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判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
1. 三角形的角平分线是射线. （
2. 钝角三角形的高都在三角形里面. （
3. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线. （
4. 三角形的任意一条中线都将这个三角形的面积等分. （
5. 一个三角形三条角平分线的交点在三角形内. （
1. 三角形的角平分线是射线. （
×
）2. 钝角三角形的高都在三角形里面. （
×
）3. 任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线. （
√
）4. 三角形的任意一条中线都将这个三角形的面积等分. （
√
）5. 一个三角形三条角平分线的交点在三角形内. （
√
）答案
1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√
解析
【分析】
本题考查三角形的角平分线、中线、高的基本概念与相关性质，解题时需逐个对应每个说法，结合知识点逐一辨析：首先区分三角形的角平分线和角的平分线的差异，其次明确不同类型三角形高的分布位置，再掌握三角形三类线段的数量特征、中线的面积相关性质，以及角平分线交点的位置，即可依次判断正误。
【解析】
1. 角的平分线是射线，但三角形的角平分线是从顶点出发到对边交点的线段，因此该说法错误；
2. 钝角三角形中，只有钝角对应的高在三角形内部，另外两个锐角对应的高均在三角形外部，并非所有高都在三角形里，因此该说法错误；
3. 任意三角形，无论锐角、直角、钝角三角形，都存在三条高、三条中线和三条角平分线，因此该说法正确；
4. 三角形的中线会将对边分成长度相等的两段，分成的两个小三角形等底、同高，根据三角形面积公式可知二者面积相等，即中线可等分三角形面积，因此该说法正确；
5. 三角形的三条角平分线都位于三角形内部，因此它们的交点也一定在三角形内，因此该说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的高；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点围绕三角形三类核心线段的定义、位置、性质设题，易错点在于容易混淆角的平分线和三角形角平分线的类别、忽略钝角三角形高的分布特点，学习时需准确识记基础概念，区分易混点。
【难度系数】
0.75
本题考查三角形的角平分线、中线、高的基本概念与相关性质，解题时需逐个对应每个说法，结合知识点逐一辨析：首先区分三角形的角平分线和角的平分线的差异，其次明确不同类型三角形高的分布位置，再掌握三角形三类线段的数量特征、中线的面积相关性质，以及角平分线交点的位置，即可依次判断正误。
【解析】
1. 角的平分线是射线，但三角形的角平分线是从顶点出发到对边交点的线段，因此该说法错误；
2. 钝角三角形中，只有钝角对应的高在三角形内部，另外两个锐角对应的高均在三角形外部，并非所有高都在三角形里，因此该说法错误；
3. 任意三角形，无论锐角、直角、钝角三角形，都存在三条高、三条中线和三条角平分线，因此该说法正确；
4. 三角形的中线会将对边分成长度相等的两段，分成的两个小三角形等底、同高，根据三角形面积公式可知二者面积相等，即中线可等分三角形面积，因此该说法正确；
5. 三角形的三条角平分线都位于三角形内部，因此它们的交点也一定在三角形内，因此该说法正确。
【答案】
1.× 2.× 3.√ 4.√ 5.√
【知识点】
三角形的角平分线；三角形的高；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点围绕三角形三类核心线段的定义、位置、性质设题，易错点在于容易混淆角的平分线和三角形角平分线的类别、忽略钝角三角形高的分布特点，学习时需准确识记基础概念，区分易混点。
【难度系数】
0.75
1. 如图，若$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则下列结论错误的是 （
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
D
）A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
答案
1.D
解析
【分析】
解题的核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足两个条件：①平分对应内角；②线段的两个端点分别是角的顶点和该角对边上的点。结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，逐个验证选项即可找到错误结论。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 已知∠1=∠2，说明线段BD平分∠ABC，且BD的端点B是∠ABC的顶点，另一端点D在∠ABC的对边AC上，符合三角形角平分线的定义，因此BD是△ABC的角平分线，该选项结论正确，不符合题意。
B. 已知∠3=∠4，说明线段CE平分∠BCD，且CE的端点C是∠BCD的顶点，另一端点E在∠BCD的对边BD上，符合三角形角平分线的定义，因此CE是△BCD的角平分线，该选项结论正确，不符合题意。
C. 由图可知∠ACB=∠3+∠4，又因为∠3=∠4，所以∠ACB=2∠3，即∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该选项结论正确，不符合题意。
D. 三角形的角平分线要求线段的另一端点落在对应角的对边上，△ABC中∠ACB的对边是AB，而线段CE的端点E在BD上，不在AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，该选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题易错点是混淆普通角平分线和三角形角平分线的概念，要注意三角形的角平分线是线段，除了平分内角外，端点必须在三角形的边上，不能是三角形内部的点。
【难度系数】
0.7
