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7. 如图，A是半圆上一个三等分点($\overset{\frown}{MA}＞\overset{\frown}{NA}$)，B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，P是直径MN上一动点，$\odot O$的半径为1，求$PA+PB$的最小值。
答案
7. $\sqrt{2}$
解析
【分析】
遇到直线上一动点到直线同侧两点的距离之和最小值问题，可采用“将军饮马”模型的解题思路：通过作其中一个点关于直线的对称点，将两条线段之和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）。本题中先作点A关于直径MN的对称点A'，由对称性质得PA=PA'，则PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA+PB取最小值，即为A'B的长度。再结合弧的等分关系求出∠A'OB的度数，最后利用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
解：作点A关于直径MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA、OA'、OB，此时PA+PB的最小值为A'B的长。
∵A是半圆上的三等分点，且$\overset{\frown}{MA}＞\overset{\frown}{NA}$，
∴$∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
由轴对称的性质可知：$∠ A'ON = ∠ AON = 60°$，$OA' = OA = 1$。
∵B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴$∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∴$∠ A'OB = ∠ A'ON + ∠ BON = 60° + 30° = 90°$，即$△ A'OB$为等腰直角三角形。
在$Rt△ A'OB$中，$OA' = OB = 1$，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{OA'^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与圆的性质结合，解题的关键是通过对称将线段和的最值转化为可求的定线段长度，再结合圆心角和勾股定理计算，是几何中比较典型的综合应用题型。
【难度系数】
0.6
遇到直线上一动点到直线同侧两点的距离之和最小值问题，可采用“将军饮马”模型的解题思路：通过作其中一个点关于直线的对称点，将两条线段之和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短）。本题中先作点A关于直径MN的对称点A'，由对称性质得PA=PA'，则PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B三点共线时，PA+PB取最小值，即为A'B的长度。再结合弧的等分关系求出∠A'OB的度数，最后利用勾股定理计算A'B的长度即可。
【解析】
解：作点A关于直径MN的对称点A'，连接A'B，交MN于点P，连接OA、OA'、OB，此时PA+PB的最小值为A'B的长。
∵A是半圆上的三等分点，且$\overset{\frown}{MA}＞\overset{\frown}{NA}$，
∴$∠ AON = \frac{1}{3} × 180° = 60°$。
由轴对称的性质可知：$∠ A'ON = ∠ AON = 60°$，$OA' = OA = 1$。
∵B是$\overset{\frown}{AN}$的中点，
∴$∠ BON = \frac{1}{2}∠ AON = 30°$。
∴$∠ A'OB = ∠ A'ON + ∠ BON = 60° + 30° = 90°$，即$△ A'OB$为等腰直角三角形。
在$Rt△ A'OB$中，$OA' = OB = 1$，由勾股定理得：
$A'B = \sqrt{OA'^2 + OB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。
即$PA+PB$的最小值为$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
最短路径问题，圆心角与弧的关系，勾股定理
【点评】
本题将轴对称最短路径模型与圆的性质结合，解题的关键是通过对称将线段和的最值转化为可求的定线段长度，再结合圆心角和勾股定理计算，是几何中比较典型的综合应用题型。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在$\odot O$中，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，$∠ A=50°$，则$∠ BOC=$
（第1题）
$40°$
。（第1题）答案
1. $40°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先，OA和OB都是$\odot O$的半径，因此长度相等，可得$△ OAB$是等腰三角形，结合已知$∠ A=50°$，可先求出$△ OAB$的顶角$∠ AOB$的度数；其次，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，可知$∠ BOC$是$∠ AOB$的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ OA、OB为$\odot O$的半径
$\therefore$ OA=OB，$△ OAB$为等腰三角形
$\therefore ∠ B=∠ A=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore$ 两段弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入$∠ AOB=80°$，得：
$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，将圆的基本性质和等腰三角形性质结合考查，解题的关键是先求出$∠ AOB$的度数，再利用等弧对等圆心角的性质推导$∠ BOC$和$∠ AOB$的数量关系，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题思路如下：首先，OA和OB都是$\odot O$的半径，因此长度相等，可得$△ OAB$是等腰三角形，结合已知$∠ A=50°$，可先求出$△ OAB$的顶角$∠ AOB$的度数；其次，C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，根据“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”，可知$∠ BOC$是$∠ AOB$的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ OA、OB为$\odot O$的半径
$\therefore$ OA=OB，$△ OAB$为等腰三角形
$\therefore ∠ B=∠ A=50°$
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AOB=180°-∠ A-∠ B=180°-50°-50°=80°$
$\because$ C是$\overset{\frown}{AB}$的中点
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$
$\therefore$ 两段弧所对的圆心角相等，即$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$
代入$∠ AOB=80°$，得：
$∠ BOC=\frac{1}{2}×80°=40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、圆心角与弧的关系
【点评】
