1 下列运用等式的基本性质变形正确的是 （）

A.由 $ac=bc$，得 $a=b$
B.由 $a=b$，得 $ac=bc$
C.由 $a=b$，得 $a+c=b-c$
D.由 $a^2=3a$，得 $a=3$

1. B

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时首先要明确等式的两条核心基本性质：①等式两边加或减同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来逐一分析每个选项，判断变形是否符合等式基本性质的要求，尤其要注意“除以同一个不为0的数”这个不可缺少的前提条件。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：由$ac=bc$推导$a=b$时，需要满足$c≠0$的前提，若$c=0$，无论$a、b$取何值，$ac=bc$都成立，此时$a$不一定等于$b$，因此A变形错误；
选项B：由$a=b$，根据等式基本性质2，等式两边同时乘同一个数$c$，等式仍然成立，可得$ac=bc$，因此B变形正确；
选项C：由$a=b$，根据等式基本性质1，等式两边只能同时加或减同一个数（或整式），若一边加$c$另一边减$c$，等式不成立（仅$c=0$时特殊成立，不具有普遍性），因此C变形错误；
选项D：由$a^2=3a$推导$a=3$时，需要两边同时除以$a$，此时默认$a≠0$，但实际上$a=0$时等式也成立，$a$的值为0或3，因此D变形错误。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，易错点是忽略等式两边除以同一个数时，该数不能为0的前提，解题时要注意确认变形的前提条件是否成立。
【难度系数】
0.8

2 若关于$x$的方程$(a+2)x^{|a|-1} -2=1$是一元一次方程，则$a$的值为.

2. 2

【分析】
要解决这个问题，首先要明确一元一次方程的核心判定条件：一是只含有1个未知数，二是未知数的最高次数为1，三是含未知数的项的系数不能为0（否则方程不存在一次项，不符合一元一次方程的要求）。我们只需要根据“次数为1”“系数不为0”这两个条件分别列式求解，再取同时满足两个条件的a的值即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的方程$(a+2)x^{|a|-1} -2=1$是一元一次方程
∴ 需同时满足以下两个条件：
1. 未知数$x$的次数为1：
$|a| - 1 = 1$
计算得$|a|=2$，因此$a=2$或$a=-2$
2. 一次项系数不为0：
$a + 2 ≠ 0$
解得$a ≠ -2$
综合两个条件，同时满足要求的$a$的值为2。
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的定义、绝对值的运算、不等式求解
【点评】
本题是一元一次方程定义的基础应用题型，易错点是容易忽略一次项系数不能为0的限制条件，直接得出$a=±2$的错误结果，解题时要逐一验证一元一次方程的判定要素，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.7

3 若关于$x$的方程$2k - 3x = 4$的解与方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$的解相同，则$k$的值为。

3. 11

【分析】
本题属于同解方程问题，解题思路可分为两步：第一步先求解不含参数的方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$，得到$x$的具体取值；第二步利用两个方程解相同的条件，将求出的$x$值代入含参数$k$的方程$2k - 3x = 4$，得到仅关于$k$的一元一次方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
先解方程$\frac{1}{2}x - 3 = 0$：
移项，得$\frac{1}{2}x = 3$
两边同时乘2，得$x = 6$
由于两个方程的解相同，因此$x=6$也是方程$2k - 3x = 4$的解，将$x=6$代入该方程：
$2k - 3× 6 = 4$
计算得$2k - 18 = 4$
移项，得$2k = 4 + 18$
合并同类项，得$2k = 22$
两边同时除以2，得$k = 11$
【答案】
11
【知识点】
同解方程，一元一次方程的解法，方程的解的定义
【点评】
本题是同解方程的基础应用题型，解题核心是利用“解相同”的条件建立参数与已知解的关联，熟练掌握一元一次方程的求解步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4 小张解关于$x$的方程$5a - x = 13$时，误将“$-x$”看成“$+x$”，得到方程的解为$x = -2$，则原方程的解为。

