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1. 用配方法解方程$x^2 -4x -1=0$时，配方后正确的是 （
A.$(x+2)^2=3$
B.$(x+2)^2=17$
C.$(x-2)^2=5$
D.$(x-2)^2=17$
C
）A.$(x+2)^2=3$
B.$(x+2)^2=17$
C.$(x-2)^2=5$
D.$(x-2)^2=17$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可得到配方后的结果。本题中二次项系数已经是1，无需额外系数化1，直接按步骤操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -1=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -4x = 1$
一次项系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$，在方程左右两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 1 +4$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x-2)^2$，右侧计算得$5$，即：
$(x-2)^2 =5$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法解一元二次方程的基本步骤：第一步先将常数项移到方程右侧，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧整理为完全平方式即可得到配方后的结果。本题中二次项系数已经是1，无需额外系数化1，直接按步骤操作即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x -1=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 -4x = 1$
一次项系数为$-4$，它的一半是$-2$，平方为$(-2)^2=4$，在方程左右两边同时加4，得：
$x^2 -4x +4 = 1 +4$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x-2)^2$，右侧计算得$5$，即：
$(x-2)^2 =5$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法应用的基础题，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意一次项系数的符号，避免配方时符号出错。
【难度系数】
0.8
2. 一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$的两根为$x_1,x_2$，则$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$的值为 （
A.$\frac{3}{2}$
B.$-3$
C.$3$
D.$-\frac{3}{2}$
C
）A.$\frac{3}{2}$
B.$-3$
C.$3$
D.$-\frac{3}{2}$
答案
2. C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根的倒数和，解题思路如下：首先对所求分式进行通分化简，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出对应方程的两根之和与两根之积；最后将求得的和与积代入化简后的式子计算即可，无需解出方程根的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
解：先对所求式子通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
已知一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$
将上述结果代入化简后的式子可得：
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；分式化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的应用，采用整体代入的思想解题，避免了求解方程根的复杂运算，能有效降低计算出错的概率，是韦达定理的典型应用场景。
【难度系数】
0.7
本题要求一元二次方程两根的倒数和，解题思路如下：首先对所求分式进行通分化简，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接求出对应方程的两根之和与两根之积；最后将求得的和与积代入化简后的式子计算即可，无需解出方程根的具体值，能简化计算步骤。
【解析】
解：先对所求式子通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2 + x_1}{x_1 x_2}$
已知一元二次方程$x^2 + 3x -1=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-1$。
根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），两根$x_1,x_2$满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{3}{1} = -3$
$x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{1} = -1$
将上述结果代入化简后的式子可得：
$\frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{-3}{-1} = 3$
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；分式化简
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的应用，采用整体代入的思想解题，避免了求解方程根的复杂运算，能有效降低计算出错的概率，是韦达定理的典型应用场景。
【难度系数】
0.7
3. (2025·安徽)下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (
A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
D
)A.$x^2 + 1 = 0$
B.$x^2 - 2x + 1 = 0$
C.$x^2 + x + 1 = 0$
D.$x^2 + x - 1 = 0$
答案
3. D
解析
【分析】
要判断一元二次方程是否存在两个不相等的实数根，需借助一元二次方程根的判别式求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此我们只需分别计算每个选项对应方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是牢记判别式与根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程是否存在两个不相等的实数根，需借助一元二次方程根的判别式求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式$\Delta = b^2-4ac$：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程没有实数根。因此我们只需分别计算每个选项对应方程的判别式，筛选出$\Delta＞0$的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式$\Delta = b^2-4ac$。
选项A：方程$x^2+1=0$中，$a=1,b=0,c=1$，$\Delta=0^2-4×1×1=-4＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项B：方程$x^2-2x+1=0$中，$a=1,b=-2,c=1$，$\Delta=(-2)^2-4×1×1=0$，方程有两个相等的实数根，不符合要求；
