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10 如图，在同一平面内，线段AB的长为6，点A，B到直线l的距离分别为2和3，则符合条件的直线l共有（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
D
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
D
解析
【分析】
解题时先明确点到直线的距离的定义，即从直线外一点向直线作垂线，垂线段的长度就是点到直线的距离。我们分两类情况讨论符合要求的直线：第一类是点A、B在直线l的同侧，第二类是点A、B在直线l的两侧，分别统计两类的直线数量相加即可得到结果，注意不要漏算任意一种情况。
【解析】
我们分两种情况分析：
1. 当A、B两点在直线l的同侧时：
我们可以在线段AB的上方找到1条直线，满足A到该直线的距离为2，B到该直线的距离为3；同理在线段AB的下方也能找到1条满足条件的直线，这类情况共2条直线。
2. 当A、B两点在直线l的两侧时：
此时直线l会与线段AB相交，我们可以画出2条倾斜方向不同的直线，都满足A到直线的距离为2、B到直线的距离为3，这类情况共2条直线。
综上，符合条件的直线l总共有2+2=4条。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离；分类讨论思想；垂线段定义
【点评】
本题需要运用分类讨论的思想解题，解题时容易只考虑两点在直线同侧的情况，忽略两点在直线两侧的情况导致漏解，做题时要全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解题时先明确点到直线的距离的定义，即从直线外一点向直线作垂线，垂线段的长度就是点到直线的距离。我们分两类情况讨论符合要求的直线：第一类是点A、B在直线l的同侧，第二类是点A、B在直线l的两侧，分别统计两类的直线数量相加即可得到结果，注意不要漏算任意一种情况。
【解析】
我们分两种情况分析：
1. 当A、B两点在直线l的同侧时：
我们可以在线段AB的上方找到1条直线，满足A到该直线的距离为2，B到该直线的距离为3；同理在线段AB的下方也能找到1条满足条件的直线，这类情况共2条直线。
2. 当A、B两点在直线l的两侧时：
此时直线l会与线段AB相交，我们可以画出2条倾斜方向不同的直线，都满足A到直线的距离为2、B到直线的距离为3，这类情况共2条直线。
综上，符合条件的直线l总共有2+2=4条。
【答案】
D
【知识点】
点到直线的距离；分类讨论思想；垂线段定义
【点评】
本题需要运用分类讨论的思想解题，解题时容易只考虑两点在直线同侧的情况，忽略两点在直线两侧的情况导致漏解，做题时要全面分析所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
11 [2025扬州期末]在如图所示的方格纸中，A,B,C为3个格点，点C在直线AB外.
（1）借助格点，过点C画出AB的垂线m和平行线n.
（2）由(1),可得直线m,n的位置关系为.
（3）连接AC和BC.若图中每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是.
（1）借助格点，过点C画出AB的垂线m和平行线n.
（2）由(1),可得直线m,n的位置关系为.
（3）连接AC和BC.若图中每个小正方形的边长为1,则△ABC的面积是.
