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17 如图，C是AB的中点，点D，E分别在AC，BC上，且$AD+BE=5$，$AE+BD=9$，则CB的长为
（第17题）
$\frac{7}{2}$
。（第17题）答案
$\frac{7}{2}$ 【解析】设 $DE=x$. 因为 $AE+BD=9$,$AE=AD+DE$,$BD=DE+BE$,所以 $AD+x+x+BE=9$. 因为 $AD+BE=5$,所以 $2x=4$,解得 $x=2$. 所以 $DE=2$. 所以 $AB=AD+DE+BE=7$. 因为 $C$ 是 $AB$ 的中点,所以 $CB=\frac{1}{2}AB=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
要求CB的长，已知C是AB的中点，因此只需先求出AB的长度即可。首先观察已知条件：$AD+BE=5$，若能求出DE的长度，就可由$AB=AD+DE+BE$得到AB的长。再结合$AE+BD=9$，将AE拆分为$AD+DE$，BD拆分为$BE+DE$，代入后即可得到包含$AD+BE$和DE的关系式，利用整体代入$AD+BE=5$就能求出DE的长度，进而求出AB，最后根据中点的性质计算CB即可。
【解析】
设$DE=x$。
因为$AE=AD+DE$，$BD=DE+BE$，且$AE+BD=9$，
所以代入得：$AD+DE+DE+BE=9$，即$(AD+BE)+2x=9$。
又因为$AD+BE=5$，代入上式得：$5+2x=9$，
解得$x=2$，即$DE=2$。
因此$AB=AD+DE+BE=(AD+BE)+DE=5+2=7$。
因为C是AB的中点，所以$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查线段相关的基础运算，解题的关键是合理拆分线段，结合已知条件用整体代入的方法求出未知线段的长度，再利用线段中点的性质得到结果，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要求CB的长，已知C是AB的中点，因此只需先求出AB的长度即可。首先观察已知条件：$AD+BE=5$，若能求出DE的长度，就可由$AB=AD+DE+BE$得到AB的长。再结合$AE+BD=9$，将AE拆分为$AD+DE$，BD拆分为$BE+DE$，代入后即可得到包含$AD+BE$和DE的关系式，利用整体代入$AD+BE=5$就能求出DE的长度，进而求出AB，最后根据中点的性质计算CB即可。
【解析】
设$DE=x$。
因为$AE=AD+DE$，$BD=DE+BE$，且$AE+BD=9$，
所以代入得：$AD+DE+DE+BE=9$，即$(AD+BE)+2x=9$。
又因为$AD+BE=5$，代入上式得：$5+2x=9$，
解得$x=2$，即$DE=2$。
因此$AB=AD+DE+BE=(AD+BE)+DE=5+2=7$。
因为C是AB的中点，所以$CB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段和差计算，线段中点定义，整体代入求值
【点评】
本题侧重考查线段相关的基础运算，解题的关键是合理拆分线段，结合已知条件用整体代入的方法求出未知线段的长度，再利用线段中点的性质得到结果，解题思路清晰，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
18 如图，将三个相同的正方形的一个顶点重合放置，且$∠ COE=40°$，$∠ BOF=30°$，则$∠ AOD$的度数为
$20°$
。答案
$20°$ 【解析】注意到正方形的每个内角都是直角,因为 $∠ AOF=90°-∠ BOF=90°-30°=60°$,$∠ DOE=90°-∠ COE=90°-40°=50°$,所以 $∠ AOD=∠ AOF+∠ DOE-∠ EOF=60°+50°-90°=20°$.
