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12. 一杆秤在称物体时的状态如图所示，已知$∠ 2=105°$，则$∠ 1=$
75°
。答案
12.75°
解析
【分析】
解题首先要从杆秤的实际结构抽象出几何模型，明确秤杆与对应横杆互相平行，∠1和∠2是两条平行线被提绳所在直线截得的同旁内角，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，就可以通过已知的∠2度数计算出∠1的大小。
【解析】
根据杆秤的结构可知，秤杆所在直线与下方对应的平行横杆互相平行，∠1与∠2是两条平行线被提绳所在直线所截形成的同旁内角，根据平行线的性质可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 2=105°$，代入得：
$∠ 1 = 180° - 105° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 补角的计算
【点评】
本题结合生活中的杆秤场景考查几何知识的应用，需要学生能将实际物体抽象为几何图形，找到角之间的位置和数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题首先要从杆秤的实际结构抽象出几何模型，明确秤杆与对应横杆互相平行，∠1和∠2是两条平行线被提绳所在直线截得的同旁内角，根据平行线“两直线平行，同旁内角互补”的性质，就可以通过已知的∠2度数计算出∠1的大小。
【解析】
根据杆秤的结构可知，秤杆所在直线与下方对应的平行横杆互相平行，∠1与∠2是两条平行线被提绳所在直线所截形成的同旁内角，根据平行线的性质可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$
已知$∠ 2=105°$，代入得：
$∠ 1 = 180° - 105° = 75°$
【答案】
$75°$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 补角的计算
【点评】
本题结合生活中的杆秤场景考查几何知识的应用，需要学生能将实际物体抽象为几何图形，找到角之间的位置和数量关系，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
13.如图，AB//CD，点E在CD上，BC平分∠ABE。若∠BED=70°，则∠ABC的大小为
35°
。答案
13.35°
解析
【分析】
解题时首先结合已知的平行线条件，回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可先求出∠ABE的度数；再结合BC平分∠ABE的条件，利用角平分线的定义，即可求出∠ABC的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠ABE = ∠BED = 70°（两直线平行，内错角相等），
又
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，将平行线性质与角平分线的定义结合考查，掌握相关基础概念和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时首先结合已知的平行线条件，回忆平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可先求出∠ABE的度数；再结合BC平分∠ABE的条件，利用角平分线的定义，即可求出∠ABC的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠ABE = ∠BED = 70°（两直线平行，内错角相等），
又
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$×70° = 35°。
【答案】
35°
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是几何基础题，将平行线性质与角平分线的定义结合考查，掌握相关基础概念和性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
14.如图，AB//CD，EF交GF于点F，∠BEF=60°，则∠EFG+∠CGF=
240°
。答案
14.240°
解析
【分析】
拿到本题，首先已知AB//CD，要求∠EFG与∠CGF的和，观察图形发现点F是平行线间的拐点，此时可以通过过拐点作平行线的方法，将待求的角拆分，利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）建立已知角和待求角的关系。具体步骤为：先过F作FM//AB，根据平行公理的推论可得FM同时平行于CD，再分别利用两组平行线的同旁内角互补关系，结合角的和差运算即可求出结果。
【解析】
过点F作$FM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FM// AB// CD$（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。
$\because FM// AB$，
$\therefore ∠ BEF + ∠ EFM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
已知$∠ BEF=60°$，代入得$∠ EFM=180° - 60°=120°$。
$\because FM// CD$，
$\therefore ∠ MFG + ∠ CGF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ EFG = ∠ EFM + ∠ MFG$，
$\therefore ∠ EFG + ∠ CGF = ∠ EFM + (∠ MFG + ∠ CGF) = 120° + 180° = 240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心考查平行线间拐点问题的处理方法，解题关键是正确作出辅助线构造平行线，将待求角转化为可利用平行线性质计算的角，理清角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