答案
(1) 如图所示
(2) $m⊥ n$
(3) 6
解析
【分析】
1. 第(1)问：方格纸中画AB的平行线可利用平移思路，观察AB的倾斜规律，将AB平移至点C位置即可得到平行线n；画AB的垂线时，结合方格的直角特征，找到过点C且与AB夹角为90°的格点连线，即为垂线m。
2. 第(2)问：根据平行线的性质，若一条直线垂直于一组平行线中的其中一条，那么它也垂直于另一条，结合m⊥AB、n//AB的关系，即可判断m和n的位置关系。
3. 第(3)问：观察△ABC的边BC为竖直线段，可直接将BC作为底，点A到BC的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可，也可以用割补法，用包含△ABC的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积求解。
【解析】
(1) 按照平移法画平行线、结合格点直角特征画垂线的方法，画出符合要求的直线m、n。
(2) 已知n//AB，m⊥AB，根据“垂直于一组平行线中一条直线的直线，也垂直于平行线中的另一条直线”，可得$m⊥n$。
(3) 观察可知BC为竖直线段，长度为4，点A到直线BC的水平距离为3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $m⊥ n$
(3) 6
【知识点】
1. 平行线与垂线的画法
2. 平行线的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查了基础几何作图、线面位置关系判断以及格点图形面积计算，解题关键是掌握网格作图的技巧和三角形面积的计算方法，是几何基础类的典型考题。
【难度系数】
0.75
1. 第(1)问：方格纸中画AB的平行线可利用平移思路，观察AB的倾斜规律，将AB平移至点C位置即可得到平行线n；画AB的垂线时，结合方格的直角特征，找到过点C且与AB夹角为90°的格点连线，即为垂线m。
2. 第(2)问：根据平行线的性质，若一条直线垂直于一组平行线中的其中一条，那么它也垂直于另一条，结合m⊥AB、n//AB的关系，即可判断m和n的位置关系。
3. 第(3)问：观察△ABC的边BC为竖直线段，可直接将BC作为底，点A到BC的水平距离作为高，代入三角形面积公式计算即可，也可以用割补法，用包含△ABC的矩形面积减去周围多余直角三角形的面积求解。
【解析】
(1) 按照平移法画平行线、结合格点直角特征画垂线的方法，画出符合要求的直线m、n。
(2) 已知n//AB，m⊥AB，根据“垂直于一组平行线中一条直线的直线，也垂直于平行线中的另一条直线”，可得$m⊥n$。
(3) 观察可知BC为竖直线段，长度为4，点A到直线BC的水平距离为3，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×3=6$。
【答案】
(1) 如图所示
(2) $m⊥ n$
(3) 6
【知识点】
1. 平行线与垂线的画法
2. 平行线的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题结合方格纸考查了基础几何作图、线面位置关系判断以及格点图形面积计算，解题关键是掌握网格作图的技巧和三角形面积的计算方法，是几何基础类的典型考题。
【难度系数】
0.75
12 [2024包头]如图，直线AB//CD，点E在直线AB上，射线EF交直线CD于点G，则图中与∠AEF互补的角共有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要找出与∠AEF互补的角，首先明确互补的定义：和为180°的两个角互为补角。解题思路分三步：第一步先找∠AEF的邻补角；第二步利用平行线的性质找和∠AEF相加为180°的角；第三步结合对顶角相等，找出和第二步得到的角相等的角，这些也都是∠AEF的补角，最后统计个数即可。
【解析】
1. 根据平角的定义，∠AEF + ∠BEF = 180°，所以∠BEF是∠AEF的补角，为第1个补角。
2. 已知直线AB//CD，EF为截线，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠AEF + ∠CGE = 180°，所以∠CGE是∠AEF的补角，为第2个补角。
3. ∠CGE和∠DGF是对顶角，根据对顶角相等，∠CGE=∠DGF，因此∠AEF + ∠DGF = 180°，所以∠DGF也是∠AEF的补角，为第3个补角。
综上，共有3个与∠AEF互补的角。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的几何概念应用题，需要结合多个基础性质综合分析，解题时注意不要漏算对顶角对应的补角。
【难度系数】
0.7
要找出与∠AEF互补的角，首先明确互补的定义：和为180°的两个角互为补角。解题思路分三步：第一步先找∠AEF的邻补角；第二步利用平行线的性质找和∠AEF相加为180°的角；第三步结合对顶角相等，找出和第二步得到的角相等的角，这些也都是∠AEF的补角，最后统计个数即可。
【解析】
1. 根据平角的定义，∠AEF + ∠BEF = 180°，所以∠BEF是∠AEF的补角，为第1个补角。
2. 已知直线AB//CD，EF为截线，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠AEF + ∠CGE = 180°，所以∠CGE是∠AEF的补角，为第2个补角。
3. ∠CGE和∠DGF是对顶角，根据对顶角相等，∠CGE=∠DGF，因此∠AEF + ∠DGF = 180°，所以∠DGF也是∠AEF的补角，为第3个补角。
综上，共有3个与∠AEF互补的角。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础的几何概念应用题，需要结合多个基础性质综合分析，解题时注意不要漏算对顶角对应的补角。
【难度系数】
