13. (1)如图，图中共有三角形个；
如图，若增加一条线，则图中共有三角形个；
(2)如图，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数.

13.(1)10 24
(2)解:当增加2条线时,图形在图2的基础上增加10个三角形和左下角部分增加2个,共计$3×10+4×(1+2)=42$(个).
因为增加0条线时,三角形的个数为10,
增加1条线时,三角形的个数为24,$24=2×10+4$,
增加2条线时,三角形的个数为42,$42=3×10+4×(1+2)\dots\dots$
所以增加10条线时,三角形的个数为$11×10+4×(1+2+\dots+10)=330$.

【分析】
(1) 数从同一顶点出发的线段构成的三角形个数时，可通过数底边线段总数得到：若底边被分成n小段，三角形总个数就是$1+2+\dots+n$。图1底边被分成4小段，直接用该方法计算即可；增加1条斜线时，先算斜线上下两层对应原结构的三角形数量，再加上斜线左下角新增的三角形即可得到总数。
(2) 先从增加0条、1条、2条线的情况归纳通用规律：增加m条线时，三角形总数由两部分组成，一是$(m+1)$层原有结构的三角形数，二是左下角新增的累加和，最后代入$m=10$计算即可。
【解析】
(1) 图1中，大三角形底边被分成4小段，三角形总个数为：$4+3+2+1=10$个；
增加1条斜线时，斜线上下各对应10个三角形，共$2×10=20$个，再加上斜线左下角新增的4个三角形，总个数为$20+4=24$个。
(2) 结合已知情况归纳规律：
增加0条线时，个数为$1×10 + 4×0=10$；
增加1条线时，个数为$2×10 + 4×1=24$；
增加2条线时，个数为$3×10 + 4×(1+2)=42$；
……
增加m条线时，三角形总个数为：$(m+1)×10 + 4×(1+2+\dots+m)$。
当$m=10$时，根据等差数列求和公式$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，可得$1+2+\dots+10=\frac{10×(10+1)}{2}=55$，代入公式得：
$11×10 + 4×55=110+220=330$。
【答案】
(1) 10；24
(2) 330
【知识点】
三角形计数、规律探究、等差数列求和
【点评】
本题侧重考查图形计数的逻辑推理能力，需要从简单图形出发逐步推导通用规律，避免逐个数出现漏数、错数的问题，熟练掌握等差数列求和公式能提升解题效率。
【难度系数】
0.6

14.定义:在一个三角形中,如果有一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$,我们称这两个角互为“和谐角”,这个三角形叫作“和谐三角形”.
例如:在$△ ABC$中,如果$∠ A=70°,∠ B=35°$,那么$∠ A$与$∠ B$互为“和谐角”,$△ ABC$为“和谐三角形”.
问题1:如图1,$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,∠ A=60°$,点D是线段AB上一点(不与A,B重合),连接CD.
(1)如图1,$△ ABC$是“和谐三角形”吗?为什么?
(2)如图1,若$CD⊥ AB$,则$△ ACD$,$△ BCD$是“和谐三角形”吗?为什么?
问题2:如图2,$△ ABC$中,$∠ ACB=60°,∠ A=80°$,点D是AB线段上一点(不与A,B重合),连接CD,若$△ ACD$是“和谐三角形”,求$∠ ACD$的度数.

14.解:问题1:(1)$△ ABC$是“和谐三角形”.理由如下:
因为$∠ACB=90°$,$∠A=60°$,
所以$∠B=30°$,
所以$∠B=\frac{1}{2}∠A$,
所以$△ ABC$是“和谐三角形”.
(2)$△ ACD$,$△ BCD$是“和谐三角形”.理由如下:
因为$∠ACB=90°$,$∠A=60°$,
所以$∠B=30°$.
因为$CD⊥AB$,
所以$∠ADC=∠BDC=90°$,
所以$∠ACD=30°$,$∠BCD=60°$.
在$△ ACD$中,因为$∠A=60°$,$∠ACD=30°$,
所以$∠ACD=\frac{1}{2}∠A$,
所以$△ ACD$为“和谐三角形”;
在$△ BCD$中,因为$∠BCD=60°$,$∠B=30°$,
所以$∠B=\frac{1}{2}∠BCD$,
所以$△ BCD$为“和谐三角形”.
问题2:若$△ ACD$是“和谐三角形”,由于点D是线段AB上一点(不与A,B重合),
则$∠ACD=\frac{1}{2}∠A$或$∠ACD=\frac{1}{2}∠ADC$.
当$∠ACD=\frac{1}{2}∠A$时,$∠ACD=\frac{1}{2}∠A=40°$;
当$∠ACD=\frac{1}{2}∠ADC$时,$∠A+3∠ACD=180°$,即$3∠ACD=100°$,所以$∠ACD=(\frac{100}{3})°$.
综上,$∠ACD$的度数为$40°$或$(\frac{100}{3})°$.

