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12. 我们规定:对于任意实数$a,b,c,d$有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1) 求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2) 已知关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
(1) 求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2) 已知关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求$m$的取值范围.
答案
12. (1) $[-4,3]*[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10$；(2) 根据题意得 $x(mx+1)-m(2x-1)=0$,整理得 $mx^2+(1-2m)x+m=0$,
∵ 关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,
∴ $\Delta=(1-2m)^2-4m·m≥0$且$m≠0$,解得$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$.
∵ 关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,
∴ $\Delta=(1-2m)^2-4m·m≥0$且$m≠0$,解得$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$.
解析
【分析】
(1) 题目给出了新运算$[a,b]*[c,d]=ac-bd$的规则，求解第一问时，直接将对应数值代入新运算公式，按常规四则运算计算即可。
(2) 求解第二问时，先按新运算规则将给出的方程转化为常规整式方程，整理后得到含参数$m$的方程；由于方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，需同时满足二次项系数不为0、根的判别式$\Delta ≥ 0$两个条件，联立求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义的运算规则：
$[-4,3]*[2,-6]=(-4)×2 - 3×(-6)$
$=-8+18$
$=10$
(2) 根据新运算规则展开方程：
$x(mx+1)-m(2x-1)=0$
整理得：$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 方程为一元二次方程，且根的判别式非负，即：
$\begin{cases}m≠0 \\ \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0\end{cases}$
解不等式$(1-2m)^2-4m^2≥0$：
$1-4m+4m^2-4m^2≥0$
$1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
结合$m≠0$，最终得$m$的取值范围为$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于新定义结合方程的综合题型，解题关键是准确理解新运算规则，将陌生的新定义问题转化为已学的整式方程问题求解；要注意“有两个实数根”的隐含前提是方程为一元二次方程，不要遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
(1) 题目给出了新运算$[a,b]*[c,d]=ac-bd$的规则，求解第一问时，直接将对应数值代入新运算公式，按常规四则运算计算即可。
(2) 求解第二问时，先按新运算规则将给出的方程转化为常规整式方程，整理后得到含参数$m$的方程；由于方程有两个实数根，说明该方程是一元二次方程，需同时满足二次项系数不为0、根的判别式$\Delta ≥ 0$两个条件，联立求解即可得到$m$的取值范围。
【解析】
(1) 根据新定义的运算规则：
$[-4,3]*[2,-6]=(-4)×2 - 3×(-6)$
$=-8+18$
$=10$
(2) 根据新运算规则展开方程：
$x(mx+1)-m(2x-1)=0$
整理得：$mx^2+(1-2m)x+m=0$
∵ 方程有两个实数根，
∴ 方程为一元二次方程，且根的判别式非负，即：
$\begin{cases}m≠0 \\ \Delta=(1-2m)^2-4m· m≥0\end{cases}$
解不等式$(1-2m)^2-4m^2≥0$：
$1-4m+4m^2-4m^2≥0$
$1-4m≥0$，解得$m≤\frac{1}{4}$
结合$m≠0$，最终得$m$的取值范围为$m≤\frac{1}{4}$且$m≠0$。
【答案】
(1) $\boxed{10}$；(2) $\boxed{m≤\frac{1}{4}且m≠0}$
【知识点】
新定义运算，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于新定义结合方程的综合题型，解题关键是准确理解新运算规则，将陌生的新定义问题转化为已学的整式方程问题求解；要注意“有两个实数根”的隐含前提是方程为一元二次方程，不要遗漏二次项系数不为0的限制条件。
【难度系数】
0.6
13. 我们知道方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是$x_1 = 1, x_2 = -3$，现给出另一个方程$(2x + 3)^2 + 2(2x + 3) - 3 = 0$，它的解是（
A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
D
）A.$x_1 = 1, x_2 = 3$
B.$x_1 = 1, x_2 = -3$
C.$x_1 = -1, x_2 = 3$
D.$x_1 = -1, x_2 = -3$
答案
13. D
解析
【分析】
观察可知两个方程的结构完全相同，可采用整体换元的思路解题：把第二个方程中的$2x+3$看作一个整体，令$y=2x+3$，则第二个方程转化为已知解的方程$y^2+2y-3=0$，先得到$y$的取值，再反解求出$x$即可，不用展开新方程计算，简化求解过程。
【解析】
设$y=2x+3$，则原方程可变形为$y^2+2y-3=0$。
由题意可知方程$y^2+2y-3=0$的解为$y_1=1,y_2=-3$，分两种情况计算$x$：
1. 当$y=1$时，$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
2. 当$y=-3$时，$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1,x_2=-3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程的解，整体思想