解析
【分析】
解题时首先回忆正方形的基本性质：正方形的每个内角都是90°。观察图形可知，三个正方形的顶点重合于O点，因此以O为顶点的三个正方形内角均为直角。我们要求∠AOD，可先根据已知的∠COE、∠BOF分别求出∠DOE和∠AOF的度数；再分析角的和差关系：∠AOF与∠DOE相加时，重叠了我们要求的∠AOD，其余部分恰好是正方形的直角∠EOF，因此用∠AOF与∠DOE的和减去90°即可得到∠AOD的度数。
【解析】
因为正方形的每个内角均为90°，所以：
$∠ AOF = 90° - ∠ BOF = 90° - 30° = 60°$
$∠ DOE = 90° - ∠ COE = 90° - 40° = 50°$
又因为$∠ AOF + ∠ DOE = ∠ EOF + ∠ AOD$，且$∠ EOF=90°$，所以：
$∠ AOD = ∠ AOF + ∠ DOE - ∠ EOF = 60° + 50° - 90° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
正方形内角性质，角的和差计算，重叠角运算
【点评】
本题考查正方形的基本性质和角的和差运算，解题关键是准确识别重叠角的数量关系，避免多算或者漏算重叠部分的角度，熟练掌握角的和差计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正方形的基本性质：正方形的每个内角都是90°。观察图形可知，三个正方形的顶点重合于O点，因此以O为顶点的三个正方形内角均为直角。我们要求∠AOD，可先根据已知的∠COE、∠BOF分别求出∠DOE和∠AOF的度数；再分析角的和差关系：∠AOF与∠DOE相加时，重叠了我们要求的∠AOD，其余部分恰好是正方形的直角∠EOF，因此用∠AOF与∠DOE的和减去90°即可得到∠AOD的度数。
【解析】
因为正方形的每个内角均为90°，所以：
$∠ AOF = 90° - ∠ BOF = 90° - 30° = 60°$
$∠ DOE = 90° - ∠ COE = 90° - 40° = 50°$
又因为$∠ AOF + ∠ DOE = ∠ EOF + ∠ AOD$，且$∠ EOF=90°$，所以：
$∠ AOD = ∠ AOF + ∠ DOE - ∠ EOF = 60° + 50° - 90° = 20°$
【答案】
$20°$
【知识点】
正方形内角性质，角的和差计算，重叠角运算
【点评】
本题考查正方形的基本性质和角的和差运算，解题关键是准确识别重叠角的数量关系，避免多算或者漏算重叠部分的角度，熟练掌握角的和差计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
19 将一块含$30°$角的直角三角尺与一把直尺按如图所示的方式放置，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$.若$∠1=α°$，则$∠3-∠2$的度数为
$(30+2α)°$
（用含$α$的式子表示）。答案
$(30+2α)°$ 【解析】用含 $α$ 的式子分别表示出 $∠ 2=60°-α°$,$∠ 3=90°+α°$,所以 $∠ 3-∠ 2=90°+α°-(60°-α°)=(30+2α)°$.
解析
【分析】
解题时首先要明确直尺的上下两边互相平行，再结合直角三角尺的已知角度，先利用平行线的性质和三角形内角和定理，分别将∠2、∠3用含α的式子表示出来，最后将两个式子相减，化简后就能得到∠3-∠2的结果。
【解析】
首先在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-90°-30°=60°$。
因为直尺的上下两条对边互相平行，根据平行线的性质可得$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B=60°$，已知$∠1=α°$，代入得$∠2=60°-α°$。
再根据平行线的性质和三角形外角的性质，可得$∠3 = 90° + ∠1 = 90°+α°$。
因此$∠3-∠2=(90°+α°)-(60°-α°)=90°+α°-60°+α°=(30+2α)°$。
【答案】
$(30+2α)°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角度运算
【点评】
本题结合三角尺与直尺的摆放考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及三角形的相关性质，找到各个角之间的数量关系后代入计算即可，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确直尺的上下两边互相平行，再结合直角三角尺的已知角度，先利用平行线的性质和三角形内角和定理，分别将∠2、∠3用含α的式子表示出来，最后将两个式子相减，化简后就能得到∠3-∠2的结果。
【解析】
首先在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ B=180°-90°-30°=60°$。
因为直尺的上下两条对边互相平行，根据平行线的性质可得$∠ 1 + ∠ 2 = ∠ B=60°$，已知$∠1=α°$，代入得$∠2=60°-α°$。
再根据平行线的性质和三角形外角的性质，可得$∠3 = 90° + ∠1 = 90°+α°$。
因此$∠3-∠2=(90°+α°)-(60°-α°)=90°+α°-60°+α°=(30+2α)°$。
【答案】
$(30+2α)°$
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理；角度运算
【点评】
本题结合三角尺与直尺的摆放考查角度计算，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及三角形的相关性质，找到各个角之间的数量关系后代入计算即可，是角度计算类的典型题型。
【难度系数】
0.7
20 如图，直线AB，CD相交于点O，$∠ AOC=75°$，$∠ BOE:∠ DOE=2:3$.
