5. 如图,已知经过原点O的$\odot P$与x,y轴分别交于A,B两点,C是劣弧OB上一点,则$∠ ACB$的度数为 （）

A.$80°$
B.$90°$
C.$100°$
D.无法确定

5. B

【分析】
解题可按以下思路推导：首先观察平面直角坐标系的特征，x轴与y轴互相垂直，因此∠AOB=90°；再判断∠AOB和∠ACB的关系：二者都是$\odot P$中弧AB所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”的性质，就能直接推出∠ACB的度数。也可先由∠AOB=90°得出AB是$\odot P$的直径，再根据“直径所对的圆周角为直角”得到结论，两种思路均符合当前学段知识要求。
【解析】
∵x轴与y轴互相垂直，
∴$∠ AOB=90°$。
∵$∠ AOB$和$∠ ACB$都是$\odot P$中弧AB所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等的性质，
∴$∠ ACB=∠ AOB=90°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平面直角坐标系特征
【点评】
本题是圆周角相关知识的基础考查题，解题核心是结合坐标系的特征，找到两个角的共弧关系，推导过程简单易懂，只要掌握圆周角的基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.85

6. 如图,已知在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠ BAC=50°$,则$∠ AEC$的度数为 （）

A.$65°$
B.$75°$
C.$50°$
D.$55°$

6. A

【分析】
解题思路如下：第一步，先根据已知$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，结合同圆中等弧对等弦的性质，得出$△ ABC$是等腰三角形；第二步，已知等腰三角形顶角$∠ BAC=50°$，利用三角形内角和算出底角$∠ ABC$的度数；第三步，观察$∠ AEC$和$∠ ABC$的位置，二者都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等的性质，即可求出$∠ AEC$的度数。
【解析】
解：$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$，
$\therefore AB=AC$，即$△ ABC$为等腰三角形，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACB$。
$\because ∠ BAC=50°$，三角形内角和为$180°$，
$\therefore ∠ ABC=\frac{180°-∠ BAC}{2}=\frac{180°-50°}{2}=65°$。
又$\because ∠ AEC$和$∠ ABC$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
$\therefore ∠ AEC=∠ ABC=65°$。
【答案】
A
【知识点】
等弧的性质，等腰三角形内角计算，圆周角定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用考题，解题的核心是找到同弧所对的相等圆周角，再结合等腰三角形的内角计算即可求解，需要熟练掌握同弧所对圆周角相等这一推论。
【难度系数】
0.8

7. 如图,已知在$\odot O$中,弦$AC //$半径$OB$,$∠ BOC=50°$,则$∠ OAB$的度数为 （）

A.$25°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$30°$

7. A

【分析】
解题时先从已知的圆心角∠BOC出发，利用圆周角定理求出它所对弧对应的圆周角∠BAC的度数；再结合AC//OB的平行条件，利用平行线内错角相等得到∠ABO的度数；最后根据同圆半径相等得到△OAB为等腰三角形，利用等边对等角即可求出∠OAB的度数。
【解析】
解：
∵∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角
∴根据圆周角定理，$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$
∵$∠ BOC=50°$
∴$∠ BAC=\frac{1}{2}×50°=25°$
∵$AC// OB$
∴$∠ BAC=∠ ABO=25°$（两直线平行，内错角相等）
∵OA、OB都是$\odot O$的半径
∴$OA=OB$，即$△ OAB$是等腰三角形
∴$∠ OAB=∠ ABO=25°$
【答案】
A
【知识点】
圆周角定理；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是找准角与角之间的转化关系，将圆的性质和三角形、平行线的相关知识结合运用即可。
【难度系数】
0.7

8. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD为弦，$CD⊥ AB$且相交于点E，下列结论中不成立的是 （）

A.$∠ A=∠ D$
B.$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$
C.$∠ ACB=90°$
D.$∠ COB=3∠ D$

