心为圆心的同一个圆上，即可说明正n边形有外接圆。
【解析】
(1) 作AB、AD的垂直平分线交于点O，连接OA、OB、OC、OD。
由垂直平分线的性质得：OA=OB，OA=OD，即OA=OB=OD，因此∠OAD=∠ODA。
已知∠BAD=∠ADC，因此∠BAD-∠OAD=∠ADC-∠ODA，即∠OAB=∠ODC。
在△OAB和△ODC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\ ∠ OAB=∠ ODC\\ AB=CD\end{array} $
因此△OAB≌△ODC(SAS)，可得OB=OC。
综上OA=OB=OC=OD，即A、B、C、D四点在以O为圆心的同一个圆上，故四边形ABCD有外接圆。
(2) 正n边形各边相等、各内角相等，其对称中心到所有顶点的距离都相等，因此正n边形的所有顶点都在以对称中心为圆心、中心到顶点的距离为半径的圆上，故正n边形有外接圆。
【答案】
7. (1) 证明:如图,取AB,AD的中点F,E,作AB,AD的垂直平分线交于点O,连接BO,CO,
∴OA=OD=OB,
∴∠OAD=∠ODA.
∵∠BAD=∠ADC,
∴∠OAB=∠ODC. 又
∵AB=CD,
∴△OAB≌△ODC(SAS),
∴OB=OC. 又
∵OA=OB,
∴OA=OD=OB=OC,
∴四边形ABCD有外接圆.
(2)
∵正n边形是各边长度相等、各内角相等的多边形,其对称中心到所有顶点的距离相等,
∴正n边形的所有顶点共圆,外接圆存在.
【知识点】
四点共圆的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕多边形外接圆的判定展开，核心思路是证明多边形所有顶点到同一点的距离相等，既考察了垂直平分线、全等三角形等基础知识点的应用，也考察了对正多边形性质的理解，有助于提升逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.65