（1）求$∠ BOE$的度数；
（2）若OF平分$∠ AOE$，试说明OA是$∠ COF$的平分线.
（1）求$∠ BOE$的度数；
（2）若OF平分$∠ AOE$，试说明OA是$∠ COF$的平分线.
答案
(1) 因为直线 $AB,CD$ 相交于点 $O$,所以 $∠ BOD=∠ AOC=75°$. 因为 $∠ BOE:∠ DOE=2:3$,所以 $∠ BOE=\frac{2}{2+3}∠ BOD=\frac{2}{5}×75°=30°$
(2) 因为 $∠ AOE+∠ BOE=180°$,$∠ BOE=30°$,所以 $∠ AOE=150°$. 因为 $OF$ 平分 $∠ AOE$,所以 $∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=75°$. 因为 $∠ AOC=75°$,所以 $∠ AOC=∠ AOF$,所以 $OA$ 是 $∠ COF$ 的平分线
(2) 因为 $∠ AOE+∠ BOE=180°$,$∠ BOE=30°$,所以 $∠ AOE=150°$. 因为 $OF$ 平分 $∠ AOE$,所以 $∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=75°$. 因为 $∠ AOC=75°$,所以 $∠ AOC=∠ AOF$,所以 $OA$ 是 $∠ COF$ 的平分线
解析
【分析】
（1）首先利用直线相交时对顶角相等的性质，得到∠BOD和已知∠AOC的度数相等，再结合∠BOE与∠DOE的比例关系，按比例分配即可求出∠BOE的度数。
（2）要证明OA是∠COF的平分线，只需证明∠AOC和∠AOF度数相等即可。先根据平角的定义求出∠AOE的度数，再利用角平分线的定义算出∠AOF的度数，对比∠AOC的度数，若相等即可得证。
【解析】
（1）
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=75°（对顶角相等）。
∵∠BOE:∠DOE=2:3，
∴$∠ BOE=\frac{2}{2+3}×∠ BOD=\frac{2}{5}×75°=30°$。
（2）
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角的定义），∠BOE=30°，
∴$∠ AOE=180°-30°=150°$。
∵OF平分∠AOE，
∴$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
又
∵∠AOC=75°，
∴∠AOC=∠AOF，
∴OA是∠COF的平分线。
【答案】
（1）$\boxed{30°}$；（2）OA是∠COF的平分线，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等；平角定义；角平分线定义
【点评】
本题侧重考查相交线相关角的性质，结合比例运算和角平分线的判定，解题核心是准确梳理角与角之间的和差、等量关系，熟练掌握基础概念即可快速推导。
【难度系数】
0.8
（1）首先利用直线相交时对顶角相等的性质，得到∠BOD和已知∠AOC的度数相等，再结合∠BOE与∠DOE的比例关系，按比例分配即可求出∠BOE的度数。
（2）要证明OA是∠COF的平分线，只需证明∠AOC和∠AOF度数相等即可。先根据平角的定义求出∠AOE的度数，再利用角平分线的定义算出∠AOF的度数，对比∠AOC的度数，若相等即可得证。
【解析】
（1）
∵直线AB，CD相交于点O，
∴∠BOD=∠AOC=75°（对顶角相等）。
∵∠BOE:∠DOE=2:3，
∴$∠ BOE=\frac{2}{2+3}×∠ BOD=\frac{2}{5}×75°=30°$。
（2）
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角的定义），∠BOE=30°，
∴$∠ AOE=180°-30°=150°$。
∵OF平分∠AOE，
∴$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×150°=75°$。
又
∵∠AOC=75°，
∴∠AOC=∠AOF，
∴OA是∠COF的平分线。
【答案】
（1）$\boxed{30°}$；（2）OA是∠COF的平分线，理由见解析。
【知识点】
对顶角相等；平角定义；角平分线定义
【点评】
本题侧重考查相交线相关角的性质，结合比例运算和角平分线的判定，解题核心是准确梳理角与角之间的和差、等量关系，熟练掌握基础概念即可快速推导。
【难度系数】
0.8
21 新考向 探究题 如图,线段$AB=28\ \mathrm{cm}$,点$D$和点$C$在线段$AB$上,且$AC:BC=5:2$,$DC:AB=1:4$.点$P$从点$A$出发,以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$AD$向点$C$运动,点$P$到达点$C$所在位置后立即按照原路原速返回,到达点$D$所在位置后停止运动,点$Q$从点$B$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度沿射线$BC$的方向运动,点$Q$到达点$D$所在的位置后停止运动.点$P$和点$Q$同时出发,设点$Q$运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 线段$AD$的长为