本题属于基础题型，将圆的基本性质和等腰三角形性质结合考查，解题的关键是先求出$∠ AOB$的度数，再利用等弧对等圆心角的性质推导$∠ BOC$和$∠ AOB$的数量关系，熟练掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在$△ ABO$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=35°$，以点$O$为圆心，$OB$为半径的圆交$AB$于点$D$，则$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数是
$70°$
。答案
2. $70°$
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求∠BOD的度数。首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABO的度数，再根据同圆的半径相等可得OD=OB，即△BOD为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠ODB=∠ABO，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=35°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 35° = 55°$。
$\because$ OB、OD都是$\odot O$的半径，
$\therefore$ OB=OD，
$\therefore △ BOD$是等腰三角形，$∠ ODB = ∠ B = 55°$。
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BOD = 180° - ∠ B - ∠ ODB = 180° - 55° - 55° = 70°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数为$70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是结合圆的半径相等构造等腰三角形，将圆的性质和三角形角度计算的知识结合使用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要求$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，即求∠BOD的度数。首先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABO的度数，再根据同圆的半径相等可得OD=OB，即△BOD为等腰三角形，结合等腰三角形等边对等角的性质得到∠ODB=∠ABO，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠BOD的度数。
【解析】
解：在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$∠ A=35°$，
根据直角三角形两锐角互余，得$∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 35° = 55°$。
$\because$ OB、OD都是$\odot O$的半径，
$\therefore$ OB=OD，
$\therefore △ BOD$是等腰三角形，$∠ ODB = ∠ B = 55°$。
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BOD = 180° - ∠ B - ∠ ODB = 180° - 55° - 55° = 70°$，
即$\overset{\frown}{BD}$所对圆心角的度数为$70°$。
【答案】
$70°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；等腰三角形的性质；同圆半径相等
【点评】
本题是基础角度计算题，解题的关键是结合圆的半径相等构造等腰三角形，将圆的性质和三角形角度计算的知识结合使用即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在半径为5的$\odot O$中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且$AB=CD=8$，则OP的长为（
A.3
B.4
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
C
）A.3
B.4
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$
答案
3. C
解析
【分析】
遇到圆中弦长的计算问题，首先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可平分弦，同时构造出含半径、半弦长、弦心距的直角三角形，用勾股定理计算弦心距。本题中两条弦互相垂直，可先分别求出两条弦的弦心距，再结合垂直条件判断出弦心距和OP围成的四边形为正方形，最终求出对角线OP的长度。
【解析】
解：过点O分别作$OM⊥ AB$于M，$ON⊥ CD$于N，连接OB、OD。
根据垂径定理可得：
$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OBM$中，$OB=5$，$BM=4$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理可得$ON=3$。
$\because AB⊥ CD$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ CD$，
$\therefore ∠ OMP=∠ ONP=∠ MPN=90°$，
$\therefore$ 四边形OMPN是矩形，
又$\because OM=ON=3$，
$\therefore$ 矩形OMPN是正方形，
$\therefore OP=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线的作法，结合垂径定理、勾股定理和特殊四边形的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
遇到圆中弦长的计算问题，首先考虑垂径定理：过圆心作弦的垂线，可平分弦，同时构造出含半径、半弦长、弦心距的直角三角形，用勾股定理计算弦心距。本题中两条弦互相垂直，可先分别求出两条弦的弦心距，再结合垂直条件判断出弦心距和OP围成的四边形为正方形，最终求出对角线OP的长度。
【解析】
解：过点O分别作$OM⊥ AB$于M，$ON⊥ CD$于N，连接OB、OD。
根据垂径定理可得：
$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，$DN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在$Rt△ OBM$中，$OB=5$，$BM=4$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OB^2-BM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
同理可得$ON=3$。
$\because AB⊥ CD$，$OM⊥ AB$，$ON⊥ CD$，
$\therefore ∠ OMP=∠ ONP=∠ MPN=90°$，
$\therefore$ 四边形OMPN是矩形，
又$\because OM=ON=3$，
$\therefore$ 矩形OMPN是正方形，
$\therefore OP=\sqrt{OM^2+ON^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，解题的关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一常用辅助线的作法，结合垂径定理、勾股定理和特殊四边形的性质即可求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图，以$□ ABCD$的一个顶点A为圆心，AB长为半径作圆，分别交BC，AD于点E，F，BA的延长线交$\odot A$于点G. 试找出图中一对相等的弧，并说明理由. 
