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1. 顶点在
圆上
，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角。答案
1. 圆上
解析
【分析】
本题考查圆周角的定义类基础题，解题时首先回忆圆周角的两个核心判定条件：第一是顶点的位置要求，第二是角的两边均要和圆相交，题干已经给出了两边和圆相交的条件，对应补充顶点的位置要求即可。
【解析】
根据圆周角的标准定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，因此空缺处应填写“圆上”。
【答案】
圆上
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确记忆圆周角的判定要素就能做对，学习相关概念时要注意区分圆周角和圆心角的顶点位置差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角的定义类基础题，解题时首先回忆圆周角的两个核心判定条件：第一是顶点的位置要求，第二是角的两边均要和圆相交，题干已经给出了两边和圆相交的条件，对应补充顶点的位置要求即可。
【解析】
根据圆周角的标准定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角，因此空缺处应填写“圆上”。
【答案】
圆上
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要准确记忆圆周角的判定要素就能做对，学习相关概念时要注意区分圆周角和圆心角的顶点位置差异，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2. 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
相等
.答案
2. 相等
解析
【分析】
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时首先回忆圆周角与圆心角的关系：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半。在同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆心角度数是固定相等的，因此对应的圆周角度数也必然相等，据此即可得出答案。
【解析】
根据圆周角定理的推论可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半，因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查圆周角的核心性质，掌握相关定理的前提条件和结论即可快速得分，日常学习中要重视基础定理的记忆与理解。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时首先回忆圆周角与圆心角的关系：圆周角的度数等于它所对弧对应的圆心角度数的一半。在同圆或等圆中，同弧或等弧对应的圆心角度数是固定相等的，因此对应的圆周角度数也必然相等，据此即可得出答案。
【解析】
根据圆周角定理的推论可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半，因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接考查圆周角的核心性质，掌握相关定理的前提条件和结论即可快速得分，日常学习中要重视基础定理的记忆与理解。
【难度系数】
0.9
3. 半圆(或直径)所对的圆周角是
直角
，90°的圆周角所对的弦是直径
。答案
3. 直角 直径
解析
【分析】
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时可结合圆周角与同弧所对圆心角的数量关系推导：①先明确半圆或直径对应的圆心角为180°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可算出对应的圆周角度数；②逆向推导时，先由90°的圆周角推出对应圆心角为180°，再根据圆心角与弦的对应关系，得到对应弦的类型。
【解析】
1. 求解第一个空：半圆（或直径）所对的弧对应的圆心角为180°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此该弧所对的圆周角为$\frac{1}{2} × 180° = 90°$，也就是直角。
2. 求解第二个空：若圆周角为90°，则其所对的圆心角为$2 × 90° = 180°$，圆心角为180°时对应的弦为直径，因此90°的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
直角 直径
【知识点】
圆周角定理，圆周角推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角相关推论的识记与理解，掌握圆周角和圆心角的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查圆周角定理的相关推论，解题时可结合圆周角与同弧所对圆心角的数量关系推导：①先明确半圆或直径对应的圆心角为180°，根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可算出对应的圆周角度数；②逆向推导时，先由90°的圆周角推出对应圆心角为180°，再根据圆心角与弦的对应关系，得到对应弦的类型。
【解析】
1. 求解第一个空：半圆（或直径）所对的弧对应的圆心角为180°，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此该弧所对的圆周角为$\frac{1}{2} × 180° = 90°$，也就是直角。
2. 求解第二个空：若圆周角为90°，则其所对的圆心角为$2 × 90° = 180°$，圆心角为180°时对应的弦为直径，因此90°的圆周角所对的弦是直径。
【答案】
直角 直径
【知识点】
圆周角定理，圆周角推论
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆周角相关推论的识记与理解，掌握圆周角和圆心角的对应关系即可快速得分。
