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9 已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：5。如果甲桶内的果汁刚好装满120个小纸杯，那么乙桶内的果汁刚好装满
100
个大纸杯。答案
9. 100 【解析】设乙桶内的果汁刚好装满 $x$ 个大纸杯. 根据题意,得 $120×2:3x=4:5$. 解这个方程,得 $x=100$. 所以乙桶内的果汁刚好装满 100 个大纸杯.
解析
【分析】
解题时先明确题中的核心等量关系：甲桶果汁体积:乙桶果汁体积=4:5。我们可以结合小纸杯与大纸杯的容量比，分别用已知数量和未知数量表示出甲、乙两桶果汁的体积，再根据体积比列出比例式，最后利用比例的基本性质解比例即可求出结果。
【解析】
设乙桶内的果汁刚好装满 $x$ 个大纸杯。
已知小纸杯与大纸杯的容量比为2:3，可将小纸杯容量看作2，大纸杯容量看作3，则甲桶果汁体积为 $120×2$，乙桶果汁体积为 $3x$。
根据甲桶与乙桶的体积比为4:5，列比例式：
$(120×2):3x=4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$4×3x=240×5$
$12x=1200$
解得 $x=100$。
【答案】
100
【知识点】
比例的应用；比例的基本性质；比的应用
【点评】
本题是典型的比例实际应用题，解题核心是抓住两桶果汁的体积比这一关键等量关系，结合纸杯容量与数量表示出果汁体积后列比例求解，解题过程中注意不要混淆容量比和体积比的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题中的核心等量关系：甲桶果汁体积:乙桶果汁体积=4:5。我们可以结合小纸杯与大纸杯的容量比，分别用已知数量和未知数量表示出甲、乙两桶果汁的体积，再根据体积比列出比例式，最后利用比例的基本性质解比例即可求出结果。
【解析】
设乙桶内的果汁刚好装满 $x$ 个大纸杯。
已知小纸杯与大纸杯的容量比为2:3，可将小纸杯容量看作2，大纸杯容量看作3，则甲桶果汁体积为 $120×2$，乙桶果汁体积为 $3x$。
根据甲桶与乙桶的体积比为4:5，列比例式：
$(120×2):3x=4:5$
根据比例的基本性质（内项之积等于外项之积），得：
$4×3x=240×5$
$12x=1200$
解得 $x=100$。
【答案】
100
【知识点】
比例的应用；比例的基本性质；比的应用
【点评】
本题是典型的比例实际应用题，解题核心是抓住两桶果汁的体积比这一关键等量关系，结合纸杯容量与数量表示出果汁体积后列比例求解，解题过程中注意不要混淆容量比和体积比的对应关系。
【难度系数】
0.7
10 一列火车匀速行驶经过一条 300 m 长的隧道需要 20 s. 隧道的顶上有一盏灯，垂直向下照射，灯光照在火车上的时间是 10 s. 求这列火车的长度.
答案
10. 设这列火车的长度为 $x$ m. 根据题意,得$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$. 解这个方程,得 $x=300$. 答:这列火车的长度为 300 m
解析
【分析】
本题的解题核心是抓住火车匀速行驶时速度不变的等量关系。首先明确两种场景下火车行驶的路程：①灯光垂直照射火车时，照射时间对应的行驶路程等于火车自身长度，据此可表示出火车的速度；②火车经过隧道时，行驶总路程等于隧道长度加火车自身长度，据此也可表示出火车的速度。两个速度表达式相等，即可列方程求解。
【解析】
设这列火车的长度为$x$ m。
根据火车匀速行驶速度不变，列方程得：
$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$
去分母，得$2x = x + 300$
移项、合并同类项，得$x = 300$
【答案】
这列火车的长度为300 m
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 行程问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是准确梳理不同场景下火车行驶的对应路程，抓住速度不变的核心等量关系建立方程，可有效提升对实际问题中数量关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
本题的解题核心是抓住火车匀速行驶时速度不变的等量关系。首先明确两种场景下火车行驶的路程：①灯光垂直照射火车时，照射时间对应的行驶路程等于火车自身长度，据此可表示出火车的速度；②火车经过隧道时，行驶总路程等于隧道长度加火车自身长度，据此也可表示出火车的速度。两个速度表达式相等，即可列方程求解。
【解析】
设这列火车的长度为$x$ m。
根据火车匀速行驶速度不变，列方程得：
$\frac{x}{10}=\frac{x+300}{20}$
去分母，得$2x = x + 300$
移项、合并同类项，得$x = 300$
【答案】
这列火车的长度为300 m
【知识点】
1. 一元一次方程应用 2. 行程问题
【点评】
本题是行程类典型应用题，解题关键是准确梳理不同场景下火车行驶的对应路程，抓住速度不变的核心等量关系建立方程，可有效提升对实际问题中数量关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
11 [2024北京]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过35 mg/km，A，B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了50%，B类物质排放量降低了75%，A，B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
答案
11. 这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准” 理由:设原来该汽车的 A 类物质排放量为 $x$ mg/km,则原来该汽车的B类物质排放量为$(92-x)$mg/km. 根据题意,得$(1-50\%)x+(1-75\%)(92-x)=40$. 解这个方程,得 $x=68$,此时$(1-50\%)x=34$,即这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为34 mg/km. 因为 $34＜35$,所以这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量符合“标准”.