拿到本题，首先已知AB//CD，要求∠EFG与∠CGF的和，观察图形发现点F是平行线间的拐点，此时可以通过过拐点作平行线的方法，将待求的角拆分，利用平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）建立已知角和待求角的关系。具体步骤为：先过F作FM//AB，根据平行公理的推论可得FM同时平行于CD，再分别利用两组平行线的同旁内角互补关系，结合角的和差运算即可求出结果。
【解析】
过点F作$FM// AB$，
$\because AB// CD$，
$\therefore FM// AB// CD$（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）。
$\because FM// AB$，
$\therefore ∠ BEF + ∠ EFM = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
已知$∠ BEF=60°$，代入得$∠ EFM=180° - 60°=120°$。
$\because FM// CD$，
$\therefore ∠ MFG + ∠ CGF = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
又$\because ∠ EFG = ∠ EFM + ∠ MFG$，
$\therefore ∠ EFG + ∠ CGF = ∠ EFM + (∠ MFG + ∠ CGF) = 120° + 180° = 240°$。
【答案】
$240°$
【知识点】
平行线的性质；平行公理的推论；角度的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的典型应用题型，核心考查平行线间拐点问题的处理方法，解题关键是正确作出辅助线构造平行线，将待求角转化为可利用平行线性质计算的角，理清角之间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 小红观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题.如图，已知AB//CD，∠BAE=87°，∠DCE=121°，则∠E的度数是
34°
.答案
15.34°
解析
【分析】
本题属于平行线间的拐角求解问题，解题思路如下：首先过折点E作AB的平行线，根据平行公理的推论可得到所作直线也平行于CD，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠AEF和∠CEF的度数，最后用∠AEF减去∠CEF即可得到∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵ AB//CD，
∴ EF//AB//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠BAE + ∠AEF = 180°，∠DCE + ∠CEF = 180°，
已知∠BAE=87°，∠DCE=121°，
∴ ∠AEF = 180° - 87° = 93°，
∠CEF = 180° - 121° = 59°，
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 93° - 59° = 34°。
【答案】
34°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心解题技巧是针对平行线间的折点作辅助平行线，将未知角转化为可利用平行线性质计算的角，掌握该类辅助线的做法即可轻松解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
本题属于平行线间的拐角求解问题，解题思路如下：首先过折点E作AB的平行线，根据平行公理的推论可得到所作直线也平行于CD，再利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出∠AEF和∠CEF的度数，最后用∠AEF减去∠CEF即可得到∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，
∵ AB//CD，
∴ EF//AB//CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
根据“两直线平行，同旁内角互补”可得：
∠BAE + ∠AEF = 180°，∠DCE + ∠CEF = 180°，
已知∠BAE=87°，∠DCE=121°，
∴ ∠AEF = 180° - 87° = 93°，
∠CEF = 180° - 121° = 59°，
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 93° - 59° = 34°。
【答案】
34°
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质应用的典型题型，核心解题技巧是针对平行线间的折点作辅助平行线，将未知角转化为可利用平行线性质计算的角，掌握该类辅助线的做法即可轻松解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
16.将一个宽度相等的长方形纸条按如图所示沿AB折叠，已知∠1=50°，则∠2=
100°
答案
16.100°
解析
【分析】
解决这道题可按以下思路思考：首先明确折叠类问题的核心性质是折叠前后重合的角大小相等，其次长方形纸条的对边互相平行，可结合平行线的性质推导角的数量关系。第一步先利用平行线的内错角相等，找到与已知∠1相等的角；第二步结合折叠性质得到另一个相等的角，两个等角相加的和，再通过平行线的内错角相等就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 长方形纸条的上下对边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1 = ∠BAD = 50°