(2) 当$C$恰好为$PQ$的中点时,求$t$的值;
(3) 当$PQ=7\ \mathrm{cm}$时,$t$的值为
(1) 线段$AD$的长为
13
$\mathrm{cm}$;(2) 当$C$恰好为$PQ$的中点时,求$t$的值;
(3) 当$PQ=7\ \mathrm{cm}$时,$t$的值为
$\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8
.答案
(1) 13 【解析】因为 $AB=28\ \mathrm{cm}$,$AC:BC=5:2$,所以 $AC=28×\frac{5}{7}=20(\mathrm{cm})$,$BC=AB-AC=28-20=8(\mathrm{cm})$. 因为 $DC:AB=1:4$,所以 $DC=28×\frac{1}{4}=7(\mathrm{cm})$. 所以 $AD=AC-DC=20-7=13(\mathrm{cm})$.
(2) 根据题意,得点 $P$ 从 $A\to C$ 需要 $20÷4=5(\mathrm{s})$,从 $A\to C\to D$ 共需要 $(20+7)÷4=\frac{27}{4}(\mathrm{s})$;点 $Q$ 从 $B\to C$ 需要 $8÷1=8(\mathrm{s})$,从 $B\to D$ 共需要 $(8+7)÷1=15(\mathrm{s})$. 分情况讨论:① 当 $0≤ t≤5$ 时,$PC=(20-4t)\mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $20-4t=8-t$,得 $t=4$.
② 当 $5＜ t≤\frac{27}{4}$ 时,$PC=(4t-20)\mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $4t-20=8-t$,得 $t=\frac{28}{5}$. ③ 当 $\frac{27}{4}＜ t≤8$ 时,$PC=DC=7\ \mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $7=8-t$,解得 $t=1$(不合题意,舍去). ④ 当 $8＜ t≤15$ 时,点 $P,Q$ 在点 $C$ 同侧,不符合题意. 综上所述,当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,$t$ 的值为 $4$ 或 $\frac{28}{5}$
(3) $\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8 【解析】 ① 当 $0≤ t≤5$ 时,由 $4t+t=28-7$,得 $t=\frac{21}{5}$. ② 当 $5＜ t≤\frac{27}{4}$ 时,由 $8+(4t-20)-t=7$,得 $t=\frac{19}{3}$.
③ 当 $\frac{27}{4}＜ t≤15$ 时,由 $7=15-t$,得 $t=8$. 综上所述,当 $PQ=7\ \mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值为 $\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8.
(2) 根据题意,得点 $P$ 从 $A\to C$ 需要 $20÷4=5(\mathrm{s})$,从 $A\to C\to D$ 共需要 $(20+7)÷4=\frac{27}{4}(\mathrm{s})$;点 $Q$ 从 $B\to C$ 需要 $8÷1=8(\mathrm{s})$,从 $B\to D$ 共需要 $(8+7)÷1=15(\mathrm{s})$. 分情况讨论:① 当 $0≤ t≤5$ 时,$PC=(20-4t)\mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $20-4t=8-t$,得 $t=4$.
② 当 $5＜ t≤\frac{27}{4}$ 时,$PC=(4t-20)\mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $4t-20=8-t$,得 $t=\frac{28}{5}$. ③ 当 $\frac{27}{4}＜ t≤8$ 时,$PC=DC=7\ \mathrm{cm}$,$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$. 由 $7=8-t$,解得 $t=1$(不合题意,舍去). ④ 当 $8＜ t≤15$ 时,点 $P,Q$ 在点 $C$ 同侧,不符合题意. 综上所述,当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,$t$ 的值为 $4$ 或 $\frac{28}{5}$
(3) $\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8 【解析】 ① 当 $0≤ t≤5$ 时,由 $4t+t=28-7$,得 $t=\frac{21}{5}$. ② 当 $5＜ t≤\frac{27}{4}$ 时,由 $8+(4t-20)-t=7$,得 $t=\frac{19}{3}$.