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准题中的等量关系。首先明确已知条件：①原来A、B两类物质排放量总和为92 mg/km；②技术改进后A类排放量降低50%，B类排放量降低75%，两类排放量总和为40 mg/km。我们可以先设原来A类物质的排放量为未知数，用两类排放量的总和表示出原来B类的排放量，再根据改进后的总排放量列方程求解，最后将计算出的改进后A类排放量与标准要求的35 mg/km比较，即可判断是否符合标准。
【解析】
设原来该汽车的A类物质排放量为$x$ mg/km，则原来该汽车的B类物质排放量为$(92-x)$ mg/km。
根据改进后两类排放量之和为40 mg/km，列方程得：
$(1-50\%)x+(1-75\%)(92-x)=40$
化简方程：$0.5x+0.25(92-x)=40$
展开计算：$0.5x+23-0.25x=40$
合并同类项：$0.25x=17$
解得：$x=68$
则改进后A类物质排放量为：$(1-50\%)×68=34$（mg/km）
已知标准要求A类物质排放量不超过35 mg/km，因为$34＜35$，所以符合标准。
【答案】
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。
【知识点】
一元一次方程的应用，百分数运算，有理数大小比较
【点评】
本题结合环保政策的现实背景，考查运用方程解决实际问题的能力，解题关键是梳理清楚不同状态下两类排放量的数量关系，正确列方程求解，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找准题中的等量关系。首先明确已知条件：①原来A、B两类物质排放量总和为92 mg/km；②技术改进后A类排放量降低50%，B类排放量降低75%，两类排放量总和为40 mg/km。我们可以先设原来A类物质的排放量为未知数，用两类排放量的总和表示出原来B类的排放量，再根据改进后的总排放量列方程求解，最后将计算出的改进后A类排放量与标准要求的35 mg/km比较，即可判断是否符合标准。
【解析】
设原来该汽车的A类物质排放量为$x$ mg/km，则原来该汽车的B类物质排放量为$(92-x)$ mg/km。
根据改进后两类排放量之和为40 mg/km，列方程得：
$(1-50\%)x+(1-75\%)(92-x)=40$
化简方程：$0.5x+0.25(92-x)=40$
展开计算：$0.5x+23-0.25x=40$
合并同类项：$0.25x=17$
解得：$x=68$
则改进后A类物质排放量为：$(1-50\%)×68=34$（mg/km）
已知标准要求A类物质排放量不超过35 mg/km，因为$34＜35$，所以符合标准。
【答案】
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”。
【知识点】
一元一次方程的应用，百分数运算，有理数大小比较
【点评】
本题结合环保政策的现实背景，考查运用方程解决实际问题的能力，解题关键是梳理清楚不同状态下两类排放量的数量关系，正确列方程求解，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.75
12 若关于$ x $的方程$ 5x - a = 0 $的解比关于$ y $的方程$ 3y + a = 0 $的解小2，则$ a $的值是（
A.$ \dfrac{15}{4} $
B.$ -\dfrac{15}{4} $
C.$ \dfrac{4}{15} $
D.$ -\dfrac{4}{15} $
B
）A.$ \dfrac{15}{4} $
B.$ -\dfrac{15}{4} $
C.$ \dfrac{4}{15} $
D.$ -\dfrac{4}{15} $
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先要分别求解两个一元一次方程，用含a的代数式表示出两个方程的解；再根据“5x-a=0的解比3y+a=0的解小2”这一条件梳理出等量关系，列出关于a的一元一次方程，最后解方程即可得到a的值。
【解析】
1. 求解方程$5x - a = 0$：
移项得$5x = a$，系数化为1，得$x = \dfrac{a}{5}$。
2. 求解方程$3y + a = 0$：
移项得$3y = -a$，系数化为1，得$y = -\dfrac{a}{3}$。
3. 根据题意，x比y小2，可得等量关系：$y - x = 2$，将x、y的表达式代入：
$-\dfrac{a}{3} - \dfrac{a}{5} = 2$
两边同时乘15消去分母，得：
$-5a - 3a = 30$
合并同类项得：
$-8a = 30$
系数化为1得：
$a = -\dfrac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列一元一次方程
【点评】