【难度系数】
0.9
4. 下列说法正确的有
（
① 圆周角的顶点一定在圆上；② 顶点在圆上的角是圆周角；③ 圆周角的两边都和圆相交；
④ 两边都和圆相交的角是圆周角.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（
B
）① 圆周角的顶点一定在圆上；② 顶点在圆上的角是圆周角；③ 圆周角的两边都和圆相交；
④ 两边都和圆相交的角是圆周角.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4. B
解析
【分析】
解题的核心是牢记圆周角的定义，明确圆周角需要同时满足两个必备条件：一是顶点在圆上，二是角的两条边都和圆相交，两个条件缺一不可。接下来逐一验证4个说法是否符合这两个条件，即可判断对错，统计正确说法的数量后选出答案。
【解析】
首先明确圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，需同时满足两个条件，缺一不可。
逐一判断：
① 圆周角的顶点一定在圆上：符合圆周角的定义要求，该说法正确；
② 顶点在圆上的角是圆周角：仅满足顶点在圆上这一个条件，未说明两边是否和圆相交，不符合圆周角的定义，该说法错误；
③ 圆周角的两边都和圆相交：符合圆周角的定义要求，该说法正确；
④ 两边都和圆相交的角是圆周角：仅满足两边和圆相交这一个条件，未说明顶点是否在圆上，不符合圆周角的定义，该说法错误。
综上，正确的说法是①和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握圆周角的两个判定条件，判断时要对两个条件逐一验证，避免因遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记圆周角的定义，明确圆周角需要同时满足两个必备条件：一是顶点在圆上，二是角的两条边都和圆相交，两个条件缺一不可。接下来逐一验证4个说法是否符合这两个条件，即可判断对错，统计正确说法的数量后选出答案。
【解析】
首先明确圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，需同时满足两个条件，缺一不可。
逐一判断：
① 圆周角的顶点一定在圆上：符合圆周角的定义要求，该说法正确；
② 顶点在圆上的角是圆周角：仅满足顶点在圆上这一个条件，未说明两边是否和圆相交，不符合圆周角的定义，该说法错误；
③ 圆周角的两边都和圆相交：符合圆周角的定义要求，该说法正确；
④ 两边都和圆相交的角是圆周角：仅满足两边和圆相交这一个条件，未说明顶点是否在圆上，不符合圆周角的定义，该说法错误。
综上，正确的说法是①和③，共2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确掌握圆周角的两个判定条件，判断时要对两个条件逐一验证，避免因遗漏条件导致判断错误。
【难度系数】
0.7
1. 如图，已知AB是$\odot O$的直径，CD与AB相交于点E，$∠ ACD=60°$，$∠ ADC=50°$，则$∠ AEC$的度数为
80°
。答案
1. 80°
解析
【分析】
要求∠AEC的度数，可借助圆周角相关性质将已知角转化到含∠AEC的三角形中，结合三角形内角和求解。首先利用同弧所对的圆周角相等，由已知的∠ADC得到等角∠ABC；再利用直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，进而求出∠CAB的度数；最后在△AEC中用内角和公式即可算出∠AEC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵ ∠ADC与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC=50°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在△ABC中，$∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ ABC=180°-90°-50°=40°$，
在△AEC中，$∠ AEC=180°-∠ ACD-∠ CAB=180°-60°-40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，直径所对圆周角的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的转化把已知条件集中到同一个三角形中计算即可。
【难度系数】
0.7
要求∠AEC的度数，可借助圆周角相关性质将已知角转化到含∠AEC的三角形中，结合三角形内角和求解。首先利用同弧所对的圆周角相等，由已知的∠ADC得到等角∠ABC；再利用直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，进而求出∠CAB的度数；最后在△AEC中用内角和公式即可算出∠AEC的度数。
【解析】
解：连接BC，
∵ ∠ADC与∠ABC是同弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC=∠ADC=50°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°（直径所对的圆周角为直角），
在△ABC中，$∠ CAB=180°-∠ ACB-∠ ABC=180°-90°-50°=40°$，
在△AEC中，$∠ AEC=180°-∠ ACD-∠ CAB=180°-60°-40°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
圆周角定理，三角形内角和定理，直径所对圆周角的性质
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角的性质，通过角的转化把已知条件集中到同一个三角形中计算即可。
【难度系数】
0.7
2. 如图，A，B，C，D 四点在$\odot O$上，AD 是直径，若 $AD = 6\ \mathrm{cm}$，$∠ ABC = ∠ CAD$，AC =
$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
.答案
