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6. 如图，△ABC的三个顶点都在$\odot O$上，$AB=AC$，$P$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接$PA$，$PB$，$PC$，$∠ BPC=60°$. 求证：$AC=\sqrt{3}AP$.
答案
6. 证明:$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ BPC=60°$. 又$AB=AC,\therefore △ ABC$ 为等边三角形. $\therefore ∠ ACB=60°$. $\because P$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$\therefore ∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ APC=∠ ABC=60°$. $\therefore ∠ PAC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ PAC$ 中,$∠ ACP=30°,\therefore AC=\sqrt{3}AP$.
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：首先，利用同弧所对的圆周角相等，由已知∠BPC=60°求出∠BAC的度数，结合AB=AC的条件判定△ABC为等边三角形，得到其内角均为60°；其次，根据P是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，可得$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，进而推出∠ACP为∠ACB的一半即30°，再利用同弧所对圆周角相等求出∠APC=60°，即可判定△PAC为直角三角形；最后利用含30°角的直角三角形的三边关系，推导得出AC和AP的数量关系。
【解析】
证明：
因为$\overset{\frown}{BC}$是公共弧，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠BAC=∠BPC=60°$。
又已知$AB=AC$，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$△ ABC$为等边三角形，所以$∠ACB=∠ABC=60°$。
因为P是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ACP=\frac{1}{2}∠ACB=30°$。
$\overset{\frown}{AC}$是公共弧，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠APC=∠ABC=60°$。
在$△ PAC$中，根据三角形内角和为180°，可得$∠PAC=180°-30°-60°=90°$，即$△ PAC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△PAC$中，$∠ACP=30°$，30°角对的直角边为AP，设$AP=x$，则斜边$PC=2x$，由勾股定理可得$AC=\sqrt{PC^2-AP^2}=\sqrt{3}x=\sqrt{3}AP$。
【答案】
证明:$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ BPC=60°$. 又$AB=AC,\therefore △ ABC$ 为等边三角形. $\therefore ∠ ACB=60°$. $\because P$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$\therefore ∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ APC=∠ ABC=60°$. $\therefore ∠ PAC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ PAC$ 中,$∠ ACP=30°,\therefore AC=\sqrt{3}AP$.
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是通过弧与角的转换得到特殊三角形，能很好地检验学生对相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步展开：首先，利用同弧所对的圆周角相等，由已知∠BPC=60°求出∠BAC的度数，结合AB=AC的条件判定△ABC为等边三角形，得到其内角均为60°；其次，根据P是$\overset{\frown}{AB}$中点的性质，可得$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，进而推出∠ACP为∠ACB的一半即30°，再利用同弧所对圆周角相等求出∠APC=60°，即可判定△PAC为直角三角形；最后利用含30°角的直角三角形的三边关系，推导得出AC和AP的数量关系。
【解析】
证明：
因为$\overset{\frown}{BC}$是公共弧，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠BAC=∠BPC=60°$。
又已知$AB=AC$，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，因此$△ ABC$为等边三角形，所以$∠ACB=∠ABC=60°$。
因为P是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AP}=\overset{\frown}{PB}$，等弧所对的圆周角相等，因此$∠ACP=\frac{1}{2}∠ACB=30°$。
$\overset{\frown}{AC}$是公共弧，根据同弧所对的圆周角相等，可得$∠APC=∠ABC=60°$。
在$△ PAC$中，根据三角形内角和为180°，可得$∠PAC=180°-30°-60°=90°$，即$△ PAC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△PAC$中，$∠ACP=30°$，30°角对的直角边为AP，设$AP=x$，则斜边$PC=2x$，由勾股定理可得$AC=\sqrt{PC^2-AP^2}=\sqrt{3}x=\sqrt{3}AP$。
【答案】
证明:$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠ BAC=∠ BPC=60°$. 又$AB=AC,\therefore △ ABC$ 为等边三角形. $\therefore ∠ ACB=60°$. $\because P$ 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点,$\therefore ∠ ACP=\frac{1}{2}∠ ACB=30°$. $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AC},\therefore ∠ APC=∠ ABC=60°$. $\therefore ∠ PAC=90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ PAC$ 中,$∠ ACP=30°,\therefore AC=\sqrt{3}AP$.
