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15.若$|a^2 + 2| + \sqrt{b - 4} = 2$，则$ab$的值为
0
。答案
0
解析
【分析】
解题时首先利用绝对值、平方和算术平方根的非负性判断各项的取值范围：因为a²≥0，所以a²+2≥2，可得|a²+2|≥2；又因为算术平方根的结果是非负数，所以√(b-4)≥0。已知两个非负项的和为2，因此只能是|a²+2|=2且√(b-4)=0，分别求解得到a、b的值后代入计算ab即可。
【解析】
解：
∵任意实数的平方都是非负数，即a²≥0
∴a²+2≥2，结合绝对值的非负性可得|a²+2|=a²+2≥2
又
∵算术平方根具有非负性，即√(b-4)≥0
且|a²+2| + √(b-4) = 2
∴只有当√(b-4)=0，|a²+2|=2时等式成立
由√(b-4)=0，得b-4=0，解得b=4
由|a²+2|=2，结合a²+2≥2，得a²+2=2，即a²=0，解得a=0
∴ab = 0×4 = 0
【答案】
0
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；代数式求值
【点评】
本题重点考查非负性质的综合应用，解题的突破口是根据|a²+2|的取值下限，结合两项之和为2确定两个非负项各自的取值，是代数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用绝对值、平方和算术平方根的非负性判断各项的取值范围：因为a²≥0，所以a²+2≥2，可得|a²+2|≥2；又因为算术平方根的结果是非负数，所以√(b-4)≥0。已知两个非负项的和为2，因此只能是|a²+2|=2且√(b-4)=0，分别求解得到a、b的值后代入计算ab即可。
【解析】
解：
∵任意实数的平方都是非负数，即a²≥0
∴a²+2≥2，结合绝对值的非负性可得|a²+2|=a²+2≥2
又
∵算术平方根具有非负性，即√(b-4)≥0
且|a²+2| + √(b-4) = 2
∴只有当√(b-4)=0，|a²+2|=2时等式成立
由√(b-4)=0，得b-4=0，解得b=4
由|a²+2|=2，结合a²+2≥2，得a²+2=2，即a²=0，解得a=0
∴ab = 0×4 = 0
【答案】
0
【知识点】
绝对值的非负性；算术平方根的非负性；代数式求值
【点评】
本题重点考查非负性质的综合应用，解题的突破口是根据|a²+2|的取值下限，结合两项之和为2确定两个非负项各自的取值，是代数部分的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
16.满足$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$的所有整数x的和是
2
。答案
2
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，再根据x的取值区间找出所有符合条件的整数，最后将这些整数相加即可得到结果。具体思考步骤：第一步，用夹逼法估算两个无理数的大小，确定x上下限的近似值；第二步，在上下限之间筛选出所有整数；第三步，计算这些整数的和。
【解析】
首先估算无理数的范围：
1. 因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
2. 因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
结合不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$，可得x的取值在$-1.732$到$2.236$之间，符合条件的整数x为：$-1$、$0$、$1$、$2$。
计算整数的和：$(-1)+0+1+2=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、不等式的整数解、有理数加法
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算能力，解题的关键是准确确定两个无理数的大致范围，避免漏找或多找符合条件的整数，属于基础类计算题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要估算出$-\sqrt{3}$和$\sqrt{5}$的大致取值范围，再根据x的取值区间找出所有符合条件的整数，最后将这些整数相加即可得到结果。具体思考步骤：第一步，用夹逼法估算两个无理数的大小，确定x上下限的近似值；第二步，在上下限之间筛选出所有整数；第三步，计算这些整数的和。
【解析】
首先估算无理数的范围：
1. 因为$1＜3＜4$，所以$\sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，不等式两边同时乘$-1$得$-2＜-\sqrt{3}＜-1$；
2. 因为$4＜5＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{5}＜3$。