2. $3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 看到AD是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此连接CD可得∠ACD=90°；2. 根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠ABC=∠ADC，结合已知∠ABC=∠CAD，推出∠ADC=∠CAD，即可判断△ACD为等腰直角三角形；3. 已知等腰直角三角形的斜边AD长度，利用勾股定理就能求出直角边AC的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC。
又
∵∠ABC=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形。
设AC=CD=x cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$
代入AD=6 cm，得$x^2 + x^2 = 6^2$
$2x^2=36$，解得$x=3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）
即AC的长度为$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用类题目，解题的关键是通过圆周角的等量关系判断出三角形的形状，再结合勾股定理计算边长，难度不高，重点考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 看到AD是圆的直径，优先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此连接CD可得∠ACD=90°；2. 根据“同弧所对的圆周角相等”，可得∠ABC=∠ADC，结合已知∠ABC=∠CAD，推出∠ADC=∠CAD，即可判断△ACD为等腰直角三角形；3. 已知等腰直角三角形的斜边AD长度，利用勾股定理就能求出直角边AC的长度。
【解析】
连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵∠ABC与∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠ADC。
又
∵∠ABC=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，即△ACD是等腰直角三角形。
设AC=CD=x cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AC^2 + CD^2 = AD^2$
代入AD=6 cm，得$x^2 + x^2 = 6^2$
$2x^2=36$，解得$x=3\sqrt{2}$（边长为正，舍去负根）
即AC的长度为$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$3\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；勾股定理
【点评】
本题是圆周角性质的基础应用类题目，解题的关键是通过圆周角的等量关系判断出三角形的形状，再结合勾股定理计算边长，难度不高，重点考查对基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系是 （
A.∠1＞∠2＞∠3
B.∠3＞∠1＞∠2
C.∠2＞∠1＞∠3
D.∠3＞∠2＞∠1
D
）A.∠1＞∠2＞∠3
B.∠3＞∠1＞∠2
C.∠2＞∠1＞∠3
D.∠3＞∠2＞∠1
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先观察三个角的共同特征：三个角所对的弧都是弧BC，接下来分别判断三个角顶点与圆的位置关系：∠3的顶点E在圆内，∠2的顶点A在圆上（属于圆周角），∠1的顶点D在圆外。再根据同弧所对的圆内角、圆周角、圆外角的大小规律即可判断三个角的大小关系。
【解析】
已知∠1、∠2、∠3所对的弧均为弧BC：
1. 顶点E在⊙O内部，故∠3是弧BC所对的圆内角；
2. 顶点A在⊙O上，故∠2是弧BC所对的圆周角；
3. 顶点D在⊙O外部，故∠1是弧BC所对的圆外角。
根据同弧所对角的大小规律：同弧所对的圆内角＞圆周角＞圆外角，因此可得$\boldsymbol{∠3＞∠2＞∠1}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的性质；同弧所对角的大小比较
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是明确三个角所对的弧相同，再结合角的顶点和圆的位置关系判断角的大小，熟练掌握相关规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察三个角的共同特征：三个角所对的弧都是弧BC，接下来分别判断三个角顶点与圆的位置关系：∠3的顶点E在圆内，∠2的顶点A在圆上（属于圆周角），∠1的顶点D在圆外。再根据同弧所对的圆内角、圆周角、圆外角的大小规律即可判断三个角的大小关系。
【解析】
已知∠1、∠2、∠3所对的弧均为弧BC：
1. 顶点E在⊙O内部，故∠3是弧BC所对的圆内角；
2. 顶点A在⊙O上，故∠2是弧BC所对的圆周角；
3. 顶点D在⊙O外部，故∠1是弧BC所对的圆外角。
根据同弧所对角的大小规律：同弧所对的圆内角＞圆周角＞圆外角，因此可得$\boldsymbol{∠3＞∠2＞∠1}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
圆周角的性质；同弧所对角的大小比较
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是明确三个角所对的弧相同，再结合角的顶点和圆的位置关系判断角的大小，熟练掌握相关规律即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
4. 下列命题中，真命题的个数为（
① 顶点在圆周上的角是圆周角；② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③ $90°$的圆周角所对的弦是直径；④ 直径所对的角是直角；⑤ 圆周角相等，它们所对的弧也相等；⑥ 同弧或等弧所对的圆周角相等.