4. $x=2$

【分析】
解题的核心是抓住“误将$-x$看成$+x$”时，方程中的参数$a$的取值是不变的。首先我们可以先把小张得到的错解$x=-2$代入他看错后得到的错误方程，求出参数$a$的正确值，再把$a$的值代入原方程，解一元一次方程就能得到原方程的正确解。
【解析】
1. 小张看错符号后得到的方程为$5a + x = 13$，已知该方程的解为$x=-2$，将$x=-2$代入这个方程，可得：
$\begin{aligned}5a + (-2) &= 13 \\5a &= 13 + 2 \\5a &= 15 \\a &= 3\end{aligned}$
2. 把$a=3$代入原方程$5a - x = 13$，可得：
$\begin{aligned}5×3 - x &= 13 \\15 - x &= 13 \\-x &= 13 - 15 \\-x &= -2 \\x &= 2\end{aligned}$
【答案】
$x=2$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题属于错中求解类题型，解题关键是明确看错运算符号时方程中的参数值不变，先通过错解求出未知参数，再代入原方程求解，侧重对一元一次方程解的定义的理解和应用。
【难度系数】
0.8

5 当k的值为时，关于x的方程8−k=2(x+1)的解与方程3(2x−1)=1−2x的解互为倒数。

5. 2

【分析】
要解这道题可按以下思路推导：首先，题目明确两个方程的解互为倒数，我们优先求解不含参数k的方程$3(2x−1)=1−2x$，得到它的解；再根据倒数的定义，计算出该解的倒数，即为含k方程$8−k=2(x+1)$的解；最后将这个解代入含k的方程，就能求出k的取值。
【解析】
1. 求解方程$3(2x-1)=1-2x$：
去括号得：$6x - 3 = 1 - 2x$
移项得：$6x + 2x = 1 + 3$
合并同类项得：$8x = 4$
系数化为1得：$x = \frac{1}{2}$
2. 因为两个方程的解互为倒数，所以方程$8 - k = 2(x+1)$的解为$\frac{1}{2}$的倒数，即$x=2$。
3. 将$x=2$代入$8 - k = 2(x+1)$：
代入得：$8 - k = 2×(2+1)$
计算右侧：$8 - k = 6$
移项计算得：$k = 8 - 6 = 2$
【答案】
2
【知识点】
一元一次方程的解法；倒数的定义
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是利用“解互为倒数”的条件建立两个方程解的关联，先求解无参数方程，再代入含参方程求参数，主要考查学生的基础计算能力。
【难度系数】
0.8

6 解方程：
(1) $x+5=\frac{1}{2}(x+3)$；
(2) $\frac{x-3}{2}+\frac{x-1}{3}=4$；
(3) $x-\frac{x-2}{2}=1+\frac{2x-1}{3}$；
(4) $\frac{x+4}{0.3}-\frac{2x-0.3}{0.5}=1$。

6. (1) $x=-7$ (2) $x=7$ (3) $x=2$ (4) $x=19.4$

【分析】
解一元一次方程可按照固定步骤求解：①若方程内存在小数分母，先利用分数的基本性质，将对应分数的分子、分母同乘10的倍数，把小数分母转化为整数分母；②去分母：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项；③去括号：依据去括号法则运算，括号前为负号时，括号内每一项都要变号；④移项：将含未知数的项移到方程左侧，常数项移到右侧，移项要变号；⑤合并同类项；⑥系数化为1，得到方程的解。本题4个小题均按照上述步骤逐步计算即可。
【解析】
(1) $x+5=\frac{1}{2}(x+3)$
去分母，两边同乘2得：$2(x+5)=x+3$
去括号得：$2x+10=x+3$
移项得：$2x-x=3-10$
合并同类项得：$x=-7$
(2) $\frac{x-3}{2}+\frac{x-1}{3}=4$
去分母，两边同乘6得：$3(x-3)+2(x-1)=24$
去括号得：$3x-9+2x-2=24$
移项得：$3x+2x=24+9+2$
合并同类项得：$5x=35$
系数化为1得：$x=7$
(3) $x-\frac{x-2}{2}=1+\frac{2x-1}{3}$
去分母，两边同乘6得：$6x-3(x-2)=6+2(2x-1)$
去括号得：$6x-3x+6=6+4x-2$
移项得：$6x-3x-4x=6-2-6$
合并同类项得：$-x=-2$
系数化为1得：$x=2$
(4) $\frac{x+4}{0.3}-\frac{2x-0.3}{0.5}=1$
先将小数分母化为整数，根据分数的基本性质，分子分母同乘10得：$\frac{10x+40}{3}-\frac{20x-3}{5}=1$
去分母，两边同乘15得：$5(10x+40)-3(20x-3)=15$
去括号得：$50x+200-60x+9=15$
移项得：$50x-60x=15-200-9$
合并同类项得：$-10x=-194$
系数化为1得：$x=19.4$
【答案】
(1) $x=-7$；(2) $x=7$；(3) $x=2$；(4) $x=19.4$
【知识点】
一元一次方程的解法，去括号法则，分数的基本性质
【点评】
本题考察一元一次方程的基础求解，解题时需注意去分母时不要漏乘常数项，去括号时注意符号变化，处理小数分母时要区分分数基本性质和等式基本性质的使用，细心计算即可正确求解。
【难度系数】
0.8

