21. 如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，每个方格都是单元格，三角形ABC的顶点都在格点上。
(1)请直接写出点A，C两点的坐标：，；
(2)直接写出三角形ABC的面积为；
(3)若把三角形ABC向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度得到三角形A'B'C'，在图中画出三角形A'B'C'，这时点B'的坐标为。

(1)A(-5,1)，C(-1,1)
(2)6
(3)如图，$△ A'B'C'$即为所求。，B'(-3,5)

【分析】
(1) 确定点坐标时，先看点向x轴作垂线对应的横轴数值为横坐标，向y轴作垂线对应的纵轴数值为纵坐标，即可读出A、C的坐标。
(2) 求三角形面积可先观察到AC是水平线段，先算出AC的长度作为底，再算出点B到AC的垂直距离作为高，用三角形面积公式计算即可。
(3) 平移遵循“右加左减横坐标，上加下减纵坐标”的规律，将三个顶点分别按规则平移后连接，即可得到平移后的三角形，再按规律算出B'的坐标。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：点A横坐标为-5，纵坐标为1，即$A(-5,1)$；点C横坐标为-1，纵坐标为1，即$C(-1,1)$。
(2) 线段AC平行于x轴，长度为$\vert -1-(-5)\vert=4$；点B的坐标为$(-4,4)$，AC所在直线的纵坐标为1，因此AC边上的高为$4-1=3$。根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×4×3=6$。
(3) 平移规则为向右平移1个单位（横坐标+1），向上平移1个单位（纵坐标+1）。原B点坐标为$(-4,4)$，因此B'的横坐标为$-4+1=-3$，纵坐标为$4+1=5$，即$B'(-3,5)$。将A、B、C三点分别按上述规则平移后顺次连接，得到$△ A'B'C'$。
【答案】
(1)$A(-5,1)$，$C(-1,1)$
(2)$6$
(3)如图，$△ A'B'C'$即为所求。，$B'(-3,5)$
【知识点】
点的坐标确定、三角形面积计算、图形的平移
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，核心考查基础概念和简单规律的应用，解题的关键是熟练掌握坐标读取、平移的坐标变化规律，以及网格中图形面积的计算方法。
【难度系数】
0.8

22. 如图，在四边形ABCD中，点E，F在直线CD上，连接FA，若∠2+∠3=180°，∠B=∠1.求证：∠4=∠F.
证明：∵点E在直线CD上（已知），
∴∠2+=180°（平角的定义）.
又∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠1=∠3（）.
又∵∠B=∠1（已知），
∴∠B=∠3（）.
∴AB//（）.
∴∠4=∠F（）.

∠1；同角的补角相等；等量代换；EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等。

【分析】
这是一道几何证明补空题，解题时需顺着题目给出的证明逻辑，结合相关几何定理逐步推导：
1. 看到“点E在直线CD上”，结合平角定义，直线上一点的邻补角和为180°，D点处∠2的邻补角是∠1，因此第一个空填∠1；
2. 已知∠2+∠3=180°，结合上一步∠2+∠1=180°，说明∠1和∠3都是∠2的补角，根据同角的补角相等，即可得到∠1=∠3；
3. 接下来已知∠B=∠1，把∠1替换为∠3，就能得到∠B=∠3，属于等量代换的过程；
4. 观察∠B和∠3的位置，二者是AB、EF被BC所截形成的内错角，内错角相等可判定两直线平行，因此得到AB//EF；
5. 最后∠4和∠F是AB、EF被AF所截形成的内错角，根据两直线平行，内错角相等，就能得出∠4=∠F的结论。
【解析】
证明：
∵点E在直线CD上（已知），
∴∠2+ $\boldsymbol{∠1}$ =180°（平角的定义）.
又
∵∠2+∠3=180°（已知），
∴∠1=∠3（同角的补角相等）.
又
∵∠B=∠1（已知），
∴∠B=∠3（等量代换）.
∴AB// $\boldsymbol{EF}$ （内错角相等，两直线平行）.
∴∠4=∠F（两直线平行，内错角相等）.
【答案】
∠1；同角的补角相等；等量代换；EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【知识点】
补角的性质；平行线的判定；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查平行线的判定、性质定理以及补角的相关性质，要求学生能准确识别内错角的位置，理清证明的逻辑顺序，熟练掌握常用的几何推导依据。
【难度系数】
0.8