8. D

【分析】
解题时结合题目给出的“AB为⊙O直径，CD⊥AB”的条件，逐一验证每个选项是否符合圆的相关性质即可：首先回忆垂径定理、圆周角定理及其推论的内容，分别判断四个选项的正误，最终选出不成立的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠A与∠D都是弧$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”，可得$∠A=∠D$，该结论成立，不符合题意；
B. 根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，已知AB是直径且$CD⊥AB$，因此$\overset{\frown}{CB}=\overset{\frown}{BD}$，该结论成立，不符合题意；
C. 根据圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，AB是⊙O的直径，因此$∠ACB=90°$，该结论成立，不符合题意；
D. $∠COB$是$\overset{\frown}{CB}$所对的圆心角，$∠D$是$\overset{\frown}{CB}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此$∠COB=2∠D$，而非$∠COB=3∠D$，该结论不成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；直径所对圆周角为直角
【点评】
本题属于圆性质的基础考查题，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆周角相关定理的内容，做题时注意看清题干要求，选择“不成立”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.8

9. 如图，直径为 OA 的$\odot P$与$x$轴交于$O,A$两点，点$B,C$把 $\overset{\frown}{OA}$ 三等分，连接$PC$并延长，交$y$轴于点$D(0,3)$，连接$AB,OB$.
(1) 求证: $△ POD ≌ △ ABO$;
(2) 若直线 $l: y=kx+b$ 经过圆心$P$和点$D$,求直线$l$的解析式.

9. (1) 证明:连接 PB. $\because OA$ 是$\odot P$的直径,$\therefore ∠ ABO=90°$. 又点 B,C 把$\overset{\frown}{OA}$三等分,$\therefore ∠ APB=∠ OPD=60°$. $\because PA=PB,\therefore △ ABP$是等边三角形. $\therefore AB=PA=PO,∠ BAO=60°$. 又$∠ POD=∠ ABO=90°,∠ OPD=∠ BAO=60°$,$\therefore △ POD≌△ ABO(\mathrm{ASA})$. (2) $\because D(0,3),\therefore OD=3$. $\because ∠ OPD=60°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ POD$ 中,$OP=\sqrt{3}$. $\therefore P(-\sqrt{3},0)$. $\because$ 直线 $l$ 经过点 $D(0,3),P(-\sqrt{3},0),\therefore \begin{cases} -\sqrt{3}k+b=0,\\ b=3, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} k=\sqrt{3},\\ b=3. \end{cases}$ $\therefore$ 直线 $l$ 的解析式为 $y=\sqrt{3}x+3$.

【分析】
(1) 要证明△POD≌△ABO，先结合已知条件找对应边、对应角的等量关系：首先利用直径所对圆周角为直角，得到∠ABO=90°，与∠POD相等；再由弧三等分推出对应圆心角为60°，得到△ABP是等边三角形，可得AB=PO，同时得到一组对应角∠OPD=∠BAO=60°，即可用ASA判定全等。
(2) 求直线l的解析式需要两个点的坐标，已知D(0,3)，仅需求出圆心P的坐标：在Rt△POD中利用60°角的三角函数值求出OP的长度，得到P点坐标后，用待定系数法代入求解参数即可。
【解析】
(1) 证明：连接PB。
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ABO=90°。
又
∵点B,C把$\overset{\frown}{OA}$三等分，
∴∠APB=∠OPD=60°。
∵PA=PB，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB=PA=PO，∠BAO=60°。
又
∵∠POD=∠ABO=90°，∠OPD=∠BAO=60°，
∴△POD≌△ABO(ASA)。
(2) 解：
∵D(0,3)，
∴OD=3。
∵∠OPD=60°，在Rt△POD中，$OP=\frac{OD}{\tan60°}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$，
∴P点坐标为$(-\sqrt{3},0)$。
将$D(0,3)$、$P(-\sqrt{3},0)$代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -\sqrt{3}k+b=0 \\ b=3 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\sqrt{3} \\ b=3 \end{cases}$
∴直线l的解析式为$y=\sqrt{3}x+3$。
【答案】
(1) 已证△POD≌△ABO；
(2) $\boldsymbol{y=\sqrt{3}x+3}$
【知识点】
1. 圆心角与弧的关系
2. 全等三角形的判定
3. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合了圆的基础性质、全等三角形证明和一次函数的相关知识，解题的关键是结合弧的三等分关系推导对应角度，进而找到边、角的等量关系，同时要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤。
【难度系数】
0.7