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9.如图,有下列说法:①$∠1＜∠4$;②$∠3-∠1=∠2$;③$∠1+∠2＜∠4$;④$∠1+∠2＜∠3+∠4$.其中正确的说法是
第9题图 第10题图
①②③④
.第9题图 第10题图
答案
9.①②③④
解析
【分析】
本题可利用三角形外角的性质逐一判断各说法是否正确。三角形外角的性质为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。我们先找到每个角对应的外角关系，再结合角的和差、不等式的性质即可推导结论。
【解析】
1. 验证说法①：∠4是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得$∠4=∠1+∠ ABD$，因为$∠ ABD＞0$，所以$∠1＜∠4$，故①正确；
2. 验证说法②：∠3是△ABE的外角，根据三角形外角性质可得$∠3=∠1+∠2$，移项后得$∠3-∠1=∠2$，故②正确；
3. 验证说法③：由$∠4=∠1+∠ ABD$，且$∠ ABD=∠2+∠ DBC$，可得$∠4=∠1+∠2+∠ DBC$，因为$∠ DBC＞0$，所以$∠1+∠2＜∠4$，故③正确；
4. 验证说法④：由$∠3=∠1+∠2$，且$∠4$是三角形内角，度数为正，可得$∠3+∠4=∠1+∠2+∠4＞∠1+∠2$，即$∠1+∠2＜∠3+∠4$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的灵活应用，解题的关键是准确识别每个外角对应的不相邻内角，再结合角的和差关系和不等式性质判断结论即可，属于基础的角度比较类题型。
【难度系数】
0.7
本题可利用三角形外角的性质逐一判断各说法是否正确。三角形外角的性质为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，且三角形的外角大于任意一个与它不相邻的内角。我们先找到每个角对应的外角关系，再结合角的和差、不等式的性质即可推导结论。
【解析】
1. 验证说法①：∠4是△ABD的外角，根据三角形外角性质可得$∠4=∠1+∠ ABD$，因为$∠ ABD＞0$，所以$∠1＜∠4$，故①正确；
2. 验证说法②：∠3是△ABE的外角，根据三角形外角性质可得$∠3=∠1+∠2$，移项后得$∠3-∠1=∠2$，故②正确；
3. 验证说法③：由$∠4=∠1+∠ ABD$，且$∠ ABD=∠2+∠ DBC$，可得$∠4=∠1+∠2+∠ DBC$，因为$∠ DBC＞0$，所以$∠1+∠2＜∠4$，故③正确；
4. 验证说法④：由$∠3=∠1+∠2$，且$∠4$是三角形内角，度数为正，可得$∠3+∠4=∠1+∠2+∠4＞∠1+∠2$，即$∠1+∠2＜∠3+∠4$，故④正确。
综上，①②③④均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题重点考查三角形外角性质的灵活应用，解题的关键是准确识别每个外角对应的不相邻内角，再结合角的和差关系和不等式性质判断结论即可，属于基础的角度比较类题型。
【难度系数】
0.7
10.如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为3,4,6,8,且相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是
10
.答案
10.10
解析
【分析】
要找到调整夹角后任意两颗螺丝的最大距离，本质是将相邻的木条转到同一直线上，把四边形转化为三角形，只要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），即可得到对应的螺丝距离。我们只需列举所有相邻边求和的可能情况，逐一验证是否符合三边关系，就能找到最大值。
【解析】
四根木条的长度依次为3、4、6、8，我们将相邻两根木条长度相加作为三角形的一边，剩余两根木条作为三角形的另外两条边，分别验证是否满足三角形三边关系：
1. 取相邻边3和4求和：$3+4=7$，剩余两边为6、8，三角形三边长为7、6、8，满足$6+7＞8$，符合三边关系，此时最大螺丝距离为8；
2. 取相邻边4和6求和：$4+6=10$，剩余两边为3、8，三角形三边长为10、3、8，满足$3+8＞10$，符合三边关系，此时最大螺丝距离为10；
3. 取相邻边6和8求和：$6+8=14$，剩余两边为3、4，$3+4=7＜14$，不符合三边关系，舍去；
4. 取相邻边8和3求和：$8+3=11$，剩余两边为4、6，$4+6=10＜11$，不符合三边关系，舍去。
对比所有符合条件的距离，最大值为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 四边形的不稳定性
【点评】
本题侧重考查三角形三边关系的灵活应用，解题的核心是理解调整四边形夹角求最大距离的本质是构造合法三角形，需要逐一验证所有可能的组合，避免遗漏或错判不符合三边关系的情况。
【难度系数】
0.6
要找到调整夹角后任意两颗螺丝的最大距离，本质是将相邻的木条转到同一直线上，把四边形转化为三角形，只要满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），即可得到对应的螺丝距离。我们只需列举所有相邻边求和的可能情况，逐一验证是否符合三边关系，就能找到最大值。
【解析】
四根木条的长度依次为3、4、6、8，我们将相邻两根木条长度相加作为三角形的一边，剩余两根木条作为三角形的另外两条边，分别验证是否满足三角形三边关系：
1. 取相邻边3和4求和：$3+4=7$，剩余两边为6、8，三角形三边长为7、6、8，满足$6+7＞8$，符合三边关系，此时最大螺丝距离为8；
2. 取相邻边4和6求和：$4+6=10$，剩余两边为3、8，三角形三边长为10、3、8，满足$3+8＞10$，符合三边关系，此时最大螺丝距离为10；