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的典型基础题型，核心考查圆周角定理的应用，解题关键是通过弧与角的转换得到特殊三角形，能很好地检验学生对相关性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
1. 如图，点A，B，C在⊙O上，若BC=6，∠BAC=30°，则⊙O的半径为
（第1题）（第2题）
6
。（第1题）（第2题）答案
1. 6
解析
【分析】
要求圆的半径，我们可以结合已知条件构造圆心和圆上点的连线得到半径。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠BAC=30°，它所对的弧是BC，因此连接OB、OC就能得到对应的圆心角∠BOC的度数。再结合OB和OC都是半径长度相等，判断△BOC的形状，即可求出半径长度。
【解析】
连接OB、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得
$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×30° = 60°$
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ $OB = OC$
∴ △BOC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△BOC是等边三角形
∴ $OB = OC = BC = 6$
即⊙O的半径为6。
【答案】
6
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，解题关键是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，将圆周角的条件转化为圆心角的条件，再结合特殊三角形的性质求解，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
要求圆的半径，我们可以结合已知条件构造圆心和圆上点的连线得到半径。首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知圆周角∠BAC=30°，它所对的弧是BC，因此连接OB、OC就能得到对应的圆心角∠BOC的度数。再结合OB和OC都是半径长度相等，判断△BOC的形状，即可求出半径长度。
【解析】
连接OB、OC。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可得
$∠ BOC = 2∠ BAC = 2×30° = 60°$
∵ OB、OC都是⊙O的半径，
∴ $OB = OC$
∴ △BOC是有一个内角为60°的等腰三角形，即△BOC是等边三角形
∴ $OB = OC = BC = 6$
即⊙O的半径为6。
【答案】
6
【知识点】
圆周角定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆中求半径的基础题型，解题关键是通过连接圆心与弦的端点构造圆心角，将圆周角的条件转化为圆心角的条件，再结合特殊三角形的性质求解，解题思路比较直观。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AC是$\odot O$的弦，$AC=5$，B是$\odot O$上的一个动点，且$∠ ABC=45°$，若M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
。答案
2. $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
解题时首先观察到M、N是三角形两边的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求弦AB的最大值。根据圆的性质，圆中最长的弦是直径，因此当AB为直径时AB最大。此时结合圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，再结合已知的$∠ ABC=45°$和AC的长度，即可求出AB的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
1. 因为M、N分别是AC、BC的中点，所以MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$MN=\frac{1}{2}AB$，因此要使MN最大，需使AB的长度最大。
2. AB是$\odot O$的弦，圆中最长的弦为直径，因此当AB为$\odot O$的直径时，AB取得最大值。
3. 当AB为直径时，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB=90°$。
4. 已知$∠ ABC=45°$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
5. 因此MN的最大值为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题将三角形中位线性质、圆的基本性质与直角三角形的计算结合考查，解题核心是将MN的最值问题转化为圆中弦的最值问题，灵活运用转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到M、N是三角形两边的中点，可联想到三角形中位线定理，得到MN与AB的数量关系：$MN=\frac{1}{2}AB$，因此求MN的最大值可转化为求弦AB的最大值。根据圆的性质，圆中最长的弦是直径，因此当AB为直径时AB最大。此时结合圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，再结合已知的$∠ ABC=45°$和AC的长度，即可求出AB的最大值，进而得到MN的最大值。
【解析】
1. 因为M、N分别是AC、BC的中点，所以MN是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理可得：
$MN=\frac{1}{2}AB$，因此要使MN最大，需使AB的长度最大。
2. AB是$\odot O$的弦，圆中最长的弦为直径，因此当AB为$\odot O$的直径时，AB取得最大值。
3. 当AB为直径时，根据圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，因此$∠ ACB=90°$。
4. 已知$∠ ABC=45°$，所以$△ ABC$是等腰直角三角形，$AC=BC=5$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$
5. 因此MN的最大值为$\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×5\sqrt{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【答案】
$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理；圆周角定理；勾股定理
【点评】
本题将三角形中位线性质、圆的基本性质与直角三角形的计算结合考查，解题核心是将MN的最值问题转化为圆中弦的最值问题，灵活运用转化思想是解题的关键。
【难度系数】
0.7