选项C：方程$x^2+x+1=0$中，$a=1,b=1,c=1$，$\Delta=1^2-4×1×1=-3＜0$，方程无实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2+x-1=0$中，$a=1,b=1,c=-1$，$\Delta=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，方程有两个不相等的实数根，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用根的判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是牢记判别式与根的三种对应关系，计算时要注意常数项的符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
4. (2025·东营)若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为（
A.0
B.25
C.26
D.−1
C
）A.0
B.25
C.26
D.−1
答案
4. C
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到高次项的降次表达式，对所求代数式中的高次项进行替换化简；再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的代数式即可算出结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}x_1^2 -24x_1 +x_2&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=25$，
∴原式$=25+1=26$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程求值类的常考题型，核心技巧是通过根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将根代入原方程得到高次项的降次表达式，对所求代数式中的高次项进行替换化简；再结合一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入化简后的代数式即可算出结果，无需直接求解方程的根。
【解析】
解：
∵$x_1$是一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即$x_1^2=25x_1 +1$。
将$x_1^2=25x_1 +1$代入代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$得：
$\begin{aligned}x_1^2 -24x_1 +x_2&=25x_1 +1 -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵$x_1,x_2$是方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=25$，
∴原式$=25+1=26$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程求值类的常考题型，核心技巧是通过根的定义降次，结合根与系数的关系整体代入计算，规避了直接求根的复杂运算。
【难度系数】
0.7
5. 若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的两个实数根，则$x_1 · x_2^2$的值为 （
A.3或−9
B.−3或9
C.3或−6
D.−3或6
A
）A.3或−9
B.−3或9
C.3或−6
D.−3或6
答案
5. A
解析
【分析】
要解这道题，首先需要先求出已知一元二次方程的两个实数根，由于题目没有指定$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况讨论，将不同的根的组合代入所求代数式$x_1 · x_2^2$计算，最终汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，对左侧因式分解得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得方程的两个根为$3$和$-1$。
第二步：分两种情况代入计算：
① 当$x_1=3$，$x_2=-1$时，$x_1 · x_2^2 = 3×(-1)^2 = 3×1 = 3$；
② 当$x_1=-1$，$x_2=3$时，$x_1 · x_2^2 = (-1)×3^2 = (-1)×9 = -9$。
因此$x_1 · x_2^2$的值为3或-9。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的根的应用，易错点是忽略两根的两种分配情况，仅计算其中一种结果导致漏解，解题时要注意全面考虑所有可能的情况，避免漏项。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先需要先求出已知一元二次方程的两个实数根，由于题目没有指定$x_1$、$x_2$分别对应哪个根，因此需要分两种情况讨论，将不同的根的组合代入所求代数式$x_1 · x_2^2$计算，最终汇总所有可能的结果即可。
【解析】
第一步：解方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，对左侧因式分解得：
$(x - 3)(x + 1) = 0$
解得方程的两个根为$3$和$-1$。
第二步：分两种情况代入计算：
① 当$x_1=3$，$x_2=-1$时，$x_1 · x_2^2 = 3×(-1)^2 = 3×1 = 3$；
② 当$x_1=-1$，$x_2=3$时，$x_1 · x_2^2 = (-1)×3^2 = (-1)×9 = -9$。
因此$x_1 · x_2^2$的值为3或-9。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解；分类讨论思想；代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程的根的应用，易错点是忽略两根的两种分配情况，仅计算其中一种结果导致漏解，解题时要注意全面考虑所有可能的情况，避免漏项。
【难度系数】
0.7
6. (2025·达州)已知关于$x$的方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根是1，则$m$的值为
2
。答案
6. 2
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=1代入原方程，就能得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根求参数是这类题型的常规解法，掌握根的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此只需将已知根x=1代入原方程，就能得到关于m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
∵x=1是方程$x^2 + mx - 3 = 0$的一个根
∴将x=1代入方程，等式成立，可得：
$1^2 + m×1 - 3 = 0$
化简得：$1 + m - 3 = 0$
移项计算得：$m=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是基础题，核心考查一元二次方程根的定义的应用，代入已知根求参数是这类题型的常规解法，掌握根的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
7. (2025·常州)若关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根，则实数m的值为
1
.答案
7. 1
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式性质：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0；接着确定方程中对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=0建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$
代入得：$(-2)^2 - 4×1× m = 0$
即$4 - 4m = 0$