0.7
13 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案.若∠1=20°,则∠2的度数为
$140°$
.答案
$140°$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两个核心性质：一是折叠前后对应角相等，二是等宽纸条的对边互相平行。首先结合平行线的内错角相等和折叠的性质，可得到和∠1度数相等的角；再观察图形中角的位置关系，可知∠2与两个∠1的和为平角180°，代入数值计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵等宽纸条的对边互相平行，结合折叠前后对应角相等的性质，可得存在1个和∠1相等的角，度数为20°。
又
∵∠2与这两个20°的角共同组成平角，平角的度数为180°，
∴∠2 = 180° - 2×∠1 = 180° - 2×20° = 140°
【答案】
$140°$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是常见的折叠求角度问题，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平行线的性质找到相等的角，再根据角的和差关系计算，难度适中，需要仔细观察图形的特征。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确两个核心性质：一是折叠前后对应角相等，二是等宽纸条的对边互相平行。首先结合平行线的内错角相等和折叠的性质，可得到和∠1度数相等的角；再观察图形中角的位置关系，可知∠2与两个∠1的和为平角180°，代入数值计算即可得到∠2的度数。
【解析】
解：
∵等宽纸条的对边互相平行，结合折叠前后对应角相等的性质，可得存在1个和∠1相等的角，度数为20°。
又
∵∠2与这两个20°的角共同组成平角，平角的度数为180°，
∴∠2 = 180° - 2×∠1 = 180° - 2×20° = 140°
【答案】
$140°$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题是常见的折叠求角度问题，解题的关键是掌握折叠前后对应角相等的性质，结合平行线的性质找到相等的角，再根据角的和差关系计算，难度适中，需要仔细观察图形的特征。
【难度系数】
0.7
14 [2024 沭阳段考]如图，$BC ⊥ AE$，$DE ⊥ AE$，$∠ 2 + ∠ 3 = 180°$。
（1）请你判断$CF$与$BD$的位置关系，并说明理由；
（2）若$∠ 1 = 80°$，$BC$平分$∠ ABD$，求$∠ ACF$的度数。
（1）请你判断$CF$与$BD$的位置关系，并说明理由；
（2）若$∠ 1 = 80°$，$BC$平分$∠ ABD$，求$∠ ACF$的度数。
答案
(1) $CF// BD$ 理由:因为 $BC⊥ AE,DE⊥ AE$,所以 $BC// DE$.所以$∠ 3+∠ CBD=180°$. 又因为 $∠ 2+∠ 3=180°$,所以 $∠ 2=∠ CBD$. 所以 $CF// BD$.
(2) 因为 $CF// DB$,所以 $∠ 1=∠ ABD=80°$. 又因为 $BC$ 平分 $∠ ABD$,所以 $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABD=40°$. 所以 $∠ 2=∠ CBD=40°$. 因为 $BC⊥ AE$,所以 $∠ ACB=90°$. 所以 $∠ ACF=90°-∠ 2=90°-40°=50°$
(2) 因为 $CF// DB$,所以 $∠ 1=∠ ABD=80°$. 又因为 $BC$ 平分 $∠ ABD$,所以 $∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABD=40°$. 所以 $∠ 2=∠ CBD=40°$. 因为 $BC⊥ AE$,所以 $∠ ACB=90°$. 所以 $∠ ACF=90°-∠ 2=90°-40°=50°$
解析
【分析】
（1）判断CF与BD的位置关系时，首先由BC、DE都垂直于AE，可得BC和DE平行，再结合平行线性质和已知∠2+∠3=180°，推导角的等量关系，最终根据平行线判定定理即可得到结论。
（2）求∠ACF的度数时，先利用（1）中CF与BD平行的结论，结合平行线性质得到∠ABD的度数，再根据角平分线定义求出∠CBD的度数，进而得到∠2的度数，最后结合BC垂直AE的条件，通过角度差计算即可得∠ACF的度数。
【解析】
（1）$CF// BD$，理由如下：
$\because BC⊥ AE,DE⊥ AE$
$\therefore BC// DE$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore ∠ 3+∠ CBD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$
$\therefore ∠ 2=∠ CBD$（同角的补角相等）
$\therefore CF// BD$（内错角相等，两直线平行）
（2）$\because CF// BD$
$\therefore ∠ ABD=∠ 1=80°$（两直线平行，同位角相等）
$\because BC$平分$∠ ABD$
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}×80°=40°$
由（1）可知$∠ 2=∠ CBD$，即$∠ 2=40°$
$\because BC⊥ AE$
$\therefore ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ ACF=∠ ACB-∠ 2=90°-40°=50°$
【答案】
