14 分类讨论思想 如图,在长方形ABCD中,AB=4 cm,BC=3 cm,E为CD上一点,且DE=CE,动点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B→C→E运动,最终到达点E.若点P运动的时间为x s,则当x=时,三角形APE的面积为5 cm².

14. $\frac{10}{3}$或5 【解析】 ① 当点 $P$ 在边 $AB$ 上时,由三角形 $APE$的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,得 $\frac{1}{2}x· 3=5$,解得 $x=\frac{10}{3}$. ② 当点 $P$ 在边 $BC$上时(如图①),由三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,$S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{三角形}CPE}-S_{\mathrm{三角形}ADE}-S_{\mathrm{三角形}ABP}=S_{\mathrm{三角形}APE}$,得 $3×4-\frac{1}{2}(3+4-x)×2-\frac{1}{2}×2×3-\frac{1}{2}×4×(x-4)=5$,解得 $x=5$. ③ 当点 $P$在边 $CE$ 上时(如图②),由三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$,得$\frac{1}{2}(4+3+2-x)×3=5$,解得 $x=\frac{17}{3}＜3+4$,此种情况不合题意,舍去. 综上所述,当 $x=\frac{10}{3}$ 或 5 时,三角形 $APE$ 的面积为 $5\ \mathrm{cm}^2$.

【分析】
本题是动点背景下的面积求解问题，需根据点P的运动位置分三类讨论：①点P在AB边上；②点P在BC边上；③点P在CE边上。每类情况先明确对应x的取值范围，再结合三角形面积公式或割补法表示出△APE的面积，令面积等于5列方程求解，最后验证解是否符合对应区间的取值范围，舍去不合理的解。
【解析】
已知长方形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，E是CD中点，因此DE=CE=2cm，点P的运动速度为1cm/s，分三种情况讨论：
1. 当点P在AB边上（$0＜x≤4$）：
此时AP的长度为$x$ cm，△APE的高等于BC的长度3cm，根据三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × x × 3 =5$
解得$x=\frac{10}{3}$，$\frac{10}{3}$在$0∼4$范围内，符合题意。
2. 当点P在BC边上（$4＜x≤7$）：
用割补法计算△APE的面积：$S_{△ APE}=S_{长方形ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ ABP}-S_{△ CPE}$
其中$S_{长方形ABCD}=3×4=12\mathrm{cm}^2$，$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}×2×3=3\mathrm{cm}^2$；$BP=(x-4)\mathrm{cm}$，故$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×4×(x-4)=2(x-4)\mathrm{cm}^2$；$CP=(7-x)\mathrm{cm}$，故$S_{△ CPE}=\frac{1}{2}×2×(7-x)=(7-x)\mathrm{cm}^2$。
代入面积关系得：$12-3-2(x-4)-(7-x)=5$
解方程得$x=5$，5在$4∼7$范围内，符合题意。
3. 当点P在CE边上（$7＜x≤9$）：
此时$PE=(4+3+2-x)=(9-x)\mathrm{cm}$，△APE的高等于AD的长度3cm，根据三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×(9-x)×3=5$
解得$x=\frac{17}{3}$，$\frac{17}{3}＜7$，不在$7∼9$范围内，因此舍去该解。
综上，符合条件的x的值为$\frac{10}{3}$或5。
【答案】
$\frac{10}{3}$或5

【知识点】
分类讨论思想，三角形面积计算，动点问题求解
【点评】
本题需要结合动点的不同位置分类讨论，计算面积时可灵活选择直接公式法或割补法，求出解后要注意验证是否对应动点所在的区间，避免出现增解。
【难度系数】
0.6

15 教材P135复习题T17变式 有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可燃4 h，细蜡烛可燃3 h。一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的2倍。求停电的时间。

15. 设停电的时间为 $x$ h. 根据题意,得 $1-\frac{x}{4}=2(1-\frac{x}{3})$. 解这个方程,得 $x=2.4$. 答:停电的时间为 2.4 h