3. 如图，将$\odot O$沿弦$AB$折叠，圆弧恰好经过圆心$O$，$P$是优弧$\overset{\frown}{AMB}$上一点，则$∠ APB$的度数为（
A.$45°$
B.$30°$
C.$75°$
D.$60°$
D
）A.$45°$
B.$30°$
C.$75°$
D.$60°$
答案
3. D
解析
【分析】
要计算∠APB的度数，根据圆周角定理，只需先求出它所对的弧AB对应的圆心角∠AOB的度数即可。结合折叠的性质，我们可以过圆心O作AB的垂线，得到O到AB的距离与半径的数量关系，再利用直角三角形的性质求出∠AOB的度数，最后代入圆周角定理即可得到结果。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ 将$\odot O$沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA（折叠后圆心O到AB的距离等于半径的一半）。
在Rt△OAC中，OC=$\frac{1}{2}$OA，
∴ ∠OAC=30°，则∠AOC=60°，
同理可得∠BOC=60°，
∴ ∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线结合折叠性质求出圆心角的度数，这类题型是圆章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
要计算∠APB的度数，根据圆周角定理，只需先求出它所对的弧AB对应的圆心角∠AOB的度数即可。结合折叠的性质，我们可以过圆心O作AB的垂线，得到O到AB的距离与半径的数量关系，再利用直角三角形的性质求出∠AOB的度数，最后代入圆周角定理即可得到结果。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OC⊥AB于点C。
∵ 将$\odot O$沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴ OC = $\frac{1}{2}$OA（折叠后圆心O到AB的距离等于半径的一半）。
在Rt△OAC中，OC=$\frac{1}{2}$OA，
∴ ∠OAC=30°，则∠AOC=60°，
同理可得∠BOC=60°，
∴ ∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ ∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×120°=60°$。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题，解题的关键是通过作辅助线结合折叠性质求出圆心角的度数，这类题型是圆章节的常考题型，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，点M在$\odot O$上，$∠ MAB=20°$，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若$MN=1$，则$△ PMN$周长的最小值为（
A.4
B.5
C.6
D.7
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
4. B
解析
【分析】
本题是圆背景下的最短路径问题，△PMN的周长为PM+PN+MN，已知MN=1是定值，因此只需使PM+PN最小即可得到周长最小值。我们利用对称变换（将军饮马模型）转化线段：作点N关于直径AB的对称点N'，由对称性质得PN=PN'，因此PM+PN=PM+PN'，当M、P、N'三点共线时，PM+PN'取最小值，等于MN'的长度。接下来结合圆周角定理、圆心角与弧的对应关系、等边三角形的判定求出MN'的长度，再加MN的长度即可得到最小周长。
【解析】
1. 作点N关于AB的对称点$N'$，连接$ON'$、$OM$、$MN'$，此时$MN'$与AB的交点即为使$PM+PN$最小的点P，$PM+PN$的最小值为$MN'$的长度。
2. 计算相关圆心角：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴$\odot O$的半径为4，即$OM=ON'=4$。
∵$∠ MAB=20°$，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得弧MB对应的圆心角$∠ MOB=2∠ MAB=40°$。
∵N是弧MB的中点，
∴弧MN=弧NB，对应的圆心角$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ MOB=20°$。
∵点$N'$与N关于AB对称，
∴弧$N'B$=弧NB，对应的圆心角$∠ BON'=∠ NOB=20°$。
∴$∠ MON'=∠ MOB+∠ BON'=40°+20°=60°$。
3. 判定$△ MON'$的形状：
∵$OM=ON'=4$，$∠ MON'=60°$，
∴$△ MON'$是等边三角形，
∴$MN'=OM=4$。
4. 计算最小周长：
$△ PMN$周长的最小值=$MN'+MN=4+1=5$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题将圆的性质与最短路径问题结合，解题的核心是通过对称变换转化线段，再结合圆周角与圆心角的关系、等边三角形的性质求解，考查了转化思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是圆背景下的最短路径问题，△PMN的周长为PM+PN+MN，已知MN=1是定值，因此只需使PM+PN最小即可得到周长最小值。我们利用对称变换（将军饮马模型）转化线段：作点N关于直径AB的对称点N'，由对称性质得PN=PN'，因此PM+PN=PM+PN'，当M、P、N'三点共线时，PM+PN'取最小值，等于MN'的长度。接下来结合圆周角定理、圆心角与弧的对应关系、等边三角形的判定求出MN'的长度，再加MN的长度即可得到最小周长。
【解析】
1. 作点N关于AB的对称点$N'$，连接$ON'$、$OM$、$MN'$，此时$MN'$与AB的交点即为使$PM+PN$最小的点P，$PM+PN$的最小值为$MN'$的长度。
2. 计算相关圆心角：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=8$，
∴$\odot O$的半径为4，即$OM=ON'=4$。
∵$∠ MAB=20°$，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得弧MB对应的圆心角$∠ MOB=2∠ MAB=40°$。
∵N是弧MB的中点，
∴弧MN=弧NB，对应的圆心角$∠ NOB=\frac{1}{2}∠ MOB=20°$。
∵点$N'$与N关于AB对称，
∴弧$N'B$=弧NB，对应的圆心角$∠ BON'=∠ NOB=20°$。
∴$∠ MON'=∠ MOB+∠ BON'=40°+20°=60°$。
3. 判定$△ MON'$的形状：
∵$OM=ON'=4$，$∠ MON'=60°$，
∴$△ MON'$是等边三角形，
∴$MN'=OM=4$。
4. 计算最小周长：
$△ PMN$周长的最小值=$MN'+MN=4+1=5$。
【答案】
B
【知识点】
最短路径问题，圆周角定理，等边三角形判定
【点评】
本题将圆的性质与最短路径问题结合，解题的核心是通过对称变换转化线段，再结合圆周角与圆心角的关系、等边三角形的性质求解，考查了转化思想和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.6