（1）$CF// BD$，理由见解析；（2）$∠ ACF=50°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型基础题，重点考查平行线判定定理、性质定理的综合应用，解题时要理清条件和对应的几何结论，逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
（1）判断CF与BD的位置关系时，首先由BC、DE都垂直于AE，可得BC和DE平行，再结合平行线性质和已知∠2+∠3=180°，推导角的等量关系，最终根据平行线判定定理即可得到结论。
（2）求∠ACF的度数时，先利用（1）中CF与BD平行的结论，结合平行线性质得到∠ABD的度数，再根据角平分线定义求出∠CBD的度数，进而得到∠2的度数，最后结合BC垂直AE的条件，通过角度差计算即可得∠ACF的度数。
【解析】
（1）$CF// BD$，理由如下：
$\because BC⊥ AE,DE⊥ AE$
$\therefore BC// DE$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）
$\therefore ∠ 3+∠ CBD=180°$（两直线平行，同旁内角互补）
又$\because ∠ 2+∠ 3=180°$
$\therefore ∠ 2=∠ CBD$（同角的补角相等）
$\therefore CF// BD$（内错角相等，两直线平行）
（2）$\because CF// BD$
$\therefore ∠ ABD=∠ 1=80°$（两直线平行，同位角相等）
$\because BC$平分$∠ ABD$
$\therefore ∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABD=\frac{1}{2}×80°=40°$
由（1）可知$∠ 2=∠ CBD$，即$∠ 2=40°$
$\because BC⊥ AE$
$\therefore ∠ ACB=90°$
$\therefore ∠ ACF=∠ ACB-∠ 2=90°-40°=50°$
【答案】
（1）$CF// BD$，理由见解析；（2）$∠ ACF=50°$
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂线的性质
【点评】
本题是平行线章节的典型基础题，重点考查平行线判定定理、性质定理的综合应用，解题时要理清条件和对应的几何结论，逐步推导角度关系即可求解。
【难度系数】
0.7
15 若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为 （
A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
C
）A.4或5
B.3或4
C.3或4或5
D.4或5或6
答案
C
解析
【分析】
解决本题的核心是明确多边形截去一个角时，截线位置不同会导致新多边形的边数出现三种变化情况，解题时需分类讨论：①截线经过两个相邻顶点，此时新多边形比原多边形少1条边；②截线经过1个顶点和1条边，此时新多边形与原多边形边数相等；③截线不经过任何顶点，仅截两条相邻的边，此时新多边形比原多边形多1条边。已知截去角后得到四边形，反向推导原多边形边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论原多边形的边数：
1. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形多1：已知新多边形是四边形，则原多边形边数为 $4-1=3$，即三角形，符合要求；
2. 若截去一个角后新多边形边数与原多边形相等：则原多边形边数为 $4$，即四边形，符合要求；
3. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形少1：则原多边形边数为 $4+1=5$，即五边形，符合要求。
综上，原来的多边形边数可能为3、4、5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形的基本概念，截角问题的边数变化
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略截角的多种情况，导致漏解，结合画图验证三种截法的边数变化，就能准确得出答案。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确多边形截去一个角时，截线位置不同会导致新多边形的边数出现三种变化情况，解题时需分类讨论：①截线经过两个相邻顶点，此时新多边形比原多边形少1条边；②截线经过1个顶点和1条边，此时新多边形与原多边形边数相等；③截线不经过任何顶点，仅截两条相邻的边，此时新多边形比原多边形多1条边。已知截去角后得到四边形，反向推导原多边形边数即可。
【解析】
我们分三种情况讨论原多边形的边数：
1. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形多1：已知新多边形是四边形，则原多边形边数为 $4-1=3$，即三角形，符合要求；
2. 若截去一个角后新多边形边数与原多边形相等：则原多边形边数为 $4$，即四边形，符合要求；
3. 若截去一个角后新多边形边数比原多边形少1：则原多边形边数为 $4+1=5$，即五边形，符合要求。
综上，原来的多边形边数可能为3、4、5，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
多边形的基本概念，截角问题的边数变化
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略截角的多种情况，导致漏解，结合画图验证三种截法的边数变化，就能准确得出答案。
【难度系数】
0.7
16 如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形.