由折叠的性质可知，折叠前后重合的角大小相等，即∠BAC = ∠BAD = 50°
∴ ∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 50° + 50° = 100°
又
∵ 纸条上下对边平行，根据“两直线平行，内错角相等”
∴ ∠2 = ∠CAD = 100°
【答案】
100°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
这道题是几何折叠类的基础常考题，重点考查折叠性质和平行线性质的综合运用能力，找准折叠前后的相等角是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
解决这道题可按以下思路思考：首先明确折叠类问题的核心性质是折叠前后重合的角大小相等，其次长方形纸条的对边互相平行，可结合平行线的性质推导角的数量关系。第一步先利用平行线的内错角相等，找到与已知∠1相等的角；第二步结合折叠性质得到另一个相等的角，两个等角相加的和，再通过平行线的内错角相等就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 长方形纸条的上下对边互相平行
∴ 根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠1 = ∠BAD = 50°
由折叠的性质可知，折叠前后重合的角大小相等，即∠BAC = ∠BAD = 50°
∴ ∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 50° + 50° = 100°
又
∵ 纸条上下对边平行，根据“两直线平行，内错角相等”
∴ ∠2 = ∠CAD = 100°
【答案】
100°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质
【点评】
这道题是几何折叠类的基础常考题，重点考查折叠性质和平行线性质的综合运用能力，找准折叠前后的相等角是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
17.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，$∠ CAD = ∠ AOB = 90°$，$∠ ACD = 60°$，$∠ ADC = 30°$，$∠ OAB = ∠ ABO = 45°$.若固定三角尺$AOB$，改变三角尺$ACD$的位置（其中点$A$的位置始终不变），当$∠ BAD$的度数为
150°或30°
时，$CD // AB$.答案
17.150°或30°
解析
【分析】
要使CD//AB，需结合平行线的性质找角的数量关系，同时注意三角尺ACD可绕点A旋转，存在两种位置能满足CD与AB平行，需分类讨论：①当CD与AB在AD同侧时，利用内错角相等求解；②当CD与AB在AD异侧时，利用同旁内角互补求解，再结合三角尺已知的固定角度计算∠BAD即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当CD在AB的一侧，AD为截线时，若CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BAD=∠ADC，已知∠ADC=30°，因此此时∠BAD=30°；
2. 当CD旋转至AB的另一侧，AD仍为截线时，若CD//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BAD + ∠ADC=180°，代入∠ADC=30°，得∠BAD=180°-30°=150°。
综上，∠BAD的度数为30°或150°。
【答案】
150°或30°
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；角的计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，解题时要注意三角尺摆放的所有可能位置，避免因漏考虑旋转后的第二种情况而丢分，需熟练掌握特殊三角尺的固定角度特征。
【难度系数】
0.6
要使CD//AB，需结合平行线的性质找角的数量关系，同时注意三角尺ACD可绕点A旋转，存在两种位置能满足CD与AB平行，需分类讨论：①当CD与AB在AD同侧时，利用内错角相等求解；②当CD与AB在AD异侧时，利用同旁内角互补求解，再结合三角尺已知的固定角度计算∠BAD即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当CD在AB的一侧，AD为截线时，若CD//AB，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠BAD=∠ADC，已知∠ADC=30°，因此此时∠BAD=30°；
2. 当CD旋转至AB的另一侧，AD仍为截线时，若CD//AB，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠BAD + ∠ADC=180°，代入∠ADC=30°，得∠BAD=180°-30°=150°。
综上，∠BAD的度数为30°或150°。
【答案】
150°或30°
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想；角的计算
【点评】
本题重点考查平行线性质的灵活应用，解题时要注意三角尺摆放的所有可能位置，避免因漏考虑旋转后的第二种情况而丢分，需熟练掌握特殊三角尺的固定角度特征。
【难度系数】
0.6
18.如图，$AB// CD$，点$F$，$G$分别在$AB$，$CD$上，点$E$在$AB$，$CD$之间，连接$EF$，$EG$，$FQ$平分$∠ BFE$，$GH$平分$∠ CGE$且交$FQ$的反向延长线于点$H$，交$AB$于点$P$，$∠ BFE=70°$，$∠ DGE=40°$.给出下面四个结论：
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论有________（填序号）.
①$∠ DGH=110°$；②$EF// GH$；③$∠ HFE=∠ E$；④$∠ H=∠ AFH$.