3. 取相邻边6和8求和：$6+8=14$，剩余两边为3、4，$3+4=7＜14$，不符合三边关系，舍去；
4. 取相邻边8和3求和：$8+3=11$，剩余两边为4、6，$4+6=10＜11$，不符合三边关系，舍去。
对比所有符合条件的距离，最大值为10。
【答案】
10
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 四边形的不稳定性
【点评】
本题侧重考查三角形三边关系的灵活应用，解题的核心是理解调整四边形夹角求最大距离的本质是构造合法三角形，需要逐一验证所有可能的组合，避免遗漏或错判不符合三边关系的情况。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 已知 $a,b,c$ 为 $△ ABC$ 的三边长，且 $b,c$ 满足 $(b - 5)^2 + (c - 7)^2 = 0$，$a$ 为方程 $|a - 3| = 2$ 的解，求 $△ ABC$ 的周长，并判断 $△ ABC$ 的形状。
11. 已知 $a,b,c$ 为 $△ ABC$ 的三边长，且 $b,c$ 满足 $(b - 5)^2 + (c - 7)^2 = 0$，$a$ 为方程 $|a - 3| = 2$ 的解，求 $△ ABC$ 的周长，并判断 $△ ABC$ 的形状。
答案
11.解:因为$(b-5)^2+(c-7)^2=0$,
所以$b-5=0,c-7=0$,解得$b=5,c=7$.
因为$a$为方程$|a-3|=2$的解,
所以$a=5$或$1$.
当$a=1,b=5,c=7$时,$1+5＜7$,
不能组成三角形,故$a=1$不合题意;
当$a=5$时,$5+5＞7$,能组成三角形,
所以$a=5$,
所以$△ ABC$的周长$=5+5+7=17$.
因为$a=b=5$,
所以$△ ABC$是等腰三角形.
所以$b-5=0,c-7=0$,解得$b=5,c=7$.
因为$a$为方程$|a-3|=2$的解,
所以$a=5$或$1$.
当$a=1,b=5,c=7$时,$1+5＜7$,
不能组成三角形,故$a=1$不合题意;
当$a=5$时,$5+5＞7$,能组成三角形,
所以$a=5$,
所以$△ ABC$的周长$=5+5+7=17$.
因为$a=b=5$,
所以$△ ABC$是等腰三角形.
解析
【分析】
解题首先利用非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出b、c的长度；接下来解绝对值方程得到a的两个可能取值；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）对a的取值进行验证，舍去无法构成三角形的取值；最后计算三角形周长，根据边长关系判断三角形形状即可。
【解析】
解：因为$(b-5)^2≥0$，$(c-7)^2≥0$，且$(b - 5)^2 + (c - 7)^2 = 0$，
所以$b-5=0$，$c-7=0$，解得$b=5$，$c=7$。
因为$a$为方程$|a - 3| = 2$的解，
所以$a-3=2$或$a-3=-2$，解得$a=5$或$a=1$。
当$a=1$时，三边长为1、5、7，$1+5=6＜7$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
当$a=5$时，三边长为5、5、7，$5+5=10＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时$△ ABC$的周长$=5+5+7=17$，
又因为$a=b=5$，所以$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为17，$△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，融合了多个核心基础考点，易错点是求出a的两个解后忽略三角形三边关系的验证，直接代入计算，解题时要注意三角形存在的隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题首先利用非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0，可求出b、c的长度；接下来解绝对值方程得到a的两个可能取值；再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）对a的取值进行验证，舍去无法构成三角形的取值；最后计算三角形周长，根据边长关系判断三角形形状即可。
【解析】
解：因为$(b-5)^2≥0$，$(c-7)^2≥0$，且$(b - 5)^2 + (c - 7)^2 = 0$，
所以$b-5=0$，$c-7=0$，解得$b=5$，$c=7$。
因为$a$为方程$|a - 3| = 2$的解，
所以$a-3=2$或$a-3=-2$，解得$a=5$或$a=1$。
当$a=1$时，三边长为1、5、7，$1+5=6＜7$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去；
当$a=5$时，三边长为5、5、7，$5+5=10＞7$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
此时$△ ABC$的周长$=5+5+7=17$，
又因为$a=b=5$，所以$△ ABC$是等腰三角形。
【答案】
$△ ABC$的周长为17，$△ ABC$是等腰三角形。
【知识点】
非负数的性质，绝对值方程求解，三角形三边关系
【点评】
本题是基础综合题，融合了多个核心基础考点，易错点是求出a的两个解后忽略三角形三边关系的验证，直接代入计算，解题时要注意三角形存在的隐含条件。
【难度系数】
0.7
12. 如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,点E在BC上,EF⊥AB,垂足为点F,∠1=∠2.