【分析】
我们可以将两根蜡烛的初始总长度统一看作单位“1”，先推导两根蜡烛的单位时间燃烧量：粗蜡烛可燃4h，因此每小时燃烧总长度的$\frac{1}{4}$；细蜡烛可燃3h，因此每小时燃烧总长度的$\frac{1}{3}$。设停电时间为$x$h，$x$小时后粗蜡烛剩余长度为$1-\frac{x}{4}$，细蜡烛剩余长度为$1-\frac{x}{3}$，结合“剩余粗蜡烛长度是细蜡烛的2倍”这一等量关系列一元一次方程，求解即可得到停电时间。
【解析】
解：设停电的时间为$x$ h，将蜡烛初始长度看作单位“1”。
根据剩余粗蜡烛长度是细蜡烛的2倍，列方程：
$1-\frac{x}{4}=2(1-\frac{x}{3})$
解方程：
去括号得：$1-\frac{x}{4}=2-\frac{2x}{3}$
移项得：$\frac{2x}{3}-\frac{x}{4}=2-1$
通分计算得：$\frac{5x}{12}=1$
解得：$x=2.4$
答：停电的时间为2.4 h。
【答案】
2.4 h
【知识点】
一元一次方程应用，单位“1”法，等量关系建模
【点评】
本题是典型的燃烧类应用题，解题核心是将蜡烛总长度设为单位“1”表示出不同时间的剩余长度，再结合题目给出的倍数关系建立方程求解，掌握该建模思路可快速解决同类题型。
【难度系数】
0.7

16 新考向 新定义题 [2025沭阳段考]定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数,那么称这两个方程为“和谐方程”.例如:方程$2x=4$和$x+2=0$为“和谐方程”.
(1)若关于$x$的方程$3x+m=0$与方程$4x-2=x+10$为“和谐方程”,求$m$的值;
(2)若“和谐方程”的两个解的差为4,其中一个解为$n$,求$n$的值;
(3)若无论$m$取何值,关于$x$的方程$2x+ma=b+m(a,b$为常数)与关于$y$的方程$y+1=2y-2$都为“和谐方程”,求$ab$的值.

16. (1) 解方程 $4x-2=x+10$,得 $x=4$. 因为关于 $x$ 的方程$3x+m=0$ 与方程 $4x-2=x+10$ 为“和谐方程”,所以关于 $x$ 的方程 $3x+m=0$ 的解为 $x=-4$. 所以 $3×(-4)+m=0$. 所以$m=12$
(2) 由题意,得另一个解为$-n$. 因为两个解的差为 4,所以若 $n-(-n)=4$,则 $2n=4$,解得 $n=2$;若$-n-n=4$,则$-2n=4$,解得 $n=-2$. 所以 $n$ 的值为 2 或$-2$
(3) 解方程 $y+1=2y-2$,得 $y=3$. 因为关于 $x$ 的方程 $2x+ma=b+m$ 与方程 $y+1=2y-2$ 为“和谐方程”,所以关于 $x$ 的方程 $2x+ma=b+m$ 的解为$x=-3$. 所以 $2×(-3)+ma=b+m$. 所以 $m(a-1)=b+6$. 因为无论 $m$ 取何值,上式都成立,所以 $a-1=0,b+6=0$. 所以 $a=1$,$b=-6$. 所以 $ab=1×(-6)=-6$

【分析】
本题围绕新定义“和谐方程”展开，解题核心是抓住“两个一元一次方程的解互为相反数”这一关键性质，分步处理各小问：
1. 第(1)问：先求解不含参数的方程$4x-2=x+10$得到它的解，再根据“和谐方程”的定义得到方程$3x+m=0$的解是该解的相反数，代入即可求出$m$的值；
2. 第(2)问：已知一个解为$n$，根据定义另一个解为$-n$，两个解的差为4，注意差有两种情况，分类列方程求解即可；
3. 第(3)问：先求解$y$的方程得到它的解，进而得到$x$的方程的解为其相反数，代入$x$的方程整理成关于$m$的等式，由于等式对任意$m$都成立，所以$m$的系数和常数项分别为0，即可求出$a$、$b$的值，进而计算$ab$。
【解析】
(1) 解方程$4x-2=x+10$：
移项得$4x-x=10+2$，
合并同类项得$3x=12$，
系数化为1得$x=4$。
根据“和谐方程”的定义，方程$3x+m=0$的解为$x=-4$，
将$x=-4$代入$3x+m=0$，得$3×(-4)+m=0$，
解得$m=12$。
(2) 由“和谐方程”的定义可知，另一个解为$-n$，
已知两个解的差为4，分两种情况讨论：
① 当$n-(-n)=4$时，$2n=4$，解得$n=2$；
② 当$-n-n=4$时，$-2n=4$，解得$n=-2$。
综上，$n$的值为2或$-2$。
(3) 解方程$y+1=2y-2$：
移项得$y-2y=-2-1$，
合并同类项得$-y=-3$，
系数化为1得$y=3$。
根据“和谐方程”的定义，方程$2x+ma=b+m$的解为$x=-3$，
将$x=-3$代入方程得$2×(-3)+ma=b+m$，
整理得$m(a-1)=b+6$。
由于无论$m$取何值，该等式都成立，因此：
$a-1=0$，$b+6=0$，
解得$a=1$，$b=-6$，
所以$ab=1×(-6)=-6$。
【答案】
(1) $m=12$；(2) $n=2$或$n=-2$；(3) $ab=-6$
【知识点】
一元一次方程求解；相反数的性质；新定义问题
【点评】
本题以新定义“和谐方程”为载体，考查一元一次方程的相关应用，解题的核心是准确理解新定义的内涵，将新定义问题转化为已学的一元一次方程求解问题，其中第二问需注意分类讨论解的差的两种情况，第三问掌握恒成立等式的处理方法（含参数项的系数为0，常数项为0）是解题关键。
【难度系数】
0.7

