登录
8. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（
A.$\begin{cases} x - y + xy = 4, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2y + z = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
C
）A.$\begin{cases} x - y + xy = 4, \\ 3x - y = 4 \end{cases}$
B.$\begin{cases} 4x + 3y = 6, \\ 2y + z = 4 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 4, \\ x - y = 1 \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 5, \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}$
答案
C
解析
【分析】
要判断是否为二元一次方程组，首先明确其三个核心判定条件：1. 方程组中总共只含有2个不同的未知数；2. 每个方程都是整式方程；3. 所有含未知数的项的次数都为1。我们只需对照这三个条件逐一排查每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
选项A：第一个方程中存在$xy$项，该项的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不满足“总共只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
选项C：方程组只含有$x、y$2个未知数，两个方程中含未知数的项次数均为1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第二个方程中存在$x^2、y^2$项，次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题关键是准确掌握二元一次方程组的三个判定标准，逐一排除不符合条件的选项即可，做题时要注意区分“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，例如$xy$项的次数是2，不属于一次项。
【难度系数】
0.8
要判断是否为二元一次方程组，首先明确其三个核心判定条件：1. 方程组中总共只含有2个不同的未知数；2. 每个方程都是整式方程；3. 所有含未知数的项的次数都为1。我们只需对照这三个条件逐一排查每个选项即可选出正确答案。
【解析】
我们根据二元一次方程组的判定条件逐一分析选项：
选项A：第一个方程中存在$xy$项，该项的次数是2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组；
选项B：方程组中出现了$x、y、z$共3个未知数，不满足“总共只含2个未知数”的要求，不是二元一次方程组；
选项C：方程组只含有$x、y$2个未知数，两个方程中含未知数的项次数均为1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义；
选项D：第二个方程中存在$x^2、y^2$项，次数为2，不满足“含未知数的项次数为1”的要求，不是二元一次方程组。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组的判定
【点评】
本题属于基础概念类题目，解题关键是准确掌握二元一次方程组的三个判定标准，逐一排除不符合条件的选项即可，做题时要注意区分“单个未知数的次数”和“含未知数的项的次数”，例如$xy$项的次数是2，不属于一次项。
【难度系数】
0.8
9. 不等式组$\begin{cases}x+1≥ 0, \\ x-2＜0\end{cases}$的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后根据数轴表示解集的规则（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，大于向右、小于向左）匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：解第一个不等式$x+1≥ 0$，移项可得$x≥ -1$；
第二步：解第二个不等式$x-2＜0$，移项可得$x＜2$；
第三步：取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1≤ x＜2$；
第四步：在数轴上表示该解集：在$-1$的位置画实心圆点（包含该点），向右延伸；在$2$的位置画空心圆圈（不包含该点），向左延伸，两者重叠的区域即为解集，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组求解；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础常考题，主要考查不等式组的解法和解集的数轴表示，解题时要特别注意实心点和空心圈的使用差异，不要混淆不等号对应的数轴方向。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先需分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的总解集，最后根据数轴表示解集的规则（含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈，大于向右、小于向左）匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：解第一个不等式$x+1≥ 0$，移项可得$x≥ -1$；
第二步：解第二个不等式$x-2＜0$，移项可得$x＜2$；
第三步：取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$-1≤ x＜2$；
第四步：在数轴上表示该解集：在$-1$的位置画实心圆点（包含该点），向右延伸；在$2$的位置画空心圆圈（不包含该点），向左延伸，两者重叠的区域即为解集，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次不等式组求解；不等式解集的数轴表示