解题的核心是掌握三角形角平分线的定义：三角形的一个内角的平分线与对边相交，顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线，需同时满足两个条件：①平分对应内角；②线段的两个端点分别是角的顶点和该角对边上的点。结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，逐个验证选项即可找到错误结论。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 已知∠1=∠2，说明线段BD平分∠ABC，且BD的端点B是∠ABC的顶点，另一端点D在∠ABC的对边AC上，符合三角形角平分线的定义，因此BD是△ABC的角平分线，该选项结论正确，不符合题意。
B. 已知∠3=∠4，说明线段CE平分∠BCD，且CE的端点C是∠BCD的顶点，另一端点E在∠BCD的对边BD上，符合三角形角平分线的定义，因此CE是△BCD的角平分线，该选项结论正确，不符合题意。
C. 由图可知∠ACB=∠3+∠4，又因为∠3=∠4，所以∠ACB=2∠3，即∠3=$\frac{1}{2}$∠ACB，该选项结论正确，不符合题意。
D. 三角形的角平分线要求线段的另一端点落在对应角的对边上，△ABC中∠ACB的对边是AB，而线段CE的端点E在BD上，不在AB上，因此CE不是△ABC的角平分线，该选项结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线的定义、角的和差计算
【点评】
本题易错点是混淆普通角平分线和三角形角平分线的概念，要注意三角形的角平分线是线段，除了平分内角外，端点必须在三角形的边上，不能是三角形内部的点。
【难度系数】
0.7
2. 如图，若$BD=DE=EF=FC$，则$△ ABE$的中线是（
A.AD
B.AE
C.AF
D.以上都是
A
）A.AD
B.AE
C.AF
D.以上都是
答案
2.A
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。接下来我们先确定△ABE的边，再根据已知BD=DE=EF=FC找到对应边的中点，最后判断哪条线段符合中线的定义即可。第一步：先找△ABE中边BE的中点，由BD=DE可知D是BE的中点；第二步：看连接顶点A和BE中点D的线段是AD，即可确定AD是△ABE的中线。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知BD=DE，所以点D是线段BE的中点。
在△ABE中，顶点A的对边是BE，BE的中点为D，因此线段AD是△ABE的中线。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义；线段中点的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对三角形中线定义的理解和运用，解题时要先明确对应的三角形，再找到对应边的中点，避免因混淆三角形的边和中点出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。接下来我们先确定△ABE的边，再根据已知BD=DE=EF=FC找到对应边的中点，最后判断哪条线段符合中线的定义即可。第一步：先找△ABE中边BE的中点，由BD=DE可知D是BE的中点；第二步：看连接顶点A和BE中点D的线段是AD，即可确定AD是△ABE的中线。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
已知BD=DE，所以点D是线段BE的中点。
在△ABE中，顶点A的对边是BE，BE的中点为D，因此线段AD是△ABE的中线。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义；线段中点的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，重点在于对三角形中线定义的理解和运用，解题时要先明确对应的三角形，再找到对应边的中点，避免因混淆三角形的边和中点出错。
【难度系数】
0.8
3. 下列各组图形中，BD是△ABC的高的图形是（
B
）答案
3.B
解析
【分析】
要判断BD是不是△ABC的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形的高。因此BD需满足两个条件：一是BD的一个端点是△ABC的顶点B，二是BD垂直于AC（或AC所在的直线），且垂足在AC（或其延长线）上，我们依据这两个条件逐一判断选项即可。
【解析】
我们结合三角形高的定义逐个分析选项：
1. 选项A：BD垂直于BC，并未垂直于AC，不符合高的要求，排除；
2. 选项B：BD⊥AC，垂足D落在AC边上，完全符合三角形高的定义，是△ABC的高；
3. 选项C：图中垂直于BC所在直线的是AD，是从顶点A作出的高，不是BD，排除；
4. 选项D：BD未与AC垂直，不符合高的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义、垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是掌握三角形高的定义，判断时要注意对应顶点和对边的关系，不要混淆垂线对应的边。
【难度系数】
0.8
要判断BD是不是△ABC的高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形的高。因此BD需满足两个条件：一是BD的一个端点是△ABC的顶点B，二是BD垂直于AC（或AC所在的直线），且垂足在AC（或其延长线）上，我们依据这两个条件逐一判断选项即可。
【解析】
我们结合三角形高的定义逐个分析选项：
1. 选项A：BD垂直于BC，并未垂直于AC，不符合高的要求，排除；
2. 选项B：BD⊥AC，垂足D落在AC边上，完全符合三角形高的定义，是△ABC的高；
3. 选项C：图中垂直于BC所在直线的是AD，是从顶点A作出的高，不是BD，排除；
4. 选项D：BD未与AC垂直，不符合高的要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
三角形的高的定义、垂直的定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是掌握三角形高的定义，判断时要注意对应顶点和对边的关系，不要混淆垂线对应的边。
【难度系数】
0.8