（1）根据上述多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测$n(n≥4)$边形可以分割成
（2）若一个多边形按上述方法可分割成120个三角形，则这个多边形的边数为
（1）根据上述多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测$n(n≥4)$边形可以分割成
$(n-2)$
个三角形；（2）若一个多边形按上述方法可分割成120个三角形，则这个多边形的边数为
122
.答案
(1) $(n-2)$
(2) 122
(2) 122
解析
【分析】
首先观察给出的三个多边形的分割情况：四边形从一个顶点连接不相邻顶点，可分割成2个三角形，对应边数4，2=4-2；五边形可分割成3个三角形，对应边数5，3=5-2；六边形可分割成4个三角形，对应边数6，4=6-2。由此可归纳出n边形分割得到的三角形个数和边数n的关系；第二问已知三角形个数，代入第一问得到的规律解方程即可求出多边形边数。
【解析】
（1）观察图形规律：
当多边形为4边形时，分割得到的三角形个数为$4-2=2$；
当多边形为5边形时，分割得到的三角形个数为$5-2=3$；
当多边形为6边形时，分割得到的三角形个数为$6-2=4$；
由此可推测，$n(n≥4)$边形可以分割成$(n-2)$个三角形。
（2）已知分割得到的三角形个数为120，根据上述规律列方程：
$n-2=120$
解得$n=122$，即这个多边形的边数为122。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(n-2)}$；（2）$\boldsymbol{122}$
【知识点】
多边形分割规律、规律探究、一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是掌握从n边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点，可将n边形分割为$(n-2)$个三角形这一规律，既可以根据边数求分割的三角形个数，也可以反向根据三角形个数求多边形边数，难度较低。
【难度系数】
0.85
首先观察给出的三个多边形的分割情况：四边形从一个顶点连接不相邻顶点，可分割成2个三角形，对应边数4，2=4-2；五边形可分割成3个三角形，对应边数5，3=5-2；六边形可分割成4个三角形，对应边数6，4=6-2。由此可归纳出n边形分割得到的三角形个数和边数n的关系；第二问已知三角形个数，代入第一问得到的规律解方程即可求出多边形边数。
【解析】
（1）观察图形规律：
当多边形为4边形时，分割得到的三角形个数为$4-2=2$；
当多边形为5边形时，分割得到的三角形个数为$5-2=3$；
当多边形为6边形时，分割得到的三角形个数为$6-2=4$；
由此可推测，$n(n≥4)$边形可以分割成$(n-2)$个三角形。
（2）已知分割得到的三角形个数为120，根据上述规律列方程：
$n-2=120$
解得$n=122$，即这个多边形的边数为122。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(n-2)}$；（2）$\boldsymbol{122}$
【知识点】
多边形分割规律、规律探究、一元一次方程应用
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，核心是掌握从n边形的一个顶点出发，连接其余不相邻顶点，可将n边形分割为$(n-2)$个三角形这一规律，既可以根据边数求分割的三角形个数，也可以反向根据三角形个数求多边形边数，难度较低。
【难度系数】
0.85