【分析】
解题核心是准确理解“和谐三角形”的定义：三角形中存在一个角是另一个角的$\frac{1}{2}$即为和谐三角形。
问题1(1)：先利用三角形内角和算出$△ ABC$的$∠ B$的度数，判断是否存在二倍角关系即可；
问题1(2)：先根据直角三角形两锐角互余，分别算出$△ ACD$和$△ BCD$的各个内角度数，再分别验证是否满足和谐三角形的定义；
问题2：$△ ACD$中已知$∠ A=80°$，需分情况讨论符合“和谐角”的两种可行情形，排除不符合三角形内角和的情况，分别计算$∠ ACD$的度数即可。
【解析】
问题1
(1) $△ ABC$是“和谐三角形”，理由如下：
因为$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，
所以$∠ B=180°-90°-60°=30°$，
可得$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，符合和谐三角形的定义，
因此$△ ABC$是“和谐三角形”。
(2) $△ ACD$、$△ BCD$都是“和谐三角形”，理由如下：
因为$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，
所以$∠ B=30°$。
因为$CD⊥ AB$，所以$∠ ADC=∠ BDC=90°$。
在$△ ACD$中，$∠ ACD=180°-90°-60°=30°$，可得$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$，满足和谐三角形定义，因此$△ ACD$是“和谐三角形”；
在$△ BCD$中，$∠ BCD=180°-90°-30°=60°$，可得$∠ B=\frac{1}{2}∠ BCD$，满足和谐三角形定义，因此$△ BCD$是“和谐三角形”。
问题2
若$△ ACD$是“和谐三角形”，点D在线段AB上（不与A、B重合），已知$∠ A=80°$，分两种情况讨论：
① 当$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ A$时，$∠ ACD=\frac{1}{2}×80°=40°$；
② 当$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ ADC$时，设$∠ ACD=x$，则$∠ ADC=2x$，由三角形内角和得$80°+x+2x=180°$，解得$x=(\frac{100}{3})°$。
（若为$∠ A=\frac{1}{2}∠ ACD$，则$∠ ACD=160°$，此时$∠ A+∠ ACD＞180°$，不符合三角形内角和要求，故舍去）
综上，$∠ ACD$的度数为$40°$或$(\frac{100}{3})°$。
【答案】
问题1：(1) 是，理由见解析；(2) $△ ACD$和$△ BCD$都是和谐三角形，理由见解析；
问题2：$40°$或$\boldsymbol{(\frac{100}{3})°}$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 新定义问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题以新定义“和谐三角形”为背景，考查对新定义的理解能力和三角形内角和定理的应用，解题时需注意结合已知条件对可能的情况进行分类讨论，同时要验证所求角度是否符合三角形内角和要求，避免出现错解、漏解。
【难度系数】
0.7

趣味天地
棋盘中的馬
如右图所示，图中的馬能走遍棋盘中的任何一个位置吗？若不能，指出哪些位置无法走到；若能，请说明原因。
提示：馬能走遍棋盘中的任何一个位置，只需说明能走到相邻的一个格点即可。

解：能。
按照中国象棋“马走日”的行走规则，这只马可以通过连续3步的移动，到达与自身初始位置直接相邻的格点。
只要马能够走到任意相邻的格点，就可以从已到达的位置出发，不断向相邻的未到达格点延伸移动，逐步遍历，最终覆盖棋盘中的所有位置。

【分析】
解题时可结合题干提示梳理思路：首先明确马的行走规则为中国象棋的“马走日”，即每次走横向2格纵向1格或横向1格纵向2格；再按照提示的核心思路，先验证马是否能到达与自身相邻的格点，经确认马可通过3步移动到达相邻格点；最后推导：既然能走到相邻格点，就可以从当前位置出发，不断向相邻的未到达位置延伸，最终就能走遍全部棋盘位置。
【解析】
解：首先明确中国象棋“马走日”的行走规则，即马每次移动为横向走2格、纵向走1格，或横向走1格、纵向走2格。
经推演，这只马可以通过连续3步的移动，到达与自身初始位置直接相邻的格点。
由于马能够走到任意相邻的格点，就可以从已到达的位置出发，不断向相邻的未到达格点延伸移动，逐步遍历，最终可以覆盖棋盘中的所有位置。
【答案】
能。按照中国象棋“马走日”的行走规则，这只马可以通过连续3步的移动，到达与自身初始位置直接相邻的格点。只要马能够走到任意相邻的格点，就可以从已到达的位置出发，不断向相邻的未到达格点延伸移动，逐步遍历，最终覆盖棋盘中的所有位置。
【知识点】
网格路径问题；归纳推理；象棋走子规则
【点评】
这道题结合传统象棋规则设置问题，趣味性较强，重点考查逻辑推导能力，解题关键是抓住题干给出的提示，不需要复杂计算，只要验证相邻格点可达就能推导出全局结论，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7