23. 在平面直角坐标系中，对于点$P(x,y)$，若点$Q$坐标为$(ax+y,x+ay)$，其中$a$为常数，则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”。
(1)已知点$A(-3,6)$的“$\frac{1}{3}$级关联点”是点$A'$，则点$A'$的坐标为；
(2)已知点$M(m-1,2m)$的“$-3$级关联点”为点$N$，点$N$位于$y$轴上，求点$N$的坐标；
(3)在(2)的条件下，若存在点$H$，使$HM// x$轴，且$HM=3$，求点$H$的坐标。

(1)(5,-1)
(2)
∵点$M(m-1,2m)$的“$-3$级关联点”是点$N$，
∴点$N$的坐标为$(-m+3,-5m-1)$。
∵点$N$位于$y$轴上，
∴$-m+3=0$，解得$m=3$。
∴$-5m-1=-16$，
∴点$N$的坐标为$(0,-16)$。
(3)由(2)得$m=3$，
∴$M(2,6)$。
∵$HM// x$轴，且$HM=3$，
∴点$H$的坐标为$(5,6)$或$(-1,6)$。

【分析】
本题属于新定义类的平面直角坐标系坐标运算题，解题思路如下：
(1) 直接根据“a级关联点”的定义，将点A的横、纵坐标和$a=\frac{1}{3}$代入公式计算，即可得到$A'$的坐标；
(2) 先按照“$-3$级关联点”的规则写出点N的坐标含m的表达式，再结合y轴上的点横坐标为0的特征，列方程求出m的值，代入即可求出N的坐标；
(3) 先由(2)中m的值确定点M的坐标，根据$HM// x$轴可知H和M纵坐标相等，再结合$HM=3$，分H在M左侧、右侧两种情况计算横坐标，即可得到H的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 已知点$A(-3,6)$，$a=\frac{1}{3}$，根据“a级关联点”定义：
横坐标为$ax+y = \frac{1}{3}×(-3) + 6 = -1 + 6 = 5$，
纵坐标为$x+ay = -3 + \frac{1}{3}×6 = -3 + 2 = -1$，
故$A'$坐标为$(5,-1)$。
(2)
∵点$M(m-1,2m)$的“$-3$级关联点”是点$N$，
∴$N$的横坐标为：$-3×(m-1) + 2m = -3m + 3 + 2m = -m + 3$，
$N$的纵坐标为：$(m-1) + (-3)×2m = m - 1 - 6m = -5m - 1$，
即$N(-m+3, -5m-1)$。
∵点$N$在y轴上，y轴上的点横坐标为0，
∴$-m + 3 = 0$，解得$m=3$。
将$m=3$代入纵坐标得：$-5×3 - 1 = -16$，
∴点$N$的坐标为$(0,-16)$。
(3) 由(2)可知$m=3$，代入M的坐标得：
横坐标：$m-1 = 3-1=2$，纵坐标：$2m=2×3=6$，即$M(2,6)$。
∵$HM// x$轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，
∴点$H$的纵坐标为6。
又
∵$HM=3$，即H和M的横坐标差的绝对值为3，
当H在M右侧时，H的横坐标为$2+3=5$，即$H(5,6)$；
当H在M左侧时，H的横坐标为$2-3=-1$，即$H(-1,6)$。
综上，点$H$的坐标为$(5,6)$或$(-1,6)$。
【答案】
(1)$(5,-1)$
(2)$(0,-16)$
(3)$(5,6)$或$(-1,6)$
【知识点】
新定义运算，坐标轴上点的特征，平行于坐标轴的点的坐标性质
【点评】
本题以新定义为载体，考查平面直角坐标系中点的坐标相关运算，核心是准确理解“a级关联点”的运算规则，结合坐标的几何特征列方程求解，第三问需要注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7