(1)试说明:DG//BC;
(2)若∠B=54°,∠ACD=35°,求∠3的度数.
(1)试说明:DG//BC;
(2)若∠B=54°,∠ACD=35°,求∠3的度数.
答案
12.解:(1)因为$CD⊥AB,EF⊥AB$,
所以$∠BFE=∠BDC=90°$,
所以$CD// EF$,所以$∠2=∠BCD$.
因为$∠1=∠2$,
所以$∠1=∠BCD$,所以$DG// BC$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠BDC=90°$,$∠B=54°$,
所以$∠BCD=180°-∠BDC-∠B=180°-90°-54°=36°$,
所以$∠BCA=∠BCD+∠ACD=36°+35°=71°$.
因为$BC// DG$,所以$∠3=∠BCA=71°$.
所以$∠BFE=∠BDC=90°$,
所以$CD// EF$,所以$∠2=∠BCD$.
因为$∠1=∠2$,
所以$∠1=∠BCD$,所以$DG// BC$.
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,$∠BDC=90°$,$∠B=54°$,
所以$∠BCD=180°-∠BDC-∠B=180°-90°-54°=36°$,
所以$∠BCA=∠BCD+∠ACD=36°+35°=71°$.
因为$BC// DG$,所以$∠3=∠BCA=71°$.
解析
【分析】
(1)要证明$DG// BC$，可通过证明内错角$∠ 1$和$∠ BCD$相等推导。首先根据$CD$、$EF$都垂直于$AB$，可得$CD$与$EF$平行，利用平行线的性质可得$∠ 2=∠ BCD$，再结合已知$∠ 1=∠ 2$，等量代换得到$∠ 1=∠ BCD$，即可根据内错角相等证明$DG// BC$。
(2)要求$∠ 3$的度数，由$DG// BC$可知$∠ 3$和$∠ ACB$是同位角，大小相等，因此只需先求出$∠ ACB$的度数即可。先在$Rt△ BCD$中利用三角形内角和求出$∠ BCD$的度数，再加上已知的$∠ ACD$的度数就能得到$∠ ACB$，进而得到$∠ 3$的度数。
【解析】
(1)因为$CD⊥ AB$，$EF⊥ AB$，
所以$∠ BFE=∠ BDC=90°$，
所以$CD// EF$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ 2=∠ BCD$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1=∠ BCD$，根据内错角相等，两直线平行，得$DG// BC$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BDC=90°$，$∠ B=54°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=180°-∠ BDC-∠ B=180°-90°-54°=36°$，
所以$∠ BCA=∠ BCD+∠ ACD=36°+35°=71°$。
由(1)知$BC// DG$，根据两直线平行，同位角相等，得：
$∠ 3=∠ BCA=71°$。
【答案】
(1)已证$DG// BC$；
(2)$\boxed{71°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和，垂直的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，核心考查平行线的判定、性质的综合运用，解题时需结合已知条件逐步推导角的等量关系，再利用平行线的性质求解未知角，对逻辑推理能力有基础要求。
【难度系数】
0.75
(1)要证明$DG// BC$，可通过证明内错角$∠ 1$和$∠ BCD$相等推导。首先根据$CD$、$EF$都垂直于$AB$，可得$CD$与$EF$平行，利用平行线的性质可得$∠ 2=∠ BCD$，再结合已知$∠ 1=∠ 2$，等量代换得到$∠ 1=∠ BCD$，即可根据内错角相等证明$DG// BC$。
(2)要求$∠ 3$的度数，由$DG// BC$可知$∠ 3$和$∠ ACB$是同位角，大小相等，因此只需先求出$∠ ACB$的度数即可。先在$Rt△ BCD$中利用三角形内角和求出$∠ BCD$的度数，再加上已知的$∠ ACD$的度数就能得到$∠ ACB$，进而得到$∠ 3$的度数。
【解析】
(1)因为$CD⊥ AB$，$EF⊥ AB$，
所以$∠ BFE=∠ BDC=90°$，
所以$CD// EF$，根据两直线平行，同位角相等，得$∠ 2=∠ BCD$。
又因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1=∠ BCD$，根据内错角相等，两直线平行，得$DG// BC$。
(2)在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BDC=90°$，$∠ B=54°$，
根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BCD=180°-∠ BDC-∠ B=180°-90°-54°=36°$，
所以$∠ BCA=∠ BCD+∠ ACD=36°+35°=71°$。
由(1)知$BC// DG$，根据两直线平行，同位角相等，得：
$∠ 3=∠ BCA=71°$。
【答案】
(1)已证$DG// BC$；
(2)$\boxed{71°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，三角形内角和，垂直的性质
【点评】
本题是几何基础应用题，核心考查平行线的判定、性质的综合运用，解题时需结合已知条件逐步推导角的等量关系，再利用平行线的性质求解未知角，对逻辑推理能力有基础要求。
【难度系数】
0.75