【点评】
本题考查利用整体代换思想求解结构相似的方程，巧妙运用换元法可避免展开方程的繁琐计算，降低出错概率，是一元二次方程求解中的常用技巧，需要熟练掌握相同结构方程的代换逻辑。
【难度系数】
0.7
观察可知两个方程的结构完全相同，可采用整体换元的思路解题：把第二个方程中的$2x+3$看作一个整体，令$y=2x+3$，则第二个方程转化为已知解的方程$y^2+2y-3=0$，先得到$y$的取值，再反解求出$x$即可，不用展开新方程计算，简化求解过程。
【解析】
设$y=2x+3$，则原方程可变形为$y^2+2y-3=0$。
由题意可知方程$y^2+2y-3=0$的解为$y_1=1,y_2=-3$，分两种情况计算$x$：
1. 当$y=1$时，$2x+3=1$，移项得$2x=1-3=-2$，解得$x=-1$；
2. 当$y=-3$时，$2x+3=-3$，移项得$2x=-3-3=-6$，解得$x=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-1,x_2=-3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程的解，整体思想
【点评】
本题考查利用整体代换思想求解结构相似的方程，巧妙运用换元法可避免展开方程的繁琐计算，降低出错概率，是一元二次方程求解中的常用技巧，需要熟练掌握相同结构方程的代换逻辑。
【难度系数】
0.7
14. 若实数$a,b$分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a≠b$，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} =$
$\frac{3}{2}$
。答案
14. $\frac{3}{2}$
解析
【分析】
首先观察到a、b满足的方程结构完全相同，且$a≠b$，因此可判断a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根。接下来对所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行通分变形，可得$\frac{a+b}{ab}$，因此无需单独求解a、b的具体值，只需利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$，再整体代入变形后的代数式即可得到结果，解题过程更简便。
【解析】
解：
∵实数$a,b$分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a≠b$
∴$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得：
$a + b = 3$，$ab = 2$
对所求代数式通分变形得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$
将$a + b = 3$，$ab = 2$代入得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、分式化简
【点评】
本题是典型的代数基础题，解题核心是识别出a、b为同个一元二次方程的两根，利用韦达定理整体代入计算，避开了单独求解a、b的繁琐步骤，考查学生的代数式变形能力和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
首先观察到a、b满足的方程结构完全相同，且$a≠b$，因此可判断a、b是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根。接下来对所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行通分变形，可得$\frac{a+b}{ab}$，因此无需单独求解a、b的具体值，只需利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$a+b$、两根之积$ab$，再整体代入变形后的代数式即可得到结果，解题过程更简便。
【解析】
解：
∵实数$a,b$分别满足$a^2 - 3a + 2 = 0$，$b^2 - 3b + 2 = 0$，且$a≠b$
∴$a,b$是一元二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的两个不相等的实数根
根据根与系数的关系可得：
$a + b = 3$，$ab = 2$
对所求代数式通分变形得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$
将$a + b = 3$，$ab = 2$代入得：
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义、根与系数的关系、分式化简
【点评】
本题是典型的代数基础题，解题核心是识别出a、b为同个一元二次方程的两根，利用韦达定理整体代入计算，避开了单独求解a、b的繁琐步骤，考查学生的代数式变形能力和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
15. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x - 3m^2 + m = 0$。
（1）求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）若$x_1, x_2$是方程的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，求$m$的值。
（1）求证：无论$m$为何值，方程总有实数根；
（2）若$x_1, x_2$是方程的两个实数根，且$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，求$m$的值。
答案
15. (1) $\because \Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(-3m^2+m)=4m^2-4m+1+12m^2-4m=16m^2-8m+1=(4m-1)^2≥0$,
∴ 方程总有实数根；(2) 由题意知,$x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=-3m^2+m$,$\because \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}$,$\therefore \frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\frac{5}{2}$,整理得 $5m^2-7m+2=0$,解得 $m=1$或$m=\frac{2}{5}$.