上述结论中，正确结论有________（填序号）.
答案
18.①②④
解析
【分析】
解题时结合已知条件，利用平行线性质、角平分线定义、邻补角性质逐个验证四个结论：首先根据角平分线定义算出各角平分线分得的角的度数，再通过过拐点作辅助平行线的方法，利用平行线的判定和性质验证平行关系、角的等量关系即可。
【解析】
解：逐个分析结论：
1. 验证结论①：
已知$∠ DGE=40°$，由邻补角性质得$∠ CGE=180°-∠ DGE=140°$，
$\because GH$平分$∠ CGE$，$\therefore ∠ CGH=∠ EGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
又$\because ∠ DGH+∠ CGH=180°$，$\therefore ∠ DGH=180°-70°=110°$，故①正确；
2. 验证结论②：
过点$E$作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EM// AB// CD$，
$\therefore ∠ BFE=∠ FEM=70°$，$∠ DGE=∠ GEM=40°$，
$\therefore ∠ FEG=∠ FEM+∠ GEM=70°+40°=110°$，
又$\because ∠ EGH=70°$，$\therefore ∠ FEG+∠ EGH=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，得$EF// GH$，故②正确；
3. 验证结论③：
$\because FQ$平分$∠ BFE$，$\therefore ∠ HFE=∠ EFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=35°$，
又$\because ∠ FEG=110°$，$\therefore ∠ HFE\ne ∠ E$，故③错误；
4. 验证结论④：
$\because EF// GH$，$\therefore ∠ H=∠ EFH=35°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ AFH$和$∠ BFQ$是对顶角，$\therefore ∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
$\therefore ∠ H=∠ AFH$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，邻补角与对顶角
【点评】
本题综合考查了平行线相关性质和判定，以及角平分线、邻补角的基础性质，解题关键是熟练掌握过平行线间拐点作辅助线的方法，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
解题时结合已知条件，利用平行线性质、角平分线定义、邻补角性质逐个验证四个结论：首先根据角平分线定义算出各角平分线分得的角的度数，再通过过拐点作辅助平行线的方法，利用平行线的判定和性质验证平行关系、角的等量关系即可。
【解析】
解：逐个分析结论：
1. 验证结论①：
已知$∠ DGE=40°$，由邻补角性质得$∠ CGE=180°-∠ DGE=140°$，
$\because GH$平分$∠ CGE$，$\therefore ∠ CGH=∠ EGH=\frac{1}{2}∠ CGE=70°$，
又$\because ∠ DGH+∠ CGH=180°$，$\therefore ∠ DGH=180°-70°=110°$，故①正确；
2. 验证结论②：
过点$E$作$EM// AB$，
$\because AB// CD$，$\therefore EM// AB// CD$，
$\therefore ∠ BFE=∠ FEM=70°$，$∠ DGE=∠ GEM=40°$，
$\therefore ∠ FEG=∠ FEM+∠ GEM=70°+40°=110°$，
又$\because ∠ EGH=70°$，$\therefore ∠ FEG+∠ EGH=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，得$EF// GH$，故②正确；
3. 验证结论③：
$\because FQ$平分$∠ BFE$，$\therefore ∠ HFE=∠ EFQ=\frac{1}{2}∠ BFE=35°$，
又$\because ∠ FEG=110°$，$\therefore ∠ HFE\ne ∠ E$，故③错误；
4. 验证结论④：
$\because EF// GH$，$\therefore ∠ H=∠ EFH=35°$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠ AFH$和$∠ BFQ$是对顶角，$\therefore ∠ AFH=∠ BFQ=35°$，
$\therefore ∠ H=∠ AFH$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
平行线的性质与判定，角平分线的定义，邻补角与对顶角
【点评】
本题综合考查了平行线相关性质和判定，以及角平分线、邻补角的基础性质，解题关键是熟练掌握过平行线间拐点作辅助线的方法，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.7