解得：$m=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，熟记判别式与一元二次方程根的三种对应关系即可快速解题，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，解题思路如下：首先回忆一元二次方程根的判别式性质：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0；接着确定方程中对应的二次项系数a、一次项系数b、常数项c的值，代入Δ=0建立关于m的一元一次方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$x^2 - 2x + m = 0$有两个相等的实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$
在方程$x^2 - 2x + m = 0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=m$
代入得：$(-2)^2 - 4×1× m = 0$
即$4 - 4m = 0$
解得：$m=1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查根的判别式的应用，熟记判别式与一元二次方程根的三种对应关系即可快速解题，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
8. 方程$(x+1)^2=9$的根是
$x_1=2,x_2=-4$
.答案
8. $x_1=2,x_2=-4$
解析
【分析】
观察方程形式，左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路为：根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，先将方程左边的完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
对方程$(x+1)^2=9$两边直接开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
分两种情况求解：
① 当$x+1=3$时，解得$x=3-1=2$；
② 当$x+1=-3$时，解得$x=-3-1=-4$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是识别方程的形式，选择合适的解方程方法，直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的一元二次方程求解。
【难度系数】
0.9
观察方程形式，左边是完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法解一元二次方程的特征。解题思路为：根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，先将方程左边的完全平方式开平方，转化为两个一元一次方程，再分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
对方程$(x+1)^2=9$两边直接开平方，得：
$x+1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
分两种情况求解：
① 当$x+1=3$时，解得$x=3-1=2$；
② 当$x+1=-3$时，解得$x=-3-1=-4$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-4$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于基础计算题，解题关键是识别方程的形式，选择合适的解方程方法，直接开平方法适用于形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$的一元二次方程求解。
【难度系数】
0.9
9. (2025·攀枝花)已知$a,b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
$\frac{2}{3}$
.答案
9. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题要求方程两根的倒数和，首先可对所求代数式通分化简，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接从方程系数得到两根之和、两根之积的数值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程的根，能简化运算。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分可得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
第二步：利用根与系数的关系求两根之和、两根之积
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
已知$a、b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，其中$A=1$，$B=2$，$C=-3$，因此：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
第三步：代入计算
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入$\frac{a+b}{ab}$得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，通过对所求代数式变形可避免解方程的繁琐运算，计算时需注意两根之和的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题要求方程两根的倒数和，首先可对所求代数式通分化简，将其转化为用两根之和、两根之积表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接从方程系数得到两根之和、两根之积的数值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程的根，能简化运算。
【解析】
第一步：化简所求代数式
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分可得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}$
第二步：利用根与系数的关系求两根之和、两根之积
对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{B}{A}$，$x_1x_2=\frac{C}{A}$。
已知$a、b$是方程$x^2+2x-3=0$的两根，其中$A=1$，$B=2$，$C=-3$，因此：
$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$
第三步：代入计算
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入$\frac{a+b}{ab}$得：
$\frac{a+b}{ab}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的应用，通过对所求代数式变形可避免解方程的繁琐运算，计算时需注意两根之和的符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
10.(2024·成都)若$m$，$n$是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，则$m+(n-2)^2$的值为
7
。答案
10. 7
解析
【分析】
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，解题时可以结合两个核心依据：一是一元二次方程根的定义（根代入原方程等式成立，可实现高次项降次），二是韦达定理（两根之和与方程系数的关系）。第一步先展开待求代数式，第二步利用根的定义将n²替换为一次式，第三步结合韦达定理整体代入两根之和即可求出结果。
【解析】
∵ m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴ 根据根的定义，将$x=n$代入原方程得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$；
根据韦达定理，两根之和$m+n=\frac{5}{1}=5$。
先展开待求式：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= m + (5n -2) -4n +4 \\&= m +n +2\end{aligned}$
再代入$m+n=5$，得：