结合不等式$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{5}$，可得x的取值在$-1.732$到$2.236$之间，符合条件的整数x为：$-1$、$0$、$1$、$2$。
计算整数的和：$(-1)+0+1+2=2$。
【答案】
2
【知识点】
无理数的估算、不等式的整数解、有理数加法
【点评】
本题重点考查无理数大小的估算能力，解题的关键是准确确定两个无理数的大致范围，避免漏找或多找符合条件的整数，属于基础类计算题。
【难度系数】
0.8
17.已知$4x+5y=3,3x+6y=2$,则$x-y=$
1
.答案
1
解析
【分析】
题目给出两个二元一次方程，要求$x-y$的值，有两种解题思路：一是先通过解方程组求出$x$、$y$的具体值，再代入计算$x-y$；二是观察所求代数式的系数特征，发现第一个方程的$x$系数比第二个多1，$y$系数比第二个少1，直接将两个方程左右两边对应相减，就能直接得到$x-y$的结果，第二种方法更简便。
【解析】
解：将两个方程标记为：
$\begin{cases}4x+5y=3&①\\3x+6y=2&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别计算：
左边：$(4x+5y)-(3x+6y)=4x+5y-3x-6y=x-y$
右边：$3-2=1$
因此可得$x-y=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 二元一次方程组
2. 整体运算
【点评】
这道题既可以用常规解方程组的方法求解，也可以通过观察系数特征用整体相减的方法快速得到结果，解题时可灵活选择更简便的方法，提升做题效率。
【难度系数】
0.9
题目给出两个二元一次方程，要求$x-y$的值，有两种解题思路：一是先通过解方程组求出$x$、$y$的具体值，再代入计算$x-y$；二是观察所求代数式的系数特征，发现第一个方程的$x$系数比第二个多1，$y$系数比第二个少1，直接将两个方程左右两边对应相减，就能直接得到$x-y$的结果，第二种方法更简便。
【解析】
解：将两个方程标记为：
$\begin{cases}4x+5y=3&①\\3x+6y=2&②\end{cases}$
用①式减去②式，左右两边分别计算：
左边：$(4x+5y)-(3x+6y)=4x+5y-3x-6y=x-y$
右边：$3-2=1$
因此可得$x-y=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 二元一次方程组
2. 整体运算
【点评】
这道题既可以用常规解方程组的方法求解，也可以通过观察系数特征用整体相减的方法快速得到结果，解题时可灵活选择更简便的方法，提升做题效率。
【难度系数】
0.9
18.“输入一个实数x，然后经过如图的运算，到判断是否大于190为止”叫作一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则x的取值范围是
22＜x≤64
。答案
22＜x≤64
解析
【分析】
要解决“恰好经过两次操作停止”的问题，首先明确操作规则：每次操作是将当前输入的值乘3减2，若结果大于190就停止，否则将结果作为新输入再次操作。恰好两次停止包含两层含义：①第一次操作得到的结果不大于190，否则第一次就会停止，不符合“两次操作”的要求；②将第一次操作的结果作为新输入进行第二次操作，得到的结果大于190，满足停止条件。根据这两个条件分别列不等式，组成不等式组求解即可。
【解析】
根据恰好两次操作停止的条件，列不等式组：
1. 第一次操作结果不满足停止条件：
$3x - 2 ≤ 190$
解得：$3x ≤ 192$，即$x ≤ 64$
2. 第二次操作结果满足停止条件，第二次的输入为第一次的结果$3x-2$，因此：
$3(3x - 2) - 2 ＞ 190$
化简得：$9x - 8 ＞ 190$
解得：$9x ＞ 198$，即$x ＞ 22$
联立两个不等式的解，可得$22 ＜ x ≤ 64$。
【答案】
$22＜x≤64$
【知识点】
一元一次不等式组求解；程序运算规则
【点评】
本题的易错点是容易遗漏第一次操作结果不大于190的限制条件，或混淆不等号是否带等号，解题时只要准确理解“恰好两次停止”的两层含义，对应列出不等式即可正确求解。
【难度系数】
0.7
要解决“恰好经过两次操作停止”的问题，首先明确操作规则：每次操作是将当前输入的值乘3减2，若结果大于190就停止，否则将结果作为新输入再次操作。恰好两次停止包含两层含义：①第一次操作得到的结果不大于190，否则第一次就会停止，不符合“两次操作”的要求；②将第一次操作的结果作为新输入进行第二次操作，得到的结果大于190，满足停止条件。根据这两个条件分别列不等式，组成不等式组求解即可。
【解析】
根据恰好两次操作停止的条件，列不等式组：
1. 第一次操作结果不满足停止条件：
$3x - 2 ≤ 190$
解得：$3x ≤ 192$，即$x ≤ 64$
2. 第二次操作结果满足停止条件，第二次的输入为第一次的结果$3x-2$，因此：