答案
4. $\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$,理由略
解析
【分析】
要找出圆中相等的弧，可依据“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”这一性质推导。首先结合已知条件，平行四边形对边平行可得同位角、内错角相等，再结合圆的半径相等可得等腰三角形两底角相等，通过角的等量代换得到一组相等的圆心角，即可推出对应的弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$，理由如下：
连接$AE$，
∵ 点$A$为圆心，$AB$、$AE$都是$\odot A$的半径，
∴ $AB=AE$，
∴ $∠ B=∠ AEB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ GAF=∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ FAE=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ GAF=∠ FAE$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
$\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形、等腰三角形和圆的性质相结合考查，解题的核心是通过角的等量转化得到相等的圆心角，进而得到等弧，掌握各基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要找出圆中相等的弧，可依据“同圆中相等的圆心角所对的弧相等”这一性质推导。首先结合已知条件，平行四边形对边平行可得同位角、内错角相等，再结合圆的半径相等可得等腰三角形两底角相等，通过角的等量代换得到一组相等的圆心角，即可推出对应的弧相等。
【解析】
$\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$，理由如下：
连接$AE$，
∵ 点$A$为圆心，$AB$、$AE$都是$\odot A$的半径，
∴ $AB=AE$，
∴ $∠ B=∠ AEB$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ GAF=∠ B$（两直线平行，同位角相等），$∠ FAE=∠ AEB$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ GAF=∠ FAE$。
∵ 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴ $\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$。
【答案】
$\overset{\frown}{GF}=\overset{\frown}{EF}$
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；圆心角与弧的关系
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平行四边形、等腰三角形和圆的性质相结合考查，解题的核心是通过角的等量转化得到相等的圆心角，进而得到等弧，掌握各基础图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，A,B,C是$\odot O$上的三点，$AB// OC$.
（1）求证：AC平分$∠ OAB$；
（2）过点O作$OE⊥ AB$于点E，交AC于点P.若$AB=2$，$∠ AOE=30°$，求PE的长.
（1）求证：AC平分$∠ OAB$；
（2）过点O作$OE⊥ AB$于点E，交AC于点P.若$AB=2$，$∠ AOE=30°$，求PE的长.
答案
5. (1) 证明:$\because OA=OC,\therefore ∠ C=∠ OAC. \because AB// OC,\therefore ∠ C=∠ BAC,\therefore ∠ OAC=∠ BAC. \therefore AC$平分$∠ OAB.$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析
【分析】
（1）要证明AC平分∠OAB，只需证明∠OAC=∠BAC即可。首先根据圆的半径相等可得OA=OC，由等腰三角形性质推出∠C=∠OAC；再结合AB//OC，根据平行线内错角相等可得∠C=∠BAC，通过等量代换即可完成证明。
（2）先利用垂径定理，由OE⊥AB求出AE的长度；再在Rt△AOE中结合∠AOE=30°求出∠OAE的度数，结合（1）的角平分线结论得到∠EAP的度数；最后在Rt△AEP中利用特殊角的三角函数值即可求出PE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠OAC。
∵AB//OC，
∴∠C=∠BAC（两直线平行，内错角相等），
∴∠OAC=∠BAC，即AC平分∠OAB。
（2）解：
∵OE⊥AB，OE过圆心O，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴∠OAE=90°-30°=60°。
由（1）知AC平分∠OAB，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠OAE=30°。
在Rt△AEP中，∠AEP=90°，
∴$tan∠EAP=\frac{PE}{AE}$，即$tan30°=\frac{PE}{1}$，
∴$PE=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
平行线的性质，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，难度适中，解题的关键是结合等腰三角形性质、平行线性质、垂径定理找到角和边的对应关系，再利用特殊直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
（1）要证明AC平分∠OAB，只需证明∠OAC=∠BAC即可。首先根据圆的半径相等可得OA=OC，由等腰三角形性质推出∠C=∠OAC；再结合AB//OC，根据平行线内错角相等可得∠C=∠BAC，通过等量代换即可完成证明。
（2）先利用垂径定理，由OE⊥AB求出AE的长度；再在Rt△AOE中结合∠AOE=30°求出∠OAE的度数，结合（1）的角平分线结论得到∠EAP的度数；最后在Rt△AEP中利用特殊角的三角函数值即可求出PE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠OAC。
∵AB//OC，
∴∠C=∠BAC（两直线平行，内错角相等），
∴∠OAC=∠BAC，即AC平分∠OAB。
（2）解：
∵OE⊥AB，OE过圆心O，由垂径定理得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2=1$。
在Rt△AOE中，∠AOE=30°，
∴∠OAE=90°-30°=60°。
由（1）知AC平分∠OAB，
∴∠EAP=$\frac{1}{2}$∠OAE=30°。
在Rt△AEP中，∠AEP=90°，
∴$tan∠EAP=\frac{PE}{AE}$，即$tan30°=\frac{PE}{1}$，
∴$PE=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$\boldsymbol{\frac{\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
平行线的性质，垂径定理，解直角三角形
【点评】
本题是圆的基础综合题，难度适中，解题的关键是结合等腰三角形性质、平行线性质、垂径定理找到角和边的对应关系，再利用特殊直角三角形的性质计算即可。
【难度系数】
0.7