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）① 顶点在圆周上的角是圆周角；② 圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③ $90°$的圆周角所对的弦是直径；④ 直径所对的角是直角；⑤ 圆周角相等，它们所对的弧也相等；⑥ 同弧或等弧所对的圆周角相等.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
4. B
解析
【分析】
本题考查圆周角的相关概念与定理，解题时需逐个分析每个命题，结合圆周角的定义、圆周角定理及推论的完整内容，判断命题是否缺少成立的前提条件，进而确定真命题的个数。
【解析】
我们逐个判断6个命题的真假：
① 圆周角的定义为：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。仅顶点在圆周上无法判定是圆周角，该命题为假命题；
② 只有同弧或等弧所对的圆周角的度数，才等于它所对圆心角度数的一半，命题缺少前提条件，为假命题；
③ 根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，该命题为真命题；
④ 直径所对的圆周角是直角，命题未限定角是圆周角，为假命题；
⑤ 只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，命题缺少前提条件，为假命题；
⑥ 根据圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，该命题为真命题。
综上，真命题为③⑥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义；圆周角定理及推论
【点评】
本题侧重考查对基础定理的准确理解，解题的关键是牢记圆周角相关定理的适用前提，避免因遗漏限定条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查圆周角的相关概念与定理，解题时需逐个分析每个命题，结合圆周角的定义、圆周角定理及推论的完整内容，判断命题是否缺少成立的前提条件，进而确定真命题的个数。
【解析】
我们逐个判断6个命题的真假：
① 圆周角的定义为：顶点在圆上，且两边都与圆相交的角。仅顶点在圆周上无法判定是圆周角，该命题为假命题；
② 只有同弧或等弧所对的圆周角的度数，才等于它所对圆心角度数的一半，命题缺少前提条件，为假命题；
③ 根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，该命题为真命题；
④ 直径所对的圆周角是直角，命题未限定角是圆周角，为假命题；
⑤ 只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等，命题缺少前提条件，为假命题；
⑥ 根据圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，该命题为真命题。
综上，真命题为③⑥，共2个。
【答案】
B
【知识点】
圆周角的定义；圆周角定理及推论
【点评】
本题侧重考查对基础定理的准确理解，解题的关键是牢记圆周角相关定理的适用前提，避免因遗漏限定条件出现判断错误。
【难度系数】
0.7
5. 如图，AC是$\odot O$的直径，点B，D在$\odot O$上，那么图中等于$\frac{1}{2}∠BOC$的角有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5. C
解析
【分析】
要找到等于$\frac{1}{2}∠BOC$的角，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。首先确定$∠BOC$是弧$BC$所对的圆心角，先找出弧$BC$所对的所有圆周角，这些角天然等于$\frac{1}{2}∠BOC$；再观察图形中有没有和这些圆周角相等的角，也符合要求。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
$∠BOC$是弧$BC$所对的圆心角，弧$BC$所对的圆周角有$∠BAC$、$∠BDC$，因此：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
2. 因为$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OB$，$△ OAB$是等腰三角形，因此$∠ OBA=∠ BAC$，代入得$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ BOC$。
综上，符合要求的角有$∠ BAC$、$∠ BDC$、$∠ OBA$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题重点考查圆周角定理的应用，解题时需要先根据定理找到对应圆周角，还要注意结合圆半径相等推导出的等腰三角形等角关系，避免遗漏符合条件的角。
【难度系数】
0.7
要找到等于$\frac{1}{2}∠BOC$的角，首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半。首先确定$∠BOC$是弧$BC$所对的圆心角，先找出弧$BC$所对的所有圆周角，这些角天然等于$\frac{1}{2}∠BOC$；再观察图形中有没有和这些圆周角相等的角，也符合要求。
【解析】
1. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
$∠BOC$是弧$BC$所对的圆心角，弧$BC$所对的圆周角有$∠BAC$、$∠BDC$，因此：
$∠ BAC=\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BDC=\frac{1}{2}∠ BOC$。
2. 因为$OA$、$OB$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OB$，$△ OAB$是等腰三角形，因此$∠ OBA=∠ BAC$，代入得$∠ OBA=\frac{1}{2}∠ BOC$。
综上，符合要求的角有$∠ BAC$、$∠ BDC$、$∠ OBA$，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质
【点评】
本题重点考查圆周角定理的应用，解题时需要先根据定理找到对应圆周角，还要注意结合圆半径相等推导出的等腰三角形等角关系，避免遗漏符合条件的角。
【难度系数】
0.7