$3(3x - 2) - 2 ＞ 190$
化简得：$9x - 8 ＞ 190$
解得：$9x ＞ 198$，即$x ＞ 22$
联立两个不等式的解，可得$22 ＜ x ≤ 64$。
【答案】
$22＜x≤64$
【知识点】
一元一次不等式组求解；程序运算规则
【点评】
本题的易错点是容易遗漏第一次操作结果不大于190的限制条件，或混淆不等号是否带等号，解题时只要准确理解“恰好两次停止”的两层含义，对应列出不等式即可正确求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19.解方程组：
（1）$\begin{cases}2x + 3y = 40, \\3x - 2y = -5;\end{cases}$
（2）
19.解方程组：
（1）$\begin{cases}2x + 3y = 40, \\3x - 2y = -5;\end{cases}$
（2）
答案
(1)$\begin{cases} x=5, \\ y=10. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=5. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=5. \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。
（1）观察方程组中未知数系数，y的系数分别为3和-2，最小公倍数是6，适合用加减消元法：给两个方程分别乘合适的系数，使y的系数互为相反数，相加消去y后先求出x，再代入方程求y即可。
（2）第二个方程含有分母，第一步先去分母将其整理为标准整式方程，再结合第一个方程x+y=4的特点，用代入消元法，将y用含x的式子表示后代入整理后的方程，先求x再求y，最后可代回原方程组检验。
【解析】
（1）给方程组标号：$\begin{cases}2x + 3y = 40&① \\3x - 2y = -5&②\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$，解得$x=5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$，解得$y=10$
（2）给原方程组标号：$\begin{cases}x+y=4&①\\\frac{x-1}{2}+\frac{y+1}{3}=1&②\end{cases}$
给②左右两边同时乘6去分母，得：$3(x-1)+2(y+1)=6$
展开整理得：$3x + 2y =7$ ③
由①得：$y=4-x$ ④
把④代入③，得：$3x + 2(4-x) =7$，解得$x=-1$
把$x=-1$代入①，得：$-1 + y =4$，解得$y=5$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=5, \\ y=10. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=5. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，去分母运算，消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础解法，解题时先将方程整理为标准形式，可根据方程特点灵活选择加减消元或代入消元法，注意去分母时不要漏乘常数项，计算过程要细心。
【难度系数】
0.8
解二元一次方程组的核心是消元，将二元转化为一元求解。
（1）观察方程组中未知数系数，y的系数分别为3和-2，最小公倍数是6，适合用加减消元法：给两个方程分别乘合适的系数，使y的系数互为相反数，相加消去y后先求出x，再代入方程求y即可。
（2）第二个方程含有分母，第一步先去分母将其整理为标准整式方程，再结合第一个方程x+y=4的特点，用代入消元法，将y用含x的式子表示后代入整理后的方程，先求x再求y，最后可代回原方程组检验。
【解析】
（1）给方程组标号：$\begin{cases}2x + 3y = 40&① \\3x - 2y = -5&②\end{cases}$
①×2，得：$4x + 6y = 80$ ③
②×3，得：$9x - 6y = -15$ ④
③+④，得：$13x = 65$，解得$x=5$
把$x=5$代入①，得：$2×5 + 3y = 40$，解得$y=10$
（2）给原方程组标号：$\begin{cases}x+y=4&①\\\frac{x-1}{2}+\frac{y+1}{3}=1&②\end{cases}$
给②左右两边同时乘6去分母，得：$3(x-1)+2(y+1)=6$
展开整理得：$3x + 2y =7$ ③
由①得：$y=4-x$ ④
把④代入③，得：$3x + 2(4-x) =7$，解得$x=-1$
把$x=-1$代入①，得：$-1 + y =4$，解得$y=5$
【答案】
(1)$\begin{cases} x=5, \\ y=10. \end{cases}$