③ 当 $\frac{27}{4}＜ t≤15$ 时,由 $7=15-t$,得 $t=8$. 综上所述,当 $PQ=7\ \mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值为 $\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8.
解析
【分析】
本题是线段上的动点综合问题，解题思路如下：
(1) 先根据线段AB的长度和AC、BC的比例关系算出AC、BC的长度，再根据DC与AB的比例算出DC长度，最后利用AD=AC-DC即可求出AD的长。
(2) 首先计算两个动点的关键时间节点：点P从A到C的时间、从A到C再返回D停止的总时间，点Q从B到C的时间、从B到D停止的总时间，再分不同时间段分别用含t的代数式表示PC和CQ的长度，因为C是PQ中点，所以PC=CQ，据此列方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的范围即可。
(3) 同样按照上述的时间分段，根据不同阶段P、Q的位置，用含t的代数式表示PQ的长度，令其等于7列方程求解，检验解的合理性即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$AB=28\ \mathrm{cm}$，$AC:BC=5:2$，总份数为$5+2=7$份，因此$AC=28×\frac{5}{7}=20\ \mathrm{cm}$，$BC=28-20=8\ \mathrm{cm}$。
又因为$DC:AB=1:4$，所以$DC=28×\frac{1}{4}=7\ \mathrm{cm}$，因此$AD=AC-DC=20-7=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算各关键运动时间：
点P从A到C的时间：$20÷4=5\ \mathrm{s}$，从A到C再返回D停止的总时间：$(20+7)÷4=\frac{27}{4}\ \mathrm{s}$；
点Q从B到C的时间：$8÷1=8\ \mathrm{s}$，从B到D停止的总时间：$(8+7)÷1=15\ \mathrm{s}$。
分情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，点P在A到C的运动过程中，$PC=(20-4t)\mathrm{cm}$，点Q在B到C的运动过程中，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由C为PQ中点得$PC=CQ$，即$20-4t=8-t$，解得$t=4$，符合取值范围。
② 当$5＜ t≤\frac{27}{4}$时，点P从C返回向D运动，$PC=(4t-20)\mathrm{cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由$PC=CQ$得$4t-20=8-t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合取值范围。
③ 当$\frac{27}{4}＜ t≤8$时，点P已经停止在D点，$PC=DC=7\ \mathrm{cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由$PC=CQ$得$7=8-t$，解得$t=1$，不符合该段取值范围，舍去。
④ 当$8＜ t≤15$时，点Q经过C点向D运动，P、Q在C同侧，C不可能为PQ中点，不符合题意。
综上，t的值为$4$或$\frac{28}{5}$。
(3) 分情况讨论$PQ=7\ \mathrm{cm}$的情况：
① 当$0≤ t≤5$时，P在A到C之间，Q在B到C之间，$PQ=28-4t-t=28-5t$，令$28-5t=7$，解得$t=\frac{21}{5}$，符合取值范围。
② 当$5＜ t≤\frac{27}{4}$时，P从C返回向D运动，Q在B到C之间，$PQ=(4t-20)+(8-t)=3t-12$，令$3t-12=7$，解得$t=\frac{19}{3}$，符合取值范围。
③ 当$\frac{27}{4}＜ t≤15$时，P停止在D点，$PQ=|15-t|$，令$|15-t|=7$，解得$t=8$或$t=22$（$t=22$超出总运动时间，舍去），故$t=8$，符合取值范围。
综上，t的值为$\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或$8$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$
(2) $\boxed{4}$或$\boxed{\dfrac{28}{5}}$