本题侧重考察对一元一次方程解的理解，以及根据等量关系列方程计算的能力，解题时要注意区分两个解的大小关系，避免列错方程，计算过程中注意符号处理即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先要分别求解两个一元一次方程，用含a的代数式表示出两个方程的解；再根据“5x-a=0的解比3y+a=0的解小2”这一条件梳理出等量关系，列出关于a的一元一次方程，最后解方程即可得到a的值。
【解析】
1. 求解方程$5x - a = 0$：
移项得$5x = a$，系数化为1，得$x = \dfrac{a}{5}$。
2. 求解方程$3y + a = 0$：
移项得$3y = -a$，系数化为1，得$y = -\dfrac{a}{3}$。
3. 根据题意，x比y小2，可得等量关系：$y - x = 2$，将x、y的表达式代入：
$-\dfrac{a}{3} - \dfrac{a}{5} = 2$
两边同时乘15消去分母，得：
$-5a - 3a = 30$
合并同类项得：
$-8a = 30$
系数化为1得：
$a = -\dfrac{15}{4}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；列一元一次方程
【点评】
本题侧重考察对一元一次方程解的理解，以及根据等量关系列方程计算的能力，解题时要注意区分两个解的大小关系，避免列错方程，计算过程中注意符号处理即可。
【难度系数】
0.7
13 方程思想 在初中数学文化节游园活动中，小明参加了“智取九宫格”的游戏，游戏规则如下：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m. 小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m的值为
（第13题）
39
.（第13题）答案
13. 39 【解析】设九宫格中最中间的数为 $x$. 根据第 1 列的中间的数与第 2 行的最左侧的数重合,得 $16+4=7+x$,解得 $x=13$. 由于易得九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3 个数之和等于最中间数的 3 倍,所以 $m=3x=39$.
解析
【分析】
要解这道题，首先结合三阶幻方“每行、每列、对角线的和均相等”的规则思考：我们可以先找到包含公共未知量的两个和的等式，通过消元求出九宫格最中间的数，再利用三阶幻方的核心性质求解m。具体思路：观察第一列和第二行，二者都包含第二行第一个数这个公共未知量，分别根据和为m列出等式，消去公共未知量和m就能求出中间数，再利用幻和与中间数的关系计算m即可。
【解析】
设九宫格最中间的数为$x$，第二行第一个数为$c$。
根据第一列3个数之和为$m$，可得：
$16 + c + 4 = m$，整理得$c = m - 20$。
再根据第二行3个数之和为$m$，可得：
$c + x + 7 = m$。
将$c = m - 20$代入上式：
$m - 20 + x + 7 = m$
化简得$x = 13$。
根据三阶幻方的性质，幻和$m$等于中间数的3倍，因此：
$m = 3x = 3×13 = 39$。
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方，一元一次方程应用，等式性质
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查幻方性质与方程思想的应用，解题关键是通过观察找到含公共未知量的等量关系，消元求出中间数后利用幻方性质快速求解，能有效锻炼学生的观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要解这道题，首先结合三阶幻方“每行、每列、对角线的和均相等”的规则思考：我们可以先找到包含公共未知量的两个和的等式，通过消元求出九宫格最中间的数，再利用三阶幻方的核心性质求解m。具体思路：观察第一列和第二行，二者都包含第二行第一个数这个公共未知量，分别根据和为m列出等式，消去公共未知量和m就能求出中间数，再利用幻和与中间数的关系计算m即可。
【解析】
设九宫格最中间的数为$x$，第二行第一个数为$c$。
根据第一列3个数之和为$m$，可得：
$16 + c + 4 = m$，整理得$c = m - 20$。
再根据第二行3个数之和为$m$，可得：
$c + x + 7 = m$。
将$c = m - 20$代入上式：
$m - 20 + x + 7 = m$
化简得$x = 13$。
根据三阶幻方的性质，幻和$m$等于中间数的3倍，因此：
$m = 3x = 3×13 = 39$。
【答案】
39
【知识点】
三阶幻方，一元一次方程应用，等式性质
【点评】
本题结合趣味游戏场景考查幻方性质与方程思想的应用，解题关键是通过观察找到含公共未知量的等量关系，消元求出中间数后利用幻方性质快速求解，能有效锻炼学生的观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