(2)$\begin{cases} x=-1, \\ y=5. \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组求解，去分母运算，消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的基础解法，解题时先将方程整理为标准形式，可根据方程特点灵活选择加减消元或代入消元法，注意去分母时不要漏乘常数项，计算过程要细心。
【难度系数】
0.8
20. (1)解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$，并把不等式的解集在数轴上表示出来；
(2)解不等式组：$\begin{cases} x-2 ＜ 0, \\ 2(2x-1) ≤ 1 +5x. \end{cases}$
(2)解不等式组：$\begin{cases} x-2 ＜ 0, \\ 2(2x-1) ≤ 1 +5x. \end{cases}$
答案
(1)$x＜0$
在数轴上表示解集如图所示：
(2)$-3≤x＜2$
解析
【分析】
（1）解一元一次不等式遵循固定步骤：先去分母消去分数，再依次去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变；得到解集后，数轴表示时小于0需在0点画空心圆圈，向左画线即可。（2）解一元一次不等式组要先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律找公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$：
① 去分母，两边同乘6，得：$2x+3 -6 ＞ 3(x-1)$
② 去括号，得：$2x -3 ＞ 3x -3$
③ 移项，得：$2x - 3x ＞ -3 + 3$
④ 合并同类项，得：$-x ＞ 0$
⑤ 系数化为1，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＜ 0$
解集在数轴上表示如下：
(2) 解不等式组$\begin{cases} x-2 ＜ 0 \quad① \\ 2(2x-1) ≤ 1 +5x \quad② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x ＜ 2$
解不等式②：去括号得$4x - 2 ≤ 1 +5x$，移项合并得$-x ≤3$，系数化为1得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ≤ x ＜ 2$
【答案】
(1)$x＜0$
在数轴上表示解集如图所示：
(2)$-3≤x＜2$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；解集的数轴表示
【点评】
本题为基础运算题，解题时需注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向，数轴表示解集时要区分空心圆圈（不包含该点）和实心圆点（包含该点）的用法。
【难度系数】
0.8
（1）解一元一次不等式遵循固定步骤：先去分母消去分数，再依次去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，注意系数为负时不等号方向要改变；得到解集后，数轴表示时小于0需在0点画空心圆圈，向左画线即可。（2）解一元一次不等式组要先分别求出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律找公共部分，即为不等式组的解集。
【解析】
(1) 解不等式$\frac{2x+3}{6} -1 ＞ \frac{x-1}{2}$：
① 去分母，两边同乘6，得：$2x+3 -6 ＞ 3(x-1)$
② 去括号，得：$2x -3 ＞ 3x -3$
③ 移项，得：$2x - 3x ＞ -3 + 3$
④ 合并同类项，得：$-x ＞ 0$
⑤ 系数化为1，两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＜ 0$
解集在数轴上表示如下：
(2) 解不等式组$\begin{cases} x-2 ＜ 0 \quad① \\ 2(2x-1) ≤ 1 +5x \quad② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x ＜ 2$
解不等式②：去括号得$4x - 2 ≤ 1 +5x$，移项合并得$-x ≤3$，系数化为1得$x ≥ -3$
取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ≤ x ＜ 2$
【答案】
(1)$x＜0$
在数轴上表示解集如图所示：
(2)$-3≤x＜2$
【知识点】
一元一次不等式解法；一元一次不等式组解法；解集的数轴表示
【点评】
本题为基础运算题，解题时需注意去分母不要漏乘不含分母的常数项，系数化为1时若系数为负要改变不等号方向，数轴表示解集时要区分空心圆圈（不包含该点）和实心圆点（包含该点）的用法。
【难度系数】
0.8