【点评】
本题是基础常考题，主要考查不等式组的解法和解集的数轴表示，解题时要特别注意实心点和空心圈的使用差异，不要混淆不等号对应的数轴方向。
【难度系数】
0.85
10. 下列命题:①对顶角相等:②实数与数轴上的点一一对应;③两直线被第三条直线所截,同旁内角互补;④从直线外一点到这条直线的垂线段,叫作这点到这条直线的距离;⑤$\sqrt{49}$的平方根是$\pm7$. 其中是真命题的有 （
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
B
解析
【分析】
要判断真命题的个数，需逐一对应每个命题涉及的数学定义、定理，甄别表述是否正确，统计真命题的数量后即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个判断5个命题的真假：
①对顶角相等是对顶角的基本性质，表述正确，属于真命题；
②实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴的对应关系，表述正确，属于真命题；
③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，该命题未说明两直线平行，表述错误，属于假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫作这点到这条直线的距离，该命题混淆了垂线段和距离的概念，表述错误，属于假命题；
⑤$\sqrt{49}=7$，7的平方根是$\pm\sqrt{7}$，$\pm7$是49的平方根，表述错误，属于假命题。
综上，真命题共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质，实数与数轴的对应关系，平方根的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，答题时需注意相关定理的适用前提以及概念表述的严谨性，避免因忽略细节出现判断失误。
【难度系数】
0.65
要判断真命题的个数，需逐一对应每个命题涉及的数学定义、定理，甄别表述是否正确，统计真命题的数量后即可选出对应选项。
【解析】
我们逐个判断5个命题的真假：
①对顶角相等是对顶角的基本性质，表述正确，属于真命题；
②实数与数轴上的点一一对应，符合实数与数轴的对应关系，表述正确，属于真命题；
③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同旁内角才互补，该命题未说明两直线平行，表述错误，属于假命题；
④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，才叫作这点到这条直线的距离，该命题混淆了垂线段和距离的概念，表述错误，属于假命题；
⑤$\sqrt{49}=7$，7的平方根是$\pm\sqrt{7}$，$\pm7$是49的平方根，表述错误，属于假命题。
综上，真命题共有2个，故选B。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质，实数与数轴的对应关系，平方根的定义
【点评】
本题侧重考查基础概念的辨析，答题时需注意相关定理的适用前提以及概念表述的严谨性，避免因忽略细节出现判断失误。
【难度系数】
0.65
11. 如图，AB//CD，∠1=65°，则∠2的度数是
115°
。答案
115°
解析
【分析】
本题需要利用平行线的性质求解角度，解题思路如下：第一步，先根据已知条件AB//CD，回忆平行线的相关性质；第二步，观察角的位置关系，可知∠1和∠2是两条平行线被截线所截形成的同旁内角，满足同旁内角互补的数量关系；第三步，结合已知∠1的度数，通过角度和差计算即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠1 + ∠2 = 180°
已知∠1=65°，代入计算得：
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 65° = 115°
【答案】
115°
【知识点】
平行线的性质；角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题关键是准确识别平行线被截线所形成的角的位置关系，熟练运用平行线的性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.85
本题需要利用平行线的性质求解角度，解题思路如下：第一步，先根据已知条件AB//CD，回忆平行线的相关性质；第二步，观察角的位置关系，可知∠1和∠2是两条平行线被截线所截形成的同旁内角，满足同旁内角互补的数量关系；第三步，结合已知∠1的度数，通过角度和差计算即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵AB//CD，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠1 + ∠2 = 180°
已知∠1=65°，代入计算得：
∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 65° = 115°
【答案】
115°
【知识点】
平行线的性质；角度和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题关键是准确识别平行线被截线所形成的角的位置关系，熟练运用平行线的性质即可快速求出结果。
【难度系数】
0.85
12. 为了调查某校5000名学生对中国梦的了解程度，随机抽取部分学生进行调查，并结合数据作出如图的扇形统计图.根据统计图提供的信息，估计该校“不太了解”的学生共有
500
名.答案
500
解析
【分析】
要估计该校“不太了解”的学生总数，解题思路可分为两步：第一步，根据扇形统计图的性质（所有部分占比之和为1），结合图中给出的其他了解程度的占比，计算出“不太了解”的学生所占的百分比；第二步，用全校总人数乘以“不太了解”的占比，即可得到估计的人数，这是用样本的分布特征估计总体分布特征的统计思想。
【解析】
首先，由扇形统计图可知，除“不太了解”外，其余各类了解程度的学生占比之和为90%，因此“不太了解”的学生占比为：