7 教材 P126 练习 T1 变式 已知梯形的面积公式为$S=\frac{1}{2}(a+b)h$.
(1) 若$S=30,a=6,h=4$,求$b$的值;
(2) 若$S=50,a=6,b=\frac{5}{3}a$,求$h$的值.

7. (1) 将 $S,a,h$ 的值代入$S=\frac{1}{2}(a+b)h$,得 $30=\frac{1}{2}(6+b)×4$,解得 $b=9$
(2) 由 $a=6,b=\frac{5}{3}a$,得 $b=10$. 将 $S,a,b$ 的值代入$S=\frac{1}{2}(a+b)h$,得 $50=\frac{1}{2}×(6+10)h$,解得 $h=\frac{25}{4}$

【分析】
本题是梯形面积公式的应用类问题，解题核心是将已知量代入公式，转化为一元一次方程求解。(1)问直接代入S、a、h的数值，得到关于b的一元一次方程，按解方程步骤计算即可得到b的值；(2)问先根据a与b的数量关系求出b的值，再将S、a、b代入公式得到关于h的一元一次方程，求解可得h的值。
【解析】
(1) 将$S=30$，$a=6$，$h=4$代入梯形面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$30=\frac{1}{2}(6+b)×4$
化简右侧得$30=2(6+b)$，两边同时除以2得$15=6+b$，移项计算得$b=15-6=9$。
(2) 先计算$b$的值：已知$a=6$，$b=\frac{5}{3}a$，代入得$b=\frac{5}{3}×6=10$。
将$S=50$，$a=6$，$b=10$代入面积公式$S=\frac{1}{2}(a+b)h$，可得：
$50=\frac{1}{2}×(6+10)h$
化简右侧得$50=8h$，两边同时除以8得$h=\frac{50}{8}=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) $b=9$；(2) $h=\frac{25}{4}$
【知识点】
梯形面积公式，代数式求值，一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础运算题，考查公式的灵活应用与一元一次方程的求解，解题时需注意代入数值准确，计算过程遵循运算顺序，避免因计算失误失分。
【难度系数】
0.9

8 [2024 泰安改编]我国古代书籍《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，则买苦果$(1000 - x)$个，可列出符合题意的方程为$\frac{11}{9}x + \frac{4}{7}(1000 - x) = 999$。根据已有信息，题中用“…，…”表示缺失的条件可能为 （）

A.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
B.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱

8. A

【分析】
解题时可根据方程的实际意义反向推导缺失条件：首先明确题中等量关系为“买甜果的总费用+买苦果的总费用=999文”，方程中x是甜果数量，$1000-x$是苦果数量，因此$\frac{11}{9}x$代表甜果总费用，$\frac{4}{7}(1000-x)$代表苦果总费用。结合“总费用=单价×数量”，可分别推出甜果和苦果的单价，对应找到符合的条件即可。
【解析】
根据方程的实际含义：
1. 甜果总费用为$\frac{11}{9}x$，已知x是甜果个数，因此甜果单价为$\frac{11}{9}$文/个，即9个甜果需要11文钱；
2. 苦果总费用为$\frac{4}{7}(1000-x)$，已知$1000-x$是苦果个数，因此苦果单价为$\frac{4}{7}$文/个，即7个苦果需要4文钱。
综上，缺失的条件为“甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱”，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的实际应用
2. 单价、数量、总价的关系
【点评】
本题反向考查一元一次方程的实际意义，解题核心是明确方程中各代数式对应的实际量，结合基础的购物数量关系即可快速判断，注重对基础知识理解与应用能力的考查。
【难度系数】
0.8