(3) $\boxed{\dfrac{21}{5}}$、$\boxed{\dfrac{19}{3}}$或$\boxed{8}$
【知识点】
线段和差计算，动点分类讨论，一元一次方程应用
【点评】
本题以线段上的双动点为背景，结合线段比例、中点性质考查方程思想的应用，解题的关键是找准动点的运动阶段节点，分情况列方程求解，同时要注意检验解是否符合对应时间段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
本题是线段上的动点综合问题，解题思路如下：
(1) 先根据线段AB的长度和AC、BC的比例关系算出AC、BC的长度，再根据DC与AB的比例算出DC长度，最后利用AD=AC-DC即可求出AD的长。
(2) 首先计算两个动点的关键时间节点：点P从A到C的时间、从A到C再返回D停止的总时间，点Q从B到C的时间、从B到D停止的总时间，再分不同时间段分别用含t的代数式表示PC和CQ的长度，因为C是PQ中点，所以PC=CQ，据此列方程求解，最后检验解是否符合对应时间段的范围即可。
(3) 同样按照上述的时间分段，根据不同阶段P、Q的位置，用含t的代数式表示PQ的长度，令其等于7列方程求解，检验解的合理性即可得到结果。
【解析】
(1) 已知$AB=28\ \mathrm{cm}$，$AC:BC=5:2$，总份数为$5+2=7$份，因此$AC=28×\frac{5}{7}=20\ \mathrm{cm}$，$BC=28-20=8\ \mathrm{cm}$。
又因为$DC:AB=1:4$，所以$DC=28×\frac{1}{4}=7\ \mathrm{cm}$，因此$AD=AC-DC=20-7=13\ \mathrm{cm}$。
(2) 先计算各关键运动时间：
点P从A到C的时间：$20÷4=5\ \mathrm{s}$，从A到C再返回D停止的总时间：$(20+7)÷4=\frac{27}{4}\ \mathrm{s}$；
点Q从B到C的时间：$8÷1=8\ \mathrm{s}$，从B到D停止的总时间：$(8+7)÷1=15\ \mathrm{s}$。
分情况讨论：
① 当$0≤ t≤5$时，点P在A到C的运动过程中，$PC=(20-4t)\mathrm{cm}$，点Q在B到C的运动过程中，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由C为PQ中点得$PC=CQ$，即$20-4t=8-t$，解得$t=4$，符合取值范围。
② 当$5＜ t≤\frac{27}{4}$时，点P从C返回向D运动，$PC=(4t-20)\mathrm{cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由$PC=CQ$得$4t-20=8-t$，解得$t=\frac{28}{5}$，符合取值范围。
③ 当$\frac{27}{4}＜ t≤8$时，点P已经停止在D点，$PC=DC=7\ \mathrm{cm}$，$CQ=(8-t)\mathrm{cm}$。
由$PC=CQ$得$7=8-t$，解得$t=1$，不符合该段取值范围，舍去。
④ 当$8＜ t≤15$时，点Q经过C点向D运动，P、Q在C同侧，C不可能为PQ中点，不符合题意。
综上，t的值为$4$或$\frac{28}{5}$。
(3) 分情况讨论$PQ=7\ \mathrm{cm}$的情况：
① 当$0≤ t≤5$时，P在A到C之间，Q在B到C之间，$PQ=28-4t-t=28-5t$，令$28-5t=7$，解得$t=\frac{21}{5}$，符合取值范围。
② 当$5＜ t≤\frac{27}{4}$时，P从C返回向D运动，Q在B到C之间，$PQ=(4t-20)+(8-t)=3t-12$，令$3t-12=7$，解得$t=\frac{19}{3}$，符合取值范围。
③ 当$\frac{27}{4}＜ t≤15$时，P停止在D点，$PQ=|15-t|$，令$|15-t|=7$，解得$t=8$或$t=22$（$t=22$超出总运动时间，舍去），故$t=8$，符合取值范围。
综上，t的值为$\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或$8$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$
(2) $\boxed{4}$或$\boxed{\dfrac{28}{5}}$
(3) $\boxed{\dfrac{21}{5}}$、$\boxed{\dfrac{19}{3}}$或$\boxed{8}$
【知识点】
线段和差计算，动点分类讨论，一元一次方程应用
【点评】
本题以线段上的双动点为背景，结合线段比例、中点性质考查方程思想的应用，解题的关键是找准动点的运动阶段节点，分情况列方程求解，同时要注意检验解是否符合对应时间段的取值范围，避免出现增解。
【难度系数】
0.5