∴ 方程总有实数根；(2) 由题意知,$x_1+x_2=2m-1$,$x_1x_2=-3m^2+m$,$\because \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}$,$\therefore \frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m}-2=-\frac{5}{2}$,整理得 $5m^2-7m+2=0$,解得 $m=1$或$m=\frac{2}{5}$.
解析
【分析】
（1）要证明无论m为何值，一元二次方程总有实数根，核心思路是利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程总有实数根。因此只需先写出Δ的表达式，再展开化简，验证其是否恒大于等于0即可。
（2）已知方程两根的比例和的代数式，首先对该代数式进行通分、利用完全平方公式变形，将其转化为仅含两根之和与两根之积的形式；再结合韦达定理（根与系数的关系），写出两根之和、两根之积关于m的表达式，代入变形后的等式即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
本题中$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$，代入得：
$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(-3m^2+m)$
$=4m^2-4m+1+12m^2-4m$
$=16m^2-8m+1$
$=(4m-1)^2$
∵ 任何数的平方均为非负数，即$(4m-1)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
（2）解：根据韦达定理，若$x_1,x_2$是一元二次方程的两个实数根，则：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3m^2+m$
先对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} - 2$
代入已知条件$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} - 2 = -\frac{5}{2}$
整理得$5m^2-7m+2=0$，因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$，经检验两个解均有效。
【答案】
（1）无论$m$为何值，方程总有实数根，证明成立；
（2）$m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问是根的判别式的常规应用，难度较低；第二问需要掌握代数式的变形技巧，将给定的分式转化为两根和、两根积的形式是解题的关键，计算时需注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
（1）要证明无论m为何值，一元二次方程总有实数根，核心思路是利用一元二次方程根的判别式的性质：当Δ≥0时，方程总有实数根。因此只需先写出Δ的表达式，再展开化简，验证其是否恒大于等于0即可。
（2）已知方程两根的比例和的代数式，首先对该代数式进行通分、利用完全平方公式变形，将其转化为仅含两根之和与两根之积的形式；再结合韦达定理（根与系数的关系），写出两根之和、两根之积关于m的表达式，代入变形后的等式即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta = b^2 - 4ac$。
本题中$a=1$，$b=-(2m-1)$，$c=-3m^2+m$，代入得：
$\Delta=[-(2m-1)]^2-4×1×(-3m^2+m)$
$=4m^2-4m+1+12m^2-4m$
$=16m^2-8m+1$
$=(4m-1)^2$
∵ 任何数的平方均为非负数，即$(4m-1)^2≥0$，
∴ 无论$m$为何值，方程总有实数根。
（2）解：根据韦达定理，若$x_1,x_2$是一元二次方程的两个实数根，则：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=-3m^2+m$
先对所求代数式变形：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2}{x_1x_2} - 2$
代入已知条件$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = -\frac{5}{2}$，得：
$\frac{(2m-1)^2}{-3m^2+m} - 2 = -\frac{5}{2}$
整理得$5m^2-7m+2=0$，因式分解得$(5m-2)(m-1)=0$，解得$m=1$或$m=\frac{2}{5}$，经检验两个解均有效。
【答案】
（1）无论$m$为何值，方程总有实数根，证明成立；
（2）$m$的值为$1$或$\frac{2}{5}$。
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问是根的判别式的常规应用，难度较低；第二问需要掌握代数式的变形技巧，将给定的分式转化为两根和、两根积的形式是解题的关键，计算时需注意避免运算错误。
【难度系数】
0.7
16. 关于$x$的方程$x^2 - (2k - 1)x + k^2 - 2k + 3 = 0$有两个不相等的实数根.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1, x_2$，存不存在这样的实数$k$，使得$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$？若存在，求出这样的$k$值；若不存在，说明理由.