$1 - 90\% = 10\%$
再用该校总人数乘以该占比，可得估计的“不太了解”的学生人数：
$5000 × 10\% = 500$（名）
【答案】
500
【知识点】
扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题目，核心考查对扇形统计图特点的理解，以及用样本数据估算总体情况的方法，解题的关键是准确计算出目标群体的占比，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
要估计该校“不太了解”的学生总数，解题思路可分为两步：第一步，根据扇形统计图的性质（所有部分占比之和为1），结合图中给出的其他了解程度的占比，计算出“不太了解”的学生所占的百分比；第二步，用全校总人数乘以“不太了解”的占比，即可得到估计的人数，这是用样本的分布特征估计总体分布特征的统计思想。
【解析】
首先，由扇形统计图可知，除“不太了解”外，其余各类了解程度的学生占比之和为90%，因此“不太了解”的学生占比为：
$1 - 90\% = 10\%$
再用该校总人数乘以该占比，可得估计的“不太了解”的学生人数：
$5000 × 10\% = 500$（名）
【答案】
500
【知识点】
扇形统计图；用样本估计总体
【点评】
本题属于统计类基础题目，核心考查对扇形统计图特点的理解，以及用样本数据估算总体情况的方法，解题的关键是准确计算出目标群体的占比，计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8
13. 解二元一次方程组$\begin{cases}x+5y=6,① \\ x-3y=-2②\end{cases}$时，小华用加减消元法消去未知数$x$，按照他的思路，用①－②，解得$y=$ ______ 。
答案
1
解析
【分析】
本题要求用加减消元法消去x求解y的值，首先观察两个方程中x的系数均为1，系数相同，因此通过①-②即可消去未知数x，再按照去括号、合并同类项、等式的性质逐步计算就能得到y的数值，计算时要注意去括号时符号的变化。
【解析】
用①减去②可得：
$\begin{aligned}(x + 5y) - (x - 3y) &= 6 - (-2) \\x + 5y - x + 3y &= 6 + 2 \\8y &= 8 \\y &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
加减消元法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查加减消元法的应用，解题关键是根据相同未知数的系数特点选择合适的消元方式，计算时要注意符号运算，避免因去括号时符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
本题要求用加减消元法消去x求解y的值，首先观察两个方程中x的系数均为1，系数相同，因此通过①-②即可消去未知数x，再按照去括号、合并同类项、等式的性质逐步计算就能得到y的数值，计算时要注意去括号时符号的变化。
【解析】
用①减去②可得：
$\begin{aligned}(x + 5y) - (x - 3y) &= 6 - (-2) \\x + 5y - x + 3y &= 6 + 2 \\8y &= 8 \\y &= 1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
加减消元法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查加减消元法的应用，解题关键是根据相同未知数的系数特点选择合适的消元方式，计算时要注意符号运算，避免因去括号时符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.9
14.如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠DOB，∠AOC=72°，则∠DOE=
36°
。答案
36°
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，∠AOC和∠DOB是一组对顶角，根据对顶角相等的性质可直接得到∠DOB的度数；第二步，已知OE平分∠DOB，根据角平分线的定义，角平分线会把一个角平均分成两个相等的小角，因此∠DOE的度数为∠DOB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠DOB是对顶角
∴∠DOB = ∠AOC = 72°
∵OE平分∠DOB
∴$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ DOB = \frac{1}{2}×72° = 36°$
【答案】
36°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，核心考查对顶角性质和角平分线定义的应用，解题时只需准确识别角的位置关系，结合基础性质计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题思路如下：第一步，观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，∠AOC和∠DOB是一组对顶角，根据对顶角相等的性质可直接得到∠DOB的度数；第二步，已知OE平分∠DOB，根据角平分线的定义，角平分线会把一个角平均分成两个相等的小角，因此∠DOE的度数为∠DOB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠DOB是对顶角
∴∠DOB = ∠AOC = 72°
∵OE平分∠DOB
∴$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ DOB = \frac{1}{2}×72° = 36°$
【答案】
36°
【知识点】
对顶角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于相交线相关的基础题，核心考查对顶角性质和角平分线定义的应用，解题时只需准确识别角的位置关系，结合基础性质计算即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