原式$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与根与系数关系的综合应用，通过降次将二次项转化为一次项、结合整体代入思想是解题的关键，能很好地考查代数式化简和公式运用的能力。
【难度系数】
0.7
已知m、n是一元二次方程的两个实数根，解题时可以结合两个核心依据：一是一元二次方程根的定义（根代入原方程等式成立，可实现高次项降次），二是韦达定理（两根之和与方程系数的关系）。第一步先展开待求代数式，第二步利用根的定义将n²替换为一次式，第三步结合韦达定理整体代入两根之和即可求出结果。
【解析】
∵ m，n是一元二次方程$x^2 -5x +2=0$的两个实数根，
∴ 根据根的定义，将$x=n$代入原方程得：$n^2 -5n +2=0$，即$n^2=5n-2$；
根据韦达定理，两根之和$m+n=\frac{5}{1}=5$。
先展开待求式：
$m+(n-2)^2 = m + n^2 -4n +4$
将$n^2=5n-2$代入上式：
$\begin{aligned}原式 &= m + (5n -2) -4n +4 \\&= m +n +2\end{aligned}$
再代入$m+n=5$，得：
原式$=5+2=7$
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题考查一元二次方程根的性质与根与系数关系的综合应用，通过降次将二次项转化为一次项、结合整体代入思想是解题的关键，能很好地考查代数式化简和公式运用的能力。
【难度系数】
0.7
11. 解下列方程：
(1) (2025·徐州)$x^2+2x-4=0$；
(2) $2x^2-3x-1=0$；
(3) $(x+1)(x+2)=2x+4$；
(4) $3(x-2)^2=x^2-4$。
(1) (2025·徐州)$x^2+2x-4=0$；
(2) $2x^2-3x-1=0$；
(3) $(x+1)(x+2)=2x+4$；
(4) $3(x-2)^2=x^2-4$。
答案
11. (1) $x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$ (2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$ (3) $x_1=1,x_2=-2$ (4) $x_1=2,x_2=4$
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、因式分解法，解题时可根据方程特征选择最优解法：
1. 对于第(1)(2)题，方程为一般式且难以直接因式分解，选择通用的公式法即可：先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根；
2. 对于第(3)(4)题，方程两边存在公因式或可利用乘法公式变形，优先选择因式分解法简化计算：先移项使方程右边为0，再提取公因式或利用公式将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0，解一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+2x-4=0$，
这里$a=1,b=2,c=-4$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-4)=4+16=20＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(2) 对于方程$2x^2-3x-1=0$，
这里$a=2,b=-3,c=-1$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 对于方程$(x+1)(x+2)=2x+4$，
先整理右边得$2x+4=2(x+2)$，移项得：
$(x+1)(x+2)-2(x+2)=0$，
提取公因式$(x+2)$得：
$(x+2)(x+1-2)=0$，即$(x+2)(x-1)=0$，
令$x+2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-2,x_2=1$。
(4) 对于方程$3(x-2)^2=x^2-4$，
先利用平方差公式分解右边得$x^2-4=(x-2)(x+2)$，移项得：
$3(x-2)^2-(x-2)(x+2)=0$，
提取公因式$(x-2)$得：
$(x-2)[3(x-2)-(x+2)]=0$，
化简括号内的式子：$3x-6-x-2=2x-8=2(x-4)$，
即$2(x-2)(x-4)=0$，
令$x-2=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=2,x_2=4$。
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=1,x_2=-2$
(4) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 公式法解一元二次方程
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，不同结构的方程对应不同的简便解法，优先选择因式分解法可降低计算量，公式法通用性强，熟练掌握不同解法的适用场景，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.85
解一元二次方程的常用方法有配方法、公式法、因式分解法，解题时可根据方程特征选择最优解法：
1. 对于第(1)(2)题，方程为一般式且难以直接因式分解，选择通用的公式法即可：先确定二次项系数a、一次项系数b、常数项c，计算判别式Δ=b²-4ac判断是否有实根，再代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根；
2. 对于第(3)(4)题，方程两边存在公因式或可利用乘法公式变形，优先选择因式分解法简化计算：先移项使方程右边为0，再提取公因式或利用公式将左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0，解一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 对于方程$x^2+2x-4=0$，
这里$a=1,b=2,c=-4$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×1×(-4)=4+16=20＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$，
即$x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$。
(2) 对于方程$2x^2-3x-1=0$，
这里$a=2,b=-3,c=-1$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×2×(-1)=9+8=17＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$。
(3) 对于方程$(x+1)(x+2)=2x+4$，
先整理右边得$2x+4=2(x+2)$，移项得：
$(x+1)(x+2)-2(x+2)=0$，
提取公因式$(x+2)$得：
$(x+2)(x+1-2)=0$，即$(x+2)(x-1)=0$，
令$x+2=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-2,x_2=1$。
(4) 对于方程$3(x-2)^2=x^2-4$，
先利用平方差公式分解右边得$x^2-4=(x-2)(x+2)$，移项得：
$3(x-2)^2-(x-2)(x+2)=0$，
提取公因式$(x-2)$得：
$(x-2)[3(x-2)-(x+2)]=0$，
化简括号内的式子：$3x-6-x-2=2x-8=2(x-4)$，
即$2(x-2)(x-4)=0$，
令$x-2=0$或$x-4=0$，
解得$x_1=2,x_2=4$。
【答案】
(1) $x_1=-1+\sqrt{5},x_2=-1-\sqrt{5}$
(2) $x_1=\frac{3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{17}}{4}$
(3) $x_1=1,x_2=-2$
(4) $x_1=2,x_2=4$
【知识点】
1. 一元二次方程的解法
2. 公式法解一元二次方程
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，不同结构的方程对应不同的简便解法，优先选择因式分解法可降低计算量，公式法通用性强，熟练掌握不同解法的适用场景，能有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.85