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1, x_2$，存不存在这样的实数$k$，使得$|x_1| - |x_2| = \sqrt{5}$？若存在，求出这样的$k$值；若不存在，说明理由.
答案
16. (1) $\because$ 方程有两个不相等的实数根,$\therefore \Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11＞0$,解得:$k＞\frac{11}{4}$；(2) 存在,$\because x_1+x_2=2k-1$,$x_1x_2=k^2-2k+3=(k-1)^2+2＞0$,$\therefore$ 将$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$两边平方可得$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=5$,即$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$,代入得:$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$,解得:$4k-11=5$,解得:$k=4$.
解析
【分析】
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可根据根的判别式Δ＞0建立关于k的不等式，计算判别式后代入求解即可得到k的取值范围。
（2）判断是否存在符合条件的k，首先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，先判断两根之积恒为正，可知两根同号，再将含绝对值的等式两边平方，通过完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入表达式求解k，最后检验所求k是否满足第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得：$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11$，
令$4k-11＞0$，
解得：$k＞\frac{11}{4}$。
（2）存在这样的实数k，理由如下：
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2k-1$，$x_1x_2=k^2-2k+3$，
∵ $x_1x_2=(k-1)^2+2＞0$，即$x_1$、$x_2$同号，
将$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$两边平方得：$x_1^2-2|x_1x_2|+x_2^2=5$，
结合$x_1x_2＞0$，可变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$，
代入根与系数的关系结果得：$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$，
化简得$4k-11=5$，解得$k=4$，
∵ $4＞\frac{11}{4}$，符合k的取值范围，故存在符合条件的k。
【答案】
（1）$k＞\dfrac{11}{4}$；（2）存在，$k=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，解题时需先通过判别式确定参数的取值范围，再结合已知条件合理变形求解，最后要注意检验解是否符合参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
（1）已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可根据根的判别式Δ＞0建立关于k的不等式，计算判别式后代入求解即可得到k的取值范围。
（2）判断是否存在符合条件的k，首先利用根与系数的关系求出两根之和、两根之积的表达式，先判断两根之积恒为正，可知两根同号，再将含绝对值的等式两边平方，通过完全平方公式变形为用两根之和、两根之积表示的形式，代入表达式求解k，最后检验所求k是否满足第一问的取值范围即可。
【解析】
（1）
∵ 方程有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta＞0$，
计算得：$\Delta=[-(2k-1)]^2-4(k^2-2k+3)=4k-11$，
令$4k-11＞0$，
解得：$k＞\frac{11}{4}$。
（2）存在这样的实数k，理由如下：
根据根与系数的关系可得：$x_1+x_2=2k-1$，$x_1x_2=k^2-2k+3$，
∵ $x_1x_2=(k-1)^2+2＞0$，即$x_1$、$x_2$同号，
将$|x_1|-|x_2|=\sqrt{5}$两边平方得：$x_1^2-2|x_1x_2|+x_2^2=5$，
结合$x_1x_2＞0$，可变形为$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=5$，
代入根与系数的关系结果得：$(2k-1)^2-4(k^2-2k+3)=5$，
化简得$4k-11=5$，解得$k=4$，
∵ $4＞\frac{11}{4}$，符合k的取值范围，故存在符合条件的k。
【答案】
（1）$k＞\dfrac{11}{4}$；（2）存在，$k=4$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 完全平方公式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程相关性质的应用，解题时需先通过判别式确定参数的取值范围，再结合已知条件合理变形求解，最后要注意检验解是否符合参数的取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
