1 [2025 湖北]幻方起源于我国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成表中填空.

1. (1) 5 11
(2) $n+1$ $n+7$
(3) 11 3
(4) $m+8$

【分析】
解题首先要明确两个核心规律：①月历数字排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7；②三阶幻方性质：每行、每列、两条对角线的三个数之和相等，且所有数的总和等于3倍的幻和（即每行的和）。
（1）针对图②，先利用同一行相邻数差1求a，再利用同一列上下数差7求b；
（2）针对图③，用同一行相邻数差1直接写出c的表达式，再用同一列上下数差7写出d的表达式；
（3）针对幻方问题，先计算图④中9个数的总和，求出幻和，再根据幻和分别计算e和f；
（4）先写出最小数为m时9个月历数的总和，求出幻和，再根据第二行三个数的和等于幻和，列式子求解g的表达式。
【解析】
（1）月历中同一行相邻数相差1，图②第一行为4、a、6，因此$a=4+1=5$；
月历中同一列相邻数相差7，4在第一行第一列，第二行第一列的b是4下方的数，因此$b=4+7=11$。
（2）图③第一行为$n$、$c$、$n+2$，同一行相邻数差1，因此$c=n+1$；
d在第一列第二行，是第一列第一个数n下方的数，同一列差7，因此$d=n+7$。
（3）先计算图④中9个数的总和：$2+3+4+9+10+11+16+17+18=90$，
三阶幻方的幻和（每行的和）为$90÷3=30$，
图⑤第一行三个数和为30，因此$e=30-17-2=11$；
图⑤左上到右下的对角线和为30，因此$f=30-17-10=3$。
（4）若最小数为m，选取的9个月月历数为：$m,m+1,m+2,m+7,m+8,m+9,m+14,m+15,m+16$，
9个数总和为$m+(m+1)+(m+2)+(m+7)+(m+8)+(m+9)+(m+14)+(m+15)+(m+16)=9m+72$，
幻和为$(9m+72)÷3=3m+24$，
图⑥第二行三个数的和等于幻和，即$m+g+(m+16)=3m+24$，
解得$g=3m+24-2m-16=m+8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{11}$
(2) $\boldsymbol{n+1}$，$\boldsymbol{n+7}$
(3) $\boldsymbol{11}$，$\boldsymbol{3}$
(4) $\boldsymbol{m+8}$
【知识点】
月历数字规律，三阶幻方性质，列代数式
【点评】
本题结合生活中的月历和传统的幻方知识，考查数字规律探究与整式运算能力，解题的关键是抓住月历的排列特点和幻方的和相等性质，难度适中，侧重对规律应用能力的考查。
【难度系数】
0.7

2 在学习课本132页的数学探究“月历中的方程问题”后，小明和小红对2026年1月的月历进行探究.小明用如图①所示的“T”字形框在月历中任意框出5个数.如图②，设“T”字形框中的5个数分别为$a_1,a,a_2,a_3,a_4$.
（1）若$a_1=5$，则$a=$；若$a=x$，则$a_3=$（用含$x$的代数式表示）.
（2）在移动“T”字形框的过程中，小明说：“被框出的5个数之和可能为46.”小红说：“被框出的5个数之和可能为71.”他们的说法正确吗？请说明理由.
（3）小丽设计了如图③所示的“倒T”字形框，框出的5个数分别为$b_1,b,b_2,b_3,b_4$.当$b=2a$时，是否存在$b$的值，使得“倒T”字形框中的5个数与“T”字形框中的5个数有且仅有两个数对应相等？若存在，直接写出符合条件的$b$的值；若不存在，请说明理由.

2. (1) 6 $x+7$
(2) 小明的说法正确,小红的说法不正确 理由:由题意,可得$a-1+a+a+1+a+7+a+14=46$,解得$a=$
令$a-1+a+a+1+a+7+a+14=71$,解得$a=10$.根据题图,易得$a=10$时,不能框出5个数.综上所述,小明的说法正确,小红的说法不正确.
(3) 存在 符合条件的$b$的值为16或26或30

【分析】
本题围绕月历中的数字规律展开，解题核心是明确月历中数字的排列规律：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。（1）问先根据T字形中各数和中间数a的位置关系，直接推导数值或代数式；（2）问先用含a的代数式表示出5个数的和，再分别列方程求解，最后验证求得的a是否能框出符合要求的T字形，即可判断两人说法正误；（3）问先写出倒T字形各数和b的关系，结合b=2a的条件，排查符合“仅有两个数对应相等”的情况，即可得到b的值。
【解析】
（1）根据月历数字规律，T字形中$a_1$是a左侧相邻的数，因此$a_1=a-1$，若$a_1=5$，则$a=5+1=6$；$a_3$是a正下方相邻的数，同一列上下数字相差7，若$a=x$，则$a_3=x+7$。
（2）先将T字形的5个数均用a表示：$a_1=a-1$，$a_2=a+1$，$a_3=a+7$，$a_4=a+14$，
则5个数的和为：$(a-1)+a+(a+1)+(a+7)+(a+14)=5a+21$。
① 若5个数的和为46，列方程：$5a+21=46$，
解得$a=5$。
验证：$a=5$在月历第二行周一位置，左侧有数字4、右侧有数字6，下方有数字12、19，可框出符合要求的T字形，故小明的说法正确。
② 若5个数的和为71，列方程：$5a+21=71$，
解得$a=10$。
验证：$a=10$在月历第二行周六位置，右侧没有数字，无法得到$a_2$，不能框出符合要求的T字形，故小红的说法不正确。
（3）倒T字形各数与b的关系为：$b_1=b-1$，$b_2=b+1$，$b_3=b-7$，$b_4=b-14$，结合$b=2a$的条件，排查可得符合“两个框有且仅有两个数对应相等”的b的值为16、26、30。
【答案】
（1）$\boxed{6}$；$\boxed{x+7}$
（2）小明的说法正确，小红的说法不正确，理由见解析
（3）存在，符合条件的$b$的值为$\boxed{16}$或$\boxed{26}$或$\boxed{30}$
【知识点】
月历数字规律，一元一次方程的应用，列代数式
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查数字规律探究与方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握月历中数字的排列特点，列方程求解后要注意检验解是否符合实际框选要求，最后一问需要结合两个框的数字位置分析，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6