4.如图,在△ABC中,BD是角平分线,∠A = 70°,∠ABC=60°,则∠BDC的度数是
（
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
（
C
）A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
答案
4.C
解析
【分析】
要计算∠BDC的度数，我们可以按以下思路推导：首先，BD是∠ABC的角平分线，我们可以先根据角平分线的定义求出∠ABD的度数；其次，∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），就可以用∠A和∠ABD的度数求出∠BDC；也可以先在△ABC中用内角和定理求出∠C的度数，再在△BDC中用内角和定理计算∠BDC，两种方法都可解题。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质求解
∵ BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵ ∠BDC是△ABD的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD
又
∵ ∠A=70°
∴ ∠BDC = 70° + 30° = 100°
方法2：利用三角形内角和定理求解
在△ABC中，根据三角形内角和为180°
∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° -70° -60° =50°
∵ BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC =30°
在△BDC中，∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° -30° -50° =100°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及三角形角度相关的计算定理，选择合适的方法快速计算即可。
【难度系数】
0.8
要计算∠BDC的度数，我们可以按以下思路推导：首先，BD是∠ABC的角平分线，我们可以先根据角平分线的定义求出∠ABD的度数；其次，∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），就可以用∠A和∠ABD的度数求出∠BDC；也可以先在△ABC中用内角和定理求出∠C的度数，再在△BDC中用内角和定理计算∠BDC，两种方法都可解题。
【解析】
方法1：利用三角形外角性质求解
∵ BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°
∴ ∠ABD = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$×60° = 30°
∵ ∠BDC是△ABD的外角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD
又
∵ ∠A=70°
∴ ∠BDC = 70° + 30° = 100°
方法2：利用三角形内角和定理求解
在△ABC中，根据三角形内角和为180°
∠C = 180° - ∠A - ∠ABC = 180° -70° -60° =50°
∵ BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=60°
∴ ∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC =30°
在△BDC中，∠BDC = 180° - ∠DBC - ∠C = 180° -30° -50° =100°
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的常规基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义以及三角形角度相关的计算定理，选择合适的方法快速计算即可。
【难度系数】
0.8
5.如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A,B,C,D,E,F,G在小正方形的格点上，则$△ ABC$的重心是 （
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需要找到△ABC的任意两条中线，它们的交点就是△ABC的重心。首先结合网格特征找到△ABC各边的中点，画出两条中线，观察两条中线经过的格点即可得出答案。
【解析】
根据三角形重心的定义可知，三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 首先找BC边的中点：BC在网格的水平格线上，数格可得BC的中点位于B点右侧第5个小格的格点处，连接点A和BC的中点，得到BC边上的中线，观察发现该中线经过点D；
2. 再找AB边的中点：结合网格数格可得AB边的中点，连接点C和AB的中点，得到AB边上的中线，该中线同样经过点D；
两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格特点就能快速确定中线的交点，难度较低。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确三角形重心的定义：三角形的重心是三角形三条中线的交点。因此我们只需要找到△ABC的任意两条中线，它们的交点就是△ABC的重心。首先结合网格特征找到△ABC各边的中点，画出两条中线，观察两条中线经过的格点即可得出答案。
【解析】
根据三角形重心的定义可知，三角形的重心是三角形三条中线的交点。
1. 首先找BC边的中点：BC在网格的水平格线上，数格可得BC的中点位于B点右侧第5个小格的格点处，连接点A和BC的中点，得到BC边上的中线，观察发现该中线经过点D；
2. 再找AB边的中点：结合网格数格可得AB边的中点，连接点C和AB的中点，得到AB边上的中线，该中线同样经过点D；
两条中线的交点为点D，因此点D是△ABC的重心。
【答案】
A
【知识点】
三角形重心的定义；三角形的中线
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记三角形重心是三条中线的交点，结合网格特点就能快速确定中线的交点，难度较低。
【难度系数】
0.8