17 如图,甲沿周长为 300 m 的环形跑道按逆时针方向跑步,速度为 a m/s,与此同时在甲后面 100 m处的乙也沿该环形跑道按逆时针方向跑步,速度为 3 m/s.设跑步的时间为 t s.
(1) 若 a=5,则甲、乙两人经过s第1次相遇.
(2) 已知当 t=50 时,甲、乙两人第1次相遇.
① 求 a 的值;
② 若 a＞3,则在甲、乙两人第1次相遇前,当两人相距 120 m 时,求 t 的值.

17. (1) 100
(2) ① 根据题意,得 $50(a-3)=300-100$,解得$a=7$ 或 $50(3-a)=100$,解得 $a=1$. 所以 $a$ 的值是 1 或 7
② 根据题意,得 $a=7$,则$(7-3)t=120-100$,解得 $t=5$ 或$(7-3)t=300-100-120$,解得 $t=20$. 所以 $t$ 的值是 5 或 20

【分析】
(1) 当a=5时，甲速度比乙快，两人同向逆时针跑步，初始乙在甲后方100m，环形跑道周长300m，因此甲第一次追上乙时需要比乙多跑300-100=200m，根据“追及时间=路程差÷速度差”即可计算时间。
(2) ① 两人第一次相遇分两种情况：第一种是甲速度大于乙，甲追乙，路程差为200m；第二种是乙速度大于甲，乙追甲，路程差为100m，分别根据“路程差=速度差×时间”列一元一次方程求解即可。
② 由a＞3可确定a=7，甲比乙快，第一次相遇前相距120m也分两种情况：第一种是甲比乙多跑20m，两人距离从初始的100m拉大到120m；第二种是甲还差120m追上乙，此时甲比乙多跑了80m，分别列方程求解即可。
【解析】
(1) 当a=5时，甲速度大于乙速度，追及路程为$300-100=200\ \mathrm{m}$，速度差为$5-3=2\ \mathrm{m/s}$，
则追及时间$t=200÷2=100\ \mathrm{s}$。
(2) ① 分两种情况讨论：
情况一：甲速度大于乙，甲追乙，50s甲比乙多跑200m，列方程：
$50(a-3)=300-100$
解得$a=7$；
情况二：乙速度大于甲，乙追甲，50s乙比甲多跑100m，列方程：
$50(3-a)=100$
解得$a=1$；
因此a的值为1或7。
② 因为$a＞3$，所以$a=7$，甲乙的速度差为$7-3=4\ \mathrm{m/s}$，分两种情况讨论：
情况一：两人距离从初始100m拉大到120m，甲比乙多跑$120-100=20\ \mathrm{m}$，列方程：
$4t=20$
解得$t=5$；
情况二：甲还差120m追上乙，甲比乙多跑$300-100-120=80\ \mathrm{m}$，列方程：
$4t=80$
解得$t=20$；
因此t的值为5或20。
【答案】
(1) $\boxed{100}$
(2) ① $\boxed{1}$或$\boxed{7}$；② $\boxed{5}$或$\boxed{20}$
【知识点】
一元一次方程的应用；环形追及问题
【点评】
本题是典型的环形跑道追及问题，核心是结合运动方向和初始位置判断不同场景下的路